
UML_4256
.pdf
M |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x ′0 |
|
0 |
|
|
x |
0 x |
''0 |
|
|
b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x0′) − f (x) ≤ 0 x O(x0′,δ) , |
|
(3) |
||||||||||||||||
то в точке |
x0′ функция достигает локального минимума. |
Локальные |
|||||||||||||||||
максимум и минимум называются локальными экстремумами. |
|||||||||||||||||||
На рисунке |
f (x0′), f (x0′′) – локальные минимумы, |
f (x0 ) |
– локальный |
||||||||||||||||
максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2 (Ферма). Если функция y = f (x) |
дифференцируема в |
||||||||||||||||||
точке x0 и достигает в этой точке локального экстремума, то |
f ′(x0 ) = 0 . |
||||||||||||||||||
Доказательство. От противного. Если |
f ′(x 0 ) > 0 , |
то согласно |
|||||||||||||||||
теореме 1 |
функция в |
точке |
|
x 0 |
возастает, |
то |
есть |
не |
достигает |
||||||||||
локального |
экстремума. |
Если |
р f ′(x0 ) < 0, то убывает |
и |
также не |
||||||||||||||
достигает экстремума. Получили противоречие. Теорема доказана. |
|||||||||||||||||||
Геометрически теорема Ферма означает, |
что в точке ( x 0 , f ( x 0 )) |
||||||||||||||||||
график функции f (x) имеет горизонтальную касательную. |
|
§2. Теоремы о среднем
Теорема 1 (Ролль). Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), а на концах отрезка принимает равные значения ( f (a) = f (b)), то существует, по крайней мере, одна точка ξ (a,b), в которой f ′(ξ )= 0.
Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то, согласно второй теореме Вейерштрасса (см. §10 гл. 4), она
достигает на нём своего наименьшего m = inf f (x) и наибольшего M = sup f (x) значений.
Возможны два случая:
171
а) m = M. f (x) |
′ |
– const, следовательно, f (x) = 0 Теорема |
|
доказана. |
f (a) = f (b) , то, по крайней мере, одно из чисел |
б) m ≠ M . Так как |
m или M отлично от f (a).
Допустим M ≠ f (a) . Тогда M = f (ξ), где ξ (a,b). Это означает, что функция f (x) достигает в точке x = ξ локального максимума. По теореме Ферма f ′(ξ )= 0 . Что и требовалось доказать.
Геометрически теорема Ролля означает, что между двумя точками,
вкоторых значения функции равны, всегда найдётся точка, касательная
вкоторой параллельна оси 0 X .
Следствие. Если функция непрерывна на [a,b], дифференцируема
′ |
x (a,b), |
то |
f (a) ≠ f (b) . Доказательство от |
|||||
на (a,b) , но f (x) ≠ 0 |
||||||||
противного. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2 (Коши). Если функции f (x) |
и g(x) непрерывны на |
|||||||
[a,b], дифференцируемы на (a,b) |
, причем |
′ |
x (a,b) , то |
|||||
g (x) ≠ 0 |
||||||||
существует точка ξ (a,b) такая, что |
′ |
|
|
|
||||
|
f (b) − f (a) |
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
f (ξ) |
. |
|
|
(1) |
|
|
g(b) − g(a) |
|
′ |
|
|
|||
|
|
|
g (ξ) |
|
|
|
||
Доказательство. |
Составим |
|
|
вспомогательную |
функцию |
|||
F(x) = f (x) +λg(x), где λ – некоторый коэффициент. |
Подберём его |
так, чтобы функция F(x) удовлетворяла условиям теоремы Ролля, то есть потребуем равенства на концах отрезка (F(a) = F(b)), так как все другие требования теоремы Ролля выполняются).
f (a) +λg(a) = f (b) +λg(b). λ = |
f (b) − f (a) |
. |
(2) |
|
|||
|
g(a) − g(b) |
|
(g(a) ≠ g(b) согласно следствию теоремы Ролля).
Итак, если коэффициент λ |
определяется формулой (2), то |
||||
функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля, то есть |
|
||||
|
F′(ξ )= 0, ξ (a,b). |
|
|
||
Или |
|
′ |
|
f (b) − f (a) |
|
′ |
′ |
|
|
||
f (ξ) |
|
|
|||
f (ξ) + λg (ξ) = 0. |
|
−λ = |
|
. |
|
′ |
g(b) − g(a) |
||||
|
|
g (ξ) |
|
|
Теорема доказана.
