МАТ

1.Производная по направлению скалярного поля. Градиент.

2.Производная высших порядков функции многих переменных.

_| z = f (x, y) дифференцируема в некоторой области Dи , в точке этой области

_| f (x, y) имеет в некоторой окрестности точки M0 все частные производные 2-го порядка и

′′ и ′′ − непрерывны в т. M0 => ′′ ( ) = ′′ ( )

Теорема имеет место и для частных производных высших порядков (3-го,4-го и т.д.)

Теорема имеет место и для функций 3-х,4-х и т.д. переменных

Следствие: Если (0)– точка экстремума и f(x) дифференцируема в т. (0) (сущ. Все частные

Определение4: Точки (0),в которых все частные производные функции f(x) равны 0 или не существует хотя бы одна из частных производных, но функция определена, называются стационарными точками(критическими или точками возможного экстремума)

5) Достаточные условия экстремума функций многих переменных

Ã=Ãт

Определение:квадратичная форма А(х) называется положительно определенной, если А(х)>0 для любого , x≠0.

Определение: квадратичная форма А(х) называется отрицательно определенной, если А(х)<0 для любого , x≠0.

Определение: квадратичная форма A(x) называется неопределенной, если А(х) для любого

, ≠ 0.

= ,

(0)

роль квадратной формы играет дифференциал 2-го порядка d2u(x(o))

d2u(x(0))=A(dx) (2')

Теорема (достаточное условие экстремума для функции многих переменных):

Пусть = , определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки(0)и вторые частные производные непрерывны в точке (0), тогда если d2u(x(0)) является знакоопределенной квадратичной функцией, x(0) является точкой экстремума. Причем если она положительно определена, то x0 – точка минимума, если отрицательно определена, то x0 – точка максимума. В случае, если d2u(x(0)) является неопределенной квадратичной формой, х(0) не является точкой экстремума.

Теорема (критерии Сильвестра):

для того, чтобы квадратичная форма (1) была знакоположительной, необходимо и достаточно,

для того, чтобы квадратичная форма (1) была знакоотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем

Теорема: для функции двух переменных z=f(x,y) имеется свое достаточное условие экстремума

пусть функция z=f(x,y) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки M0(x0,y0), причем вторые частные производные непрерывны в точке M0 и пусть M0 –

–точка экстремума, причем если A>0, то M0 – точка минимума, если A<0, то M0 – точка максимума. Если AC-B2<0, то M0не является точкой экстремума. (доказательство опирается на теорему (2) и критерии Сильвестра).

6) Двойной интеграл. Определение, свойства.

Определение: пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области 2

Разобьем областьDсетью дуг на n частичных областей D1, D2, … , Dnс площадями S1, S2,

… , Sn.

=maxdi

Двойным интегралом от f(x,y) по области Dназывается предел интегральной суммы при →0.

При этом f(x,y) называется интегрируемой в области D.

, lim→0 (2)

Геометрический смысл двойного интеграла:

Свойство 1(аддитивность): пусть z=f(x,y) интегрируема в области D и пусть при помощи кривой L разбивается на 2 непересекающиеся области D1иD2, тогда f(x,y) интегрируема в D1и

Свойство 2 (линейность): пусть f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области Dи пусть α,β R, тогда αf(x,y)+βg(x,y) интегрируема в области D, причем

Свойство 3: пусть f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D, тогда f(x,y)*g(x,y) интегрируема в области D.

Свойство 4:пусть f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D и всюду в Df(x,y)≤g(x,y), тогда

Свойство 5:пусть f(x,y) интегрируема в области D, тогда |f(x,y)| интегрируем в D, причем

Свойство 6 (теорема о среднем):f(x,y) интегрируема в области Dи m,M–точная верхняя и

нижняя грани этой функции в D, тогда существует μ: m≤μ≤M, , = (*), где S–

площадь области D.

Следствие: если f(x,y) непрерывна в = Г(Г – граница), тогда существует такая, что

, =

Свойство 7 (обобщенная теорема о среднем):пусть f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D и g(x,y)≥0 (g(x,y)≤0) в Dи m,M – точная нижняя и точная верхняя грани функции f(x,y) в D, тогда

существует μ: m≤μ≤M, , (**)

Свойство 8 (важное геометрическое свойство): S – площадь области D

= (***)

7) Вычисление двойных интегралов в ДПСК

1. Случай прямоугольника

Пусть = , : ≤ ≤ , ≤ ≤

Теорема: пусть f(x,y) интегрируема в прямоугольнике Dи пусть для любого a<x<b существует

2. Случай области элементарной (стандартной) в направлении оси OY(область 1-го типа)

Любая прямая, параллельная OY, пересекает не более, чем в двух точках.

Пусть D– область, элементарная в направлении оси OY

3. Случай области элементарной (стандартной) в направлении оси OX (область 2-го типа)

4. Общий случай

Если D – общего типа, то следует область D разбить прямыми, параллельными осям OXи OY на области 1-го и 2-го типа и использовать для вычисления областей формулы (2) и (3), а затем представить исходный интеграл в виде суммы двойных интегралов по вышеуказанным областям.

Вопрос 8,9. Переход к полярным координатам в двойном интеграле

┘f(x) интеграл в D, т.е Ǝ

Вопрос 10. Тройной интеграл. Определение, свойства (+свойства из 6 вопроса)

Определение.

U=f(x,y,z) опр. В VϵR3

F(Mi);

F(Mi)* ∆Vi

Тройным интегралом называется:

, , 2

→0

v

, , – интеграл в V

Физический смысл.

┘масса распр. В области V с пр. ρ(x,y,z)=>

= (4)

v

Вопрос 11. Вычисление тройных интегралов в ДПСК (Декартовая Полярная Система Координат)

1) V-прямой пар. с ребрами параллельными осям координат

V={(x,y,z): ≤ ≤ , ≤ ≤ , ≤ ≤ }

2) V – z-цилиндрическое тело

(элементарное вдоль оси OZ)

V. z=z1(x,y), z=z2(x,y) и сбоку цилиндр, с образ. параллельным оси OZ

z=z2(x,y)

3)V – y-цилиндрическое тело огр. y=y1(x,z), y=y2(x,z) и цилиндр. с обр. парал. оси OY. Дxz –

проекция на OXZ

4) V- x-цилиндрическое тело, ограниченное x=x1(y,z), x=x2(y,z) и цилиндрической поверхностью с обр. парал. оси OX и Дyz – проекция V на OYZ =>

5)Общий случай: V-область общего типа. В общем случае обл.V разбить плоскостями параллельными OX, или OY, или OZ на оси упомянутого типа и применить вышеуказанные формулы.

Вопрос 12. Замена переменных в тройном интеграле

┘ , , интеграл в области V

, , (1)

┘имеем некоторое преобразование этих трех переменных: u=u(x,y,z)

v=v(x,y,z) (2) w=w(x,y,z)

┘(2) можно разрешить относительно

x, y, z: x=x(u,v,w) y=y(u, v,w) (3)

z=z(u, v,w)

, где x=x(u,v,w), y=y(u, v,w), z=z(u, v,w) непр. и имеют непр. частные производные в соответствующей области v’ в ДПСК Ouvw, v на v’