Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
94
Добавлен:
01.06.2015
Размер:
4.29 Mб
Скачать
  1. Векторный анализ

1. Вектор-функция скалярного аргумента

Пусть − вектор, заданный в некоторой декартовой системе координат, его длина. Тогда вектор имеет единичную длину.

Если координатные орты,  углы между векторами  и ,  и ,  и  соответственно, то

Координаты вектора называют направляющими косинусами.

Пример 1. Пусть , , Тогда .

Вектор называется вектор-функцией скалярного аргумента t, если любому t из множества допустимых значений ставится в соответствие вектор

В декартовой системе координат задание вектор-функции эквивалентно заданию трех скалярных функций x(t), y(t), z(t), являющихся координатами

Пусть вектор-функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда

1. .

Геометрически это означает, что стремится к как по длине, так и по направлению.

2. Вектор-функция называется непрерывной при , если .

3. Если при отношение имеет

предел, то этот предел называется производной вектор-функции по скалярному аргументу t и обозначается .

4. Кривая называется гладкой, если вектор-функция непрерывно дифференцируема и для всех t из области допустимых значений.

Задачи. 1. Доказать, что (1) непрерывна (непрерывно дифференцируема) тогда и только тогда, когда функции x(t), y(t), z(t) непрерывны (непрерывно дифференцируемы) и

2. Доказать, что .

3. Доказать, что в каждой точке гладкой кривой существует касательная и производная направлена по этой касательной в сторону возрастания параметраt.

Понятие поверхности в трехмерном пространстве можно определить с различной степенью общности. Будем рассматривать поверхность, как образ замкнутой плоской области при непрерывном отображении. Такую поверхность можно задать различными способами:

а) поверхность, которая задается в явномвиде, гдеf – функция непрерывная в замкнутой ограниченной области . Аналогично, или .

б) более общим заданием поверхности является параметрическое: , , ,  где функции x, y, z непрерывны в замкнутой ограниченной области . Три равенства можно заменить одним векторным:

. (2)

Рассмотрим два вектора

,

и их векторное произведение .

Поверхность (2) называется гладкой, если непрерывно дифференцируема в области и для всех точек (u,v).

Введем  понятие ориентации поверхности.

Пусть поверхность S имеет представление (2). Фиксируем . Тогда задаст некоторую кривую , лежащую на S. Вектор-функция    определяет кривую ,

Рис. 1

также лежащую на S. Эти кривые проходят через точку поверхности S.

Векторы и будут касательными к кривым и в точке (см. задачу 1). Следовательно, они лежат в касательной плоскости к S в точке , а вектор (, так как поверхность гладкая) направлен по нормали к поверхности S в точке . Через обозначим единичный вектор этой нормали

. (3)

В каждой точке гладкой поверхности S существует нормаль, на которой можно выбрать два направления и .

Определение. Если из каждой точки M гладкой поверхности S можно выпустить единичную нормаль так, что полученная вектор-функция от М будет непрерывной на всей поверхности S, то S называется ориентируемой поверхностью.

Для ориентируемой гладкой поверхности существуют две ориентации, одну из которых определяемой (3), называют положительной, а вторую отрицательной.

Функцию называют непрерывным полем единичных нормалей.

Итак, S – ориентируемая поверхность, если кроме самой поверхности S, на ней задано непрерывное поле единичных нормалей. Такую поверхность удобно обозначать символом S+. Ту же поверхность, но ориентированную противоположным образом, обозначают S.

Определение. Под кусочно-гладкой поверхностью будем понимать непрерывную поверхность, составленную из конечного числа гладких поверхностей.

Пример 2.   Плоскость X0Y. Единичные векторы, перпендикулярные плоскости и идущие в положительном направлении оси z, определяют одну ориентацию плоскости, а векторы, идущие в отрицательном направлении оси z – другую ориентацию плоскости

Пример 3.   Поверхность сферы также ориентируема. Выпущенные из ее точек векторы нормали, направленные во внешность сферы, образуют непрерывное поле.

Этим поверхность сферы ориентирована (определена внешняя сторона сферы). Другая противоположная ориентация поверхности сферы определяется полем единичных нормалей, идущих внутрь сферы.

Найдем направляющие косинусы (координаты) единичной нормали (3), если поверхность задана в виде

В этом случае у нас

Подставляя эти выражения в (2), получим

(4)

Так как то

Замечание. Если уравнение поверхности задано неявно

(5)

то единичное поле нормалей задается равенством

где

Отметим, что в любой точке поверхности вектор перпендикулярен к этой поверхности.