- •Векторный анализ
- •1. Вектор-функция скалярного аргумента
- •Рассмотрим два вектора
- •2. Скалярные и векторные поля. Основные дифференциальные операции в декартовой системе координат
- •3. Криволинейный интеграл II рода. Формула Грина
- •3.1. Криволинейный интеграл II рода
- •3.2. Формула Грина
- •4. Поток векторного поля. Теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса
- •4.1. Поток векторного поля
- •Основные свойства потока векторного поля
- •4.2. Теорема Гаусса-Остроградского
- •4.3. Теорема Стокса
- •5. Потенциальное поле Векторное поле
- •6. Оператор Гамильтона
- •6.1. Понятие оператора Гамильтона
- •6.2. Дифференциальные операции 1-го порядка Пользуясь свойствами векторных операций, получим
- •6.3. Дифференциальные операции 2-го порядка
- •7.3. Инвариантное определение ротора и дивергенции
4.2. Теорема Гаусса-Остроградского
Если в некоторой области G пространства координаты вектора непрерывны и имеют непрерывные частные производныето
.
Здесь область ограничена кусочно-гладкой поверхностьюS, нормаль к поверхностиS берется внешняя.
4.3. Теорема Стокса
Пусть координаты вектора
непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция вектора по замкнутому контуруL равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность S, натянутую на контур L
Предполагается, что ориентация нормали к поверхностиS согласована с ориентацией контура L так, чтобы из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки.
Пример 3. Даны: векторное поле и плоскость(P), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (P), через σ1; ограничивающий σ1 контур – через L; нормаль к σ1, направленную вне пирамиды V – через .
Требуется вычислить:
1) поток векторного поля через поверхность σ1 в направлении нормали ;
2) поток векторного поля через полную поверхность σ пирамидыV в направлении внешней нормали к ее поверхности σ непосредственно и, применив теорему Остроградского;
3) циркуляцию векторного поля по замкнутому контуруL непосредственно и, применив теорему Стокса к контуру L и ограниченной им поверхности σ1 с нормалью .
Решение. Сделаем чертеж. Для этого преобразуем уравнение плоскости к виду
.
Из этого уравнения следует, что плоскость отсекает на осях 0X, 0Y, 0Z соответственно отрезки ,(рис. 7).
Рис. 7
Эта и координатные плоскости образуют пирамиду V с основанием σ1 (∆ АВС), а ограничивающий σ1 контур обозначен через L.
1. Вычислим поток векторного поля через поверхность σ1 в направлении нормали .
Спроектируем поверхность σ1 на плоскость X0Y в область Dxy.
Поток найдем по формуле
где единичный вектор нормалинаправленный вне пирамиды (рис.7). По условию нормаль к плоскостиимеет координаты.
Рис. 8
Тогда
Так както уголγ между осью OZ и острый, нормальнаправлена вне пирамиды, что соответствует выбранной стороне поверхности. Следовательно, в качестве векторавозьмём вектор
Если , то в качестве векторанеобходимо взять вектор.
Элемент площади .
Итак,
.
2. Вычислим поток векторного поля через полную поверхностьпирамидыV в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно.
,
где ,,,
.
Вычислим каждый поверхностный интеграл
уже найден.
На гранях АОС, АОВ, ВОС, соответственно , а единичные векторы внешней нормали к этим граням соответственно равны
.
Заметим, что уравнение прямой АС можно получить как пересечение плоскости АВС и плоскости ХОУ: z = 0; АС: х у = 2; Аналогично уравнение прямой АВ:x+2z=2. Уравнение прямой ВС:
y+2z = 2.
Поэтому будем иметь:
;
;
Рис. 9
.
Итак, .
Вычислим поток векторного поля через полную поверхность пирамидыV, применив теорему Остроградского:
.
где V − объём пирамиды.
3. Вычислим циркуляцию векторного поля
по контуру треугольника ABCA, где A(2,0,0), B(0,0,1),
C (0,–2,0), непосредственно (рис.10).
.
На AB:
на ВС: ;
на СА: .
Рис. 10
Тогда .
Вычислим каждый интеграл в отдельности.
.
Рис. 11, а
Рис. 11,б
.
Рис. 11, в
Циркуляция по контуру ABCA
.
Найдем циркуляцию векторного поля по контуру треугольника АВСА, используя формулу Стокса
где направление обхода контура L должно быть положительным, то есть согласованным с ориентацией поверхности . В качествеберем верхнюю сторону треугольника АВС, который расположен на плоскости.