172


§3. Некоторые следствия из теоремы Лагранжа. Теорема Дарбу
Теорема 1. Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале (a,b) . Тогда:
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
а) если f (x) ≤ 0 x (a,b), то функция монотонно убывает; |
|
||||||||
б) если |
f ′(x)= 0 |
x (a,b), то f (x) = const ; |
|
||||||
в) если |
|
′ |
x (a,b), то функция монотонно возрастает. |
||||||
f (x) ≥ 0 |
|||||||||
Доказательство. |
Пусть a < x1, |
x2 < b , |
x1, x2 – произвольные |
||||||
точки. Тогда на отрезке [x1, x2 ] функция |
f (x) |
удовлетворяет теореме |
|||||||
Лагранжа. |
|
|
f (x )− f (x ) = f ′(ξ )(x − x ), |
ξ (a,b). |
(*) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
Если |
f |
′ |
(x)≤ 0 |
x (a,b), |
то |
|
′ |
0 и из (*) следует |
|
|
f (ξ) ≤ |
||||||||
f (x2 )≤ f (x1 ), то есть функция |
f (x) |
убывает монотонно на |
(a,b). |
||||||
Утверждение а) теоремы 1 доказано. |
|
|
|
|
|||||
Утверждения б) и в) доказываются аналогично. |
|
||||||||
Теорема 2 (Дарбу). Пусть функция |
f (x) |
дифференцируемая на |
[a,b] |
и пусть λ ( f ′(a), f ′(b)) |
. Тогда найдётся точка ξ (a,b) такая, |
|||||||
что |
f ′(ξ ) = λ , |
то есть функция |
f ′(x) подобно непрерывной функции |
||||||
принимает все свои промежуточные значения между f ′(a) и f ′(b). |
|
||||||||
|
Доказательство. Пусть |
f ′(a)< λ < f ′(b) (если |
f ′(a) > f ′(b) – |
||||||
доказательство |
аналогично). |
Положим c = |
1 |
(a + b) |
и введём |
две |
|||
|
|||||||||
функции |
|
|
2 |
|
|
|
|||
α (t )= a и β (t )= 2t − a , если a ≤ t ≤ c . |
(1) |
||||||||
|
|
||||||||
|
|
α (t )= 2t −b и β (t )= b, если c ≤ t ≤ b. |
(2) |
b β(t)
α(t)
a
0 |
a |
c |
b t |
|
|
|
|
174
Тогда |
|
|
|
||
a ≤α (t )< β (t )≤ b t (a,b) |
(3) |
||||
(см. рис.). Рассмотрим сложную функцию |
|
|
|
||
g(t) = |
f (β (t )) − f (α (t )) |
, |
t (a,b). |
(4) |
|
β (t )−α (t ) |
|||||
|
|
|
|
Очевидно, g(t) непрерывна на (a,b) как суперпозиция, разность и отношение непрерывных функций. Найдём предел
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
f (2t −a)− f |
(a) |
|
2t −a = x |
|
|
|
||||||
|
|
lim g (t)=lim |
|
= |
= |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2t −a −a |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
t→a |
|
t→a |
|
|
|
|
|
x → a |
|
|
|
|||||||
|
|
f (x) − f (a) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
|
|
|
|
|
= f |
(a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(Производная f ′(a) |
существует по условию теоремы). |
|
|
||||||||||||||||||
Аналогично найдём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)− f (b) |
|
|
||||||||
|
(2) |
f |
(b)− f (2t −b) |
|
2t −b = x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim g |
(t ) = lim |
= |
= lim |
= f ′(b). |
|||||||||||||||||
|
|
x −b |
|||||||||||||||||||
t→b |
|
t→b |
b −(2b −t ) |
|
|
|
x → b |
|
|
t→b |
|
|
|||||||||
|
Доопределим функцию g(t) , положив |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g(a) = lim g (t)= f ′ |
(a) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→a |
(b). |
|
|
|
|
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
g(b) = lim g (t )= f ′ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда функция g(t) |
будет непрерывной на отрезке [a,b] и по теореме |
||||||||||||||||||||
Коши (см. §11) |
принимает все свои промежуточные значения, то есть |
||||||||||||||||||||
если |
|
|
|
|
|
|
g(a) < λ < g(b), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
f ′(a)< λ < f ′(b), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то найдётся точка t0 (a,b) такая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g(t0 ) = λ . |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||
|
Зафиксируем t = t0 и из (4) найдём: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
f (β (t0 ))− f (α (t0 ))= g (t0 )(β (t0 )−α (t0 )). |
|
(6) |
|||||||||||||||||
Но на отрезке |
α(t ), β (t |
0 |
) функция |
|
f (x) |
удовлетворяет |
теореме |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лагранжа (см. теорему 3 §2)
f (β (t0 ))− f (α (t0 ))= f ′(ξ)(β (t0 )−α (t0 )), ξ (α (t0 ), β (t0 )). (7)
Сравнивая (6) и(7) , получим
175

g (t0 )= λ = f ′(ξ ).
Что и требовалось доказать.
