5. Кривые второго порядка на плоскости
Эллипсом называется геометрическое место всех таких точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Гиперболой называется геометрическое место всех таких точек на плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Параболой называется геометрическое место всех таких точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки F, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.
Для каждой из этих кривых существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой кривая описывается каноническим уравнением
для эллипса,
для гиперболы,
для параболы.
Э
ллипс,
заданный уравнением в канонической
форме, имеет центр симметрии – точку
0, две оси симметрии – координатные оси
0x и 0y, заключён в прямоугольнике –a
x
a, –b
y
b и касается его сторон.
Гипербола, заданная
уравнением в канонической форме, имеет
центр симметрии – точку 0, две оси
симметрии – координатные оси 0x и 0y,
имеет две асимптоты – прямые
и
.
Парабола, заданная уравнением в канонической форме, имеет одну ось симметрии – ось 0x .
Алгебраической кривой второго порядка называется кривая,
которая в декартовой прямоугольной системе координат
задаётся уравнением
. (3)
Если кривая, задаваемая уравнением (3), не является вырожденной, то она является либо эллипсом, либо гиперболой, либо параболой (к вырожденным относятся: пустое множество, точка, пара точек, прямая, пара прямых).
Пример 10.
Дано уравнение кривой в полярной системе
координат:
:
а) изобразить кривую по точкам, придавая
значения из промежутка
с шагом/8;
б) составить уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе координат, согласованной с полярной, и определить вид этой кривой.
Решение. а) Составим таблицу значений функции.
|
|
0 |
/8 |
/4 |
3/8 |
/2 |
5/8 |
3/4 |
7/8 |
|
|
3 |
2,8 |
2,32 |
1,72 |
1,5 |
1,26 |
1,11 |
1,02 |
|
|
|
9/8 |
5/8 |
11/8 |
3/2 |
13/8 |
7/4 |
15/8 |
|
|
1 |
1,02 |
1,11 |
1,26 |
1,5 |
1,72 |
2,32 |
2,8 |
По этим данным отметим точки на плоскости и, плавно
соединяя соседние точки, построим линию.
б) Перейдём к
декартовой прямоугольной системе
координат, пользуясь формулами
,
,
:
;
;
;
;
4(x2 + y2) = x2 + 6x + 9; 3x2 – 6x + 4y2 = 9;
3(x2
– 2x + 1 – 1) + 4y2
= 9; 3(x – 1)2
+4y2
= 12;
.
Это уравнение эллипса с центром в точке (1; 0) и полуосями
a
= 2,
.
Задание 4.1
Докажите,
что векторы
образуют базис. Найдите разложение
векторов
и
в
этом базисе.
|
№ |
|
|
|
|
|
|
1 |
{3;–2;1} |
{1;1;–4} |
{–2;3;1} |
{–1;–1;3} |
{2;2; –2} |
|
2 |
{2;1;–1} |
{–3;–2;1} |
{4;2;–3} |
{–2;–2;4} |
{–3; –2;2} |
|
3 |
{–1;–2;3} |
{2;0;–4} |
{3;–2;1} |
{5;–1;–2} |
{3;2;–1} |
|
4 |
{–4;–1;1} |
{3;–2;–1} |
{2;–5;3} |
{–2;1;0} |
{0;0; –4} |
|
5 |
{–3;1;–2} |
{4;–2;–1} |
{1;–1;2} |
{3;1;–4} |
{0; –2; –1} |
|
6 |
{2;–1;2} |
{3;1;–4} |
{4;3;–1} |
{0;2;–3} |
{3;0;–7} |
|
7 |
{1;–3;2} |
{2;0;–1} |
{0;6;1} |
{–5;2;–1} |
{3; –3;1} |
|
8 |
{–2;–2;1} |
{3;1;–2} |
{1;–1;3} |
{4;–2;1} |
{–3;–1; –6} |
|
9 |
{1;–2;4} |
{–2;–3;1} |
{1;5;–2} |
{3;0;2} |
{–2;4; –5} |
|
10 |
{4;1;–1} |
{–3;1;–1} |
{1;3;–4} |
{–2;1;–1} |
{0; –1;2} |
|
11 |
{–2;0;5} |
{3;–1;2} |
{1;–1;1} |
{2;–4;3} |
{9;1;0} |
|
12 |
{–5;1;–1} |
{–2;–2;3} |
{–1;5;1} |
{0;–1;2} |
{2;2;5} |
|
13 |
{2;–4;5} |
{3;1;–3} |
{–1;–5;0} |
{2;3;–5} |
{5;–3; –6} |
|
14 |
{–4;–2;1} |
{0;2;–1} |
{3;–2;–2} |
{5;–1;1} |
{–1;–6;0} |
|
15 |
{–3;–3;2} |
{2;–1;4} |
{–1;–4;1} |
{2;–3;–2} |
{–2;1;1} |
|
16 |
{–1;5;1} |
{3;–2;0} |
{2;3;3} |
{–4;–1;1} |
{0;0; –2} |
|
17 |
{2;–3;–2} |
{–1;–1;4} |
{–1;–6;1} |
{–2;–3;1} |
{0;–5;6} |
|
18 |
{–1;–1;5} |
{2;–1;–3} |
{1;–2;–1} |
{3;–1;1} |
{3;–6;0} |
|
19 |
{0;2;–1} |
{3;–1;–3} |
{3;1;–2} |
{1;–4;–1} |
{0;2;–3} |
|
20 |
{–5;1;–1} |
{2;1;–3} |
{–3;2;1} |
{4;2;–3} |
{–4;5;–6} |
|
21 |
{2;–3;2} |
{1;–4;–1} |
{1;3;–2} |
{1;0;–5} |
{5; –1;–3} |
|
Окончание таблицы | |||||
|
№ |
|
|
|
|
|
|
22 |
{4;–1;5} |
{–2;3;1} |
{2;2;–1} |
{3;1;–1} |
{4; 4;5} |
|
23 |
{–2;1;5} |
{3;–3;1} |
{1;–2;2} |
{3;1;0} |
{–3;3;7} |
|
24 |
{–1;1;6} |
{2;–3;–1} |
{1;2;–1} |
{–4;–1;–2} |
{4;4;2} |
|
25 |
{3;–1;5} |
{2;–2;–1} |
{4;0;–1} |
{–3;–2;1} |
{–1;3;5} |
|
26 |
{2;2;–5} |
{–1;2;–1} |
{3;6;–1} |
{2;–4;1} |
{3;0;–4} |
|
27 |
{–3;–1;2} |
{2;–4;0} |
{4;–1;1} |
{–5;1;–1} |
{–1;2;3} |
|
28 |
{1;–5;2} |
{–2;1;1} |
{3;–6;–3} |
{1;–1;7} |
{2;-1;3} |
|
29 |
{–4;1;4} |
{2;–1;3} |
{0;–1;2} |
{1;–3;4} |
{–2;3;1} |
|
30 |
{2;–5;2} |
{–1;3;0} |
{1;–2;3} |
{4;–4;3} |
{0;2;5} |
