5. Применеие аппарата цепей маркова для анализа цифровых устройств

В том случае, когда обработке подвергаются процессы, представленные в бинарно-квантованной форме, для анализа эффективности разработанных цифровых устройств, применяют математический аппарат цепей Маркова [3]. Аппарат цепей Маркова позволяет описывать состояния, в которых находятся те или иные цифровые узлы.

5.1. Пуассоновские потоки

Одним из видов марковских процессов являются разрывные процессы, которые представляют собой пуассоновские потоки событий [3]. Эти процессы лежат в основе теории надежности и теории массового обслуживания и имеют непосредственное отношение к описанию работы различных радиотехнических систем.

Пусть система имеет конечное число состояний . Под воздействием пуассоновских потоков из любого состояниявозможен переход в соседние состоянияи. Переход из состоянияв состояниеозначает, например, поступление на суммирующий вход реверсивного счетчика (РС) единицы, а переход из состоянияв состояниеозначает поступление единицы на его вычитающий вход. При этом полагается, что интенсивности появления единиц на входах РС представляют собой стационарные пуассоновские процессы.

Обозначим интенсивность потока, переводящего систему из состояния в состояние, через, а интенсивность потока, переводящего систему из состоянияв состояние, через.

На рис. 22 изображен процесс, развивающейся в такой системе, в виде графа состояний. Здесь учтено, что в том случае, когда РС заполнен, то добавление по суммирующему входу единицы переводит все его разряды в нулевое состояние, а в случае, когда РС находится в нулевом состоянии, то появление на его вычитающем входе единицы переводит все его разряды в единичное состояние.

Рис. 22. Процесс перехода из состояния в состояние в виде графа в реверсивном счетчике

В те моменты времени, когда по обоим входам РС не поступают сигналы или когда сигналы поступают по обоим входам одновременно, его состояние не изменяется и обозначается через .

В работе [3] приводится вывод выражения, позволяющего определить для стационарного случая финальную вероятность в соответствии с выражением

.

Последнее выражение является рекуррентным, т.е. оно позволяет выразить значение вероятности через предыдущие значения в виде

(5.1)

Вероятность , через которую выражаются вероятности всех остальных состояний, находится из условия нормировки [3]

Из последнего выражения следует, что

Видно, что по заданным интенсивностям иопределяются финальные вероятностипри заданной конечной величине. Отметим, что для РС вероятность нахождения первого разряда в одном из двух положений (нуль или единица) в момент включения будет.

Пример 15. На входы РС с состояниями поступают по двум входам в виде пуассоновского потока последовательности импульсов. Вероятность нахождения первого разряда счетчика в одном из состоянийВероятность перехода из состояния, в котором счетчик находится виспытании в состояние на единицу большее виспытании равно, а на единицу меньше равно. Определить вероятностьнахождения реверсивного счетчика в состоянии, гдедля величин

Очевидно, что следует воспользоваться выражением (5.1). Из него видно, что , а величина. Также видно, что. Тогда величиныбудут

Следовательно, независимо от числа испытаний система находится в финитном состоянии, которое зависит только от статистических характеристик процессов на ее входах.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.2.7. в [2].