Следствие. Если функция f (x) дифференцируема на отрезке [a,b], то её производная f ′(x) не имеет точек разрыва первого рода.
′ |
y(x) |
y′η |
y 0 |
|
|
|
|
a |
|
0 x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
От |
|
противного. |
Пусть существует |
функция |
||||||
f (x), дифференцируемая |
на [a,b], а её |
′ |
|
|||||||
производная f (x) строго |
||||||||||
возрастает на [a,b] |
и имеет в точке x0 (a,b) разрыв первого рода (см. |
|||||||||
рис.). Пусть |
|
|
|
f ′(x0 − 0) = f ′(x0 ) = y0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
и пусть |
|
|
|
|
|
f ′(x0 + 0) = y1 |
|
|||
|
|
|
|
|
y0 <η < y1 . |
|
(8) |
|||
|
|
|
|
|
|
f ′(x) примет |
||||
Согласно теореме |
2 |
|
производная |
значение |
||||||
η = f ′(x ), причём |
x |
> x |
, |
так как f ′(x) |
строго возрастает. В силу |
|||||
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
строгой монотонности
η = f ′(x1 ) > y1.
Получили противоречие (см. (8)). Это противоречие и доказывает следствие.
§4. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей
Теорема (Лопиталь). Пусть функции |
f (x) и g(x) |
определены и |
|||
дифференцируемы в некоторой |
окрестности |
точки |
x = x0 , |
за |
|
исключением быть может самой |
точки |
x = x0 . |
Пусть |
g′(x)≠ 0 |
в |
окрестности точки x0 , |
|
lim |
f (x)= lim g (x)= 0. |
x→x0 |
x→x0 |
|
176 |

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел
|
|
|
|
|
|
lim |
f ′(x) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
g′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то существует равный ему предел lim |
f (x) |
|
, |
то есть |
|
||||||||||||||||||||
g(x) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim |
|
f (x) |
|
= lim |
|
f ′(x) |
. |
|
|
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
g′(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Доказательство. Если функции |
f (x) и g(x) не определены в |
||||||||||||||||||||||||
точке x = x0 , то доопределим их равенствами |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
f (x0 )= lim f (x)= 0, |
g(x0 ) = lim g(x) = 0. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
||
Пусть xn – произвольная точка из окрестности точки x0 . Тогда на |
|||||||||||||||||||||||||
отрезке [x0 , xn ] функции |
|
f (x) и g(x) удовлетворяют теореме Коши. |
|||||||||||||||||||||||
|
f (x |
)− f (x |
0 |
) |
|
|
|
f (x |
) |
|
|
|
f |
′(ξ |
n |
) |
|
|
|
(x , x ). |
|
||||
|
n |
|
|
= |
|
|
|
n |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
, |
ξ |
|
(3) |
||||
|
g (xn )− g(x0 ) |
|
g (xn ) |
|
g′(ξn ) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 n |
|
|||||||||||||||
Пусть xn → x0 при n → ∞. Тогда ξn → x0 |
при n → ∞. |
Поскольку |
предел (1) существует, то не зависит от выбора последовательности, сходящейся к точке x0 , то есть
lim |
f ′(ξn ) |
= lim |
f ′(x) |
. |
|
g′(ξn ) |
g′(x) |
||||
ξn →x0 |
x→x0 |
|
Перейдём к пределу в (3) при n → ∞. Так как предел правой части
(3) существует, то существует предел и левой части, то есть |
|||||||
lim |
f (xn ) |
= lim |
f (x) |
= lim |
f ′(x) |
. |
|
g (x ) |
g(x) |
g′(x) |
|||||
xn →x0 |
x→x0 |
x→x0 |
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
Теорема доказана.
Формулу (2) называют правилом Лопиталя раскрытия неопределённости вида 00 .
Замечание 1. Если f ′(x) и g′(x) удовлетворяют требованиям теоремы, то правило Лопиталя можно применить повторно.
177
|
|
|
|
ex − 1 x3 − |
1 x2 |
|
− x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
ex − 1 x2 − x −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. lim |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
2 |
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−sin x + x |
||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
cos x + |
|
x |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= lim |
ex − x −1 |
|
= lim |
ex −1 |
|
= lim |
|
ex |
|
|
= |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
−cos x + |
1 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
→0 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Здесь правило Лопиталя применено четыре раза. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание 2. Можно доказать, что правило Лопиталя применимо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и в том случае, |
когда точка x0 |
– |
бесконечно удалённая ( x0 = +∞ или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x0 = −∞). |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
= lim cos |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. |
lim |
|
= lim |
x2 |
|
=1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Замечание 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Правило |
|
|
|
Лопиталя можно применить и для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
раскрытия неопределённостей вида |
|
∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
nxn−1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 3. |
lim |
|
= lim |
|
|
=K= lim |
|
= 0. |
|
xn = о(ex ) при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n → +∞. |
|
x→∞ ex |
x→∞ |
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Замечание 4. Если |
lim |
|
|
|
не существует, то это не означает, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ g′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
что не существует lim |
f (x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x→∞ g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
sin 2x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 4. |
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
= |
|
. Применим правило |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ 3x + cos x |
|
|
|
x→∞ |
3 + |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2cos 2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= lim |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 3x + cos x |
|
|
x→∞ |
3 −sin x |
|
|
|
Этот предел не существует. Правило Лопиталя не применимо.