В этом случае нормальный вектор к поверхностинаправлен вне пирамидыV и из конца нормали обход контураL (АВСА) в выбранном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.
Находим
.
Тогда
,
где − площадь
Пример 4. Даны: векторное поле и замкнутая поверхность, составленная частью цилиндрической поверхностии плоскостями,,,,
Поверхность ограничена контуромL; нормаль к поверхности, направленная вне цилиндра.
Вычислить:
1) поток векторного поля через поверхностьв направлении;
2) поток векторного поля через замкнутую поверхностьв направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского;
3) циркуляцию векторного поля по замкнутому контуруL непосредственно, и применив теорему Стокса к контуру L и ограниченной им поверхности с нормалью.
Сделать чертеж.
Решение. Найдем поток векторного поля через поверхностьДля этого спроектируем эту поверхность на плоскостьXOZ (проектировать поверхность на плоскостьX0Y нельзя, так как в этом случае ее проекцией является линия) (рис. 12).
.
Рис. 12
Из рис. 12 видно, что внешняя нормаль образует острый угол β с положительным направлением оси ОУ, то есть для заданной стороны поверхностиЗапишем уравнение поверхностив виде
и найдем единичный вектор нормали к ней (6).
.
Для того, чтобы полученная нормаль была внешней нормалью к цилиндрической поверхности, угол междуи осью ОУ должен быть острым.
В нашем случае поэтому в полученной формуле для нахожденияиз двух знаков (+) и (–) надо взять знак минус.
Тогда что соответствует выбранной внешней стороне цилиндрической поверхности.
Окончательно имеем .
Элемент площади .
Таким образом,
.
Рис. 12, а
Итак, .
2) Найдем поток векторного поля через замкнутую поверхностьв направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно.
,
где ,,,,
.
Итак,
, ;
Для вычисления полученного интеграла перейдём в полярную систему координат: якобиан переходаТогда
=
, ;
Рис. 12, б
, ;
Рис. 12, в
, ;
Рис. 12, г
Суммарный поток через замкнутую поверхность равен
.
Найдем поток векторного поля через замкнутую поверхностьв направлении внешней нормали к этой поверхности, применив теорему Остроградского.
.
.
.
.
Тело V проектируется на координатную плоскость X0Y в четверть круга. Поэтому целесообразно этот интеграл вычислять в
цилиндрических координатах.
Рис. 12, д
.
3) Найдем циркуляцию векторного поля по замкнутому контуруL (ABCDA) непосредственно. Контур L состоит из четырех гладких линий AB, BC, CD, DA. Направление обхода контура ABCDA примем положительным, то есть таким, что с конца вектора нормали к внешней стороне поверхностинаправление обхода по контуру было видно совершающимся против часовой стрелки (рис. 13)
Рис. 13
.
Так как , то.
На АВ: ;
на ВС: , , ;
на СД: ;
на DA: , , ,.
Тогда
.
Найдем циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру ABCDA, применив теорему Стокса к этому контуру и ограниченной им поверхности с нормалью .
По теореме Стокса, где направление обхода контура ABCDA (L) должно быть положительным. В качестве берем внешнюю сторону части цилиндрической поверхности, ограниченной контуром.
Находим
, .
.
Пример 5. Даны векторное поле , поверхность параболоида , отсеченная плоскостью (рис. 14). Найти:
1) поток вектора через внешнюю сторону части поверхности методом замыкания, применив теорему Остроградского;
2) Циркуляцию вектора вдоль контура L в положительном направлении, полученного при пересечении поверхности с плоскостью P, применив теорему Стокса и непосредственно.
Решение. 1) Здесь поверхность незамкнутая, так что к ней нельзя применить теорему Остроградского. Однако вычисление потока по формуле приводит к громоздким вычислениям. Поэтому дополним заданную поверхность поверхностью . Тогда получим замкнутую поверхность , состоящую из поверхностей и Очевидно, что , то есть
,
откуда искомый поток .
Вычислим и отдельно: .
Так как , то есть то
Рис. 14
Тело V проектируется на плоскость X0Y в круг. Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, в которых уравнение параболоида имеет вид .
,
;
Рис. 15
.
Итак, .
2) Найдем циркуляцию вектора вдоль контура L, полученного при пересечении поверхности с плоскостью по теореме Стокса.
.
Найдем .
.
Найдем циркуляцию вектора вдоль окружности в положительном направлении непосредственно.
Параметрическое уравнение контура L имеет вид , , , .
Так как , а , то