- •Министерство образования и науки
- •Введение
- •1. Аналого-цифровое преобразование сигналов
- •2. Линейные цифровые системы
- •2.1. Линейная и круговая свертки
- •2.2. Дискретное преобразование Фурье
- •2.3. Связь z-преобразования с преобразованием Лапласа
- •2.4. Определение характеристик цифровых элементарных ячеек
- •2.5. Определение характеристик цифровых фильтров
- •2.6. Определение структур цифровых фильтров по их разностным уравнениям
- •2.7. Определение характеристик цифровых линейных цепей по их структурным схемам
- •3. Расчет параметров цифрового частотного дискриминатора
- •4. Цифроаналоговое преобразование сигналов
- •4.1. Получение непрерывного сигнала из дискретного
- •4.2. Определение интервала дискретизации
- •4.3. Согласованная фильтрация
- •5. Применеие аппарата цепей маркова для анализа цифровых устройств
- •5.1. Пуассоновские потоки
- •5.2. Вычисление финальных вероятностей
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Для заметок
5.2. Вычисление финальных вероятностей
Как показано в [3], вычисление финальных вероятностей нахождения цифровой системы в том или ином состоянии достаточно просто реализуется при известном начальном распределении и заданной матрице перехода.
В этом случае, для описания цифровой системы используется матрица вероятности перехода системы из состояния в состояние, величины элементов которой зависят от моментов времени. Когда отсутствует зависимость величин вероятностей перехода системы из одного состояния в другое состояние от момента времени, т.е., то такие цепи Маркова называются однородными.
Основной особенностью однородных матриц вероятностей перехода является то, что сумма вероятностей в каждой ее строке равна единице. Это объясняется тем, что если количество строк матрицы соответствует количеству состояний, то элементы каждой строки описывают вероятность пребывания соответствующего элемента цифровой системы в том или ином состоянии.
В том случае, когда в рассматриваемой цифровой системе отсутствуют поглощающие состояния, т.е. состояния, при достижении которых (или которого) система перестает изменяться под воздействием соответствующих сигналов, то такие системы описываются цепями Маркова, называемыми эргодическими [3].
Однако полной характеристикой системы, описываемой однородными эргодическими цепями Маркова, является ее описание при помощи финальной матрицы вероятностей , которая определяется в виде
,
где – вектор-строка начальных состояний цифровой системы;– количество шагов, за которое система из первоначального состояния, описываемого, перейдет в финальное состояние, описываемое матрицей.
Как показано в [3], после определенного числа шагов финальное состояние системы полностью определяется величиной, т.е.
. (5.2)
Выражение (5.2) показывает, что цифровая система через определенное число шагов «забывает» свое первоначальное состояние и ее финальное состояниеполностью зависит от элементов матрицы вероятностей перехода.
Пример 16. Рассмотрим, на числовом примере, как изменяются матрицы перехода и безусловные вероятности состояний с ростом числа в выражении (5.2) [3].
Положим, что нужно определить финальные вероятности цифровой системы.
Для этого воспользуемся соотношением (5.2).
Пусть матрица вероятностей перехода из состояния в состояние задается в виде
Последовательно возводя эту матрицу во вторую, третью, четвертую и пятую степени, получаем
Видно, что после пятой итерации матрица перехода вырождается в матрицу, полностью определяемую матрицей-строкой.
Согласно теореме Маркова [3], финальные вероятности для этого примера равны
,
откуда матрица финальных вероятностей будет
.
Видно, что сумма этих вероятностей равна единице.
Количество шагов перехода цифровой системы из первоначального состояния в финальное состояние равно
.
Аналогичным образом решается задача в п.10.2.8. в [2].
Заключение
В данном учебном пособии приводятся теоретические сведения и примеры решения типовых задач, которые наиболее часто встречаются как на практических занятиях, так и при выполнении контрольных работ. Решения всех задач основано на изложенной соответствующей методике. Тем не менее, в некоторых случаях следует либо применять известные методы, позволяющие упрощать полученные уравнения и сводить их к известным решениям, либо требуют, в случае необходимости, обращения к работе [1] для более полной предварительной проработки необходимого теоретического материала. Следует отметить, что задачи в [2] составлены так, чтобы их решения сводились к решению либо простейших, либо они отличаются друг от друга только числовыми данными.