178

Замечание 5. Правило Лопиталя можно применить и для раскрытия неопределённостей вида 0·∞, ∞−∞, 1∞,00 ,∞0 , если
предварительно свести их к виду 00 или ∞∞.
1
Пример 5. Найти предел lim(ex + x)x .
x→0 1
Решение. Пусть u = (ex + x)x , тогда
|
|
|
|
|
|
ln u = |
ln (ex |
+ x) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применим правило Лопиталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
lim ln u = lim |
ln (ex + x) |
= lim |
|
ex |
+1 |
= 2. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 ex |
|
|
|
|
|
|||||||||
Используя непрерывность логарифмической функции, найдём |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
limlnu = ln |
limu |
) |
= 2. limu = lim |
ex + x |
) |
1 |
= e2. |
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
(x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 ( |
|
|
|
|
|
|||||||||||
§5. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона |
||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим многочлен n -й степени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
xk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
P (x) = ∑ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
k =0 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим этот многочлен следующим образом: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
(x − x |
)k |
= C |
+ C (x − x |
)+ C |
|
(x − x )2 |
+ |
|
|||||||||||||||||
P (x)= ∑ C |
k |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
n |
k =0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C |
(x − x )3 |
+K+ C |
n |
(x − x |
|
)n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||
3 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Неизвестные коэффициенты Ck найдём следующим образом. |
||||||||||||||||||||||||||||
Продифференцируем (2) n раз. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Pn′(x)= C1 + 2C2 (x − x 0 )+ 3C3 (x − x 0 )2 +K+ nCn (x − x 0 )n−1 , |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Pn′′(x)= 2C2 + 3 2C3 (x − x 0 )+K+ n(n −1)Cn (x − x 0 )n−2 , |
(3) |
|||||||||||||||||||||||||||
Pn′′′(x)= 3 2C3 +K+ n(n −1)(n − 2)Cn (x − x 0 )n−3 , |
|
|
|
|
…………………………………………………………….
P(n)n (x) = n!Cn .
179
Полагая в (2) и (3) x = x0 , найдём: |
|
|
|||||||||||||||||||
C0 = Pn (x0 ),C1 = Pn′(x0 ),C2 = |
1 |
Pn′′(x0 ), |
|
|
|||||||||||||||||
2! |
|
|
|||||||||||||||||||
C |
= |
1 |
|
P′′′(x ), K ,C |
|
= |
|
1 |
|
P(n) (x |
). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
n! |
|
|
|||||||||||||||
3 |
3! |
0 |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|||||||
Ясно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
= |
|
|
P(k ) |
(x ). |
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k! |
n |
0 |
|
|
|||||
Таким образом, |
многочлен (2) примет вид |
|
(5) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P (x)= ∑ 1 |
P(k ) (x )(x − x )k . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
0 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
k! |
|
|
Многочлен (5) называют многочленом Тейлора. Его коэффициенты определяются соответствующей производной многочлена в точке x0 . Очевидно, что всякий многочлен является
многочленом Тейлора и задав значения многочлена и его n производных в некоторой точке, мы определим и сам многочлен.
Рассмотрим частный случай
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
|
|
n |
|
xk . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (x + a)n = ∑ a |
k |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
k =0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Коэффициенты ak найдём по формуле (4) при x0 = 0 . |
|
||||||||||||||||
ak = |
1 |
((x + a)n )(k ) = |
|
1 |
n(n −1)(n − 2)K(n − k +1)(x + a)n−k |
|
|
x=0 = Cnk an−k . |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
k! |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Таким образом, мы получили формулу бинома Ньютона. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + a)n = ∑ Cnk xk an−k . |
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§6. Формула Тейлора для функции |
|
|||||||||||
|
Пусть функция |
|
y = f (x) |
дифференцируема n раз в окрестности |
||||||||||||||
точки x0 . Запишем для неё многочлен Тейлора |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Tn( x) = ∑ |
1 |
f (k ) |
(x0 )(x − x0 )k = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 )+ |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
k =0 k! |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
f ′′(x0 )(x − x0 )2 +K+ |
|
f (n) (x0 )(x − x0 )n . |
(1) |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|