UML_4256

теореме

Лагранжа

на

каждом

из

отрезков

[ti−1,ti ], то

имеем

xi − xi−1

= x(ξi )(ti − ti−1 ), yi − yi−1 = y(ηi

)(ti − ti−1 ), zi − zi−1 = z(ζi )(ti −ti−1 ).

&

&

&

Подставляя это в (7), получим

n

2

2

2

στn = ∑

&

&

&

(10)

| x(ξi ) |

+ |

y(ηi ) |

+ | z(ζi ) | (ti −ti−1 ) .

Из (9) следует

i=1

y(ηi ) |≤ М2 , m3

≤ | z(ζi ) |≤ М3 .

(11)

m1

≤ | x(ξi ) |≤ М1 , m2 ≤ |

&

&

&

Учитывая (11), из (10) получим

m2

+ m2 + m2 (b − a)≤σ

τ n

≤

M 2

+ M 2 + M 2 (b − a).

(12)

1

2

3

1

2

3

Будем отсчитывать длину дуги от начальной точки

A0 =

(a).

r

Пусть A =

(t),

t [a,b]

–

произвольная

точка

дуги

Г.

Тогда

r

переменная длина

дуги

S = S(t)

– функция

непрерывная

и

строго

возрастающая.

(6) гладкая, то S(t) непрерывно

Теорема 2.

Если

кривая

дифференцируемая функция, причём

ds

2

2

2

&

d r

&

&

&

dt =

dt

.

(13)

x

+ y

+ z

Доказательство. Запишем формулу (8) для отрезка

[t,t + ∆t], ∆t > 0 . Разделив все части полученного неравенства на ∆t ,

имеем

∆S ≤

m2 + m2

+ m2 (b − a)≤

M 2 + M 2 + M 2 .

(14)

1

2

3

∆t

1

2

3

Напомним, что m1 = inf

x(t)

=

x(t +θ∆t )

, 0 <θ <1,

&

&

M1 = sup

x(t

)

=

x

(t +θ1∆t )

, 0 <θ1 <1.

&

&

В силу гладкости кривой

Г

функция x(t )

непрерывна, поэтому

&

lim m1 = lim M1 =

x&(t )

.

∆t→0

∆t→0

201

Аналогично найдём, что

lim m2

= lim M 2 =

,

∆t→0

∆t→0

lim m3

=

lim M3

=

&

.

z (t )

∆t→0

∆t→0

Переходя к пределу в (14), получим

lim

2

2

2

2

2

2

=

.

m1

+ m2 + m3 = lim

M1

+ M 2

+ M3

∆t→0

∆t→0

Тогда, согласно теореме о двух милиционерах из (14), получим

(13). Теорема доказана.

Г вместо

Следствие 1.

Если

при

задании кривой

параметра

t [a,b] взять длину дуги S [0, SГ ], то, аналогично рассуждая, вместо

(13) получим

dS

d r

12

12

12

′

=1

=

x5

+ y5

+ z5

=

(13 )

dt

dS

′

Так как S(t) строго возрастает, то dS > 0 и из (13 ) следует, что

dS =| d r |

и

d r

=τ

.

(15)

dS

Где τ

dS = | d r |

– единичный

вектор касательной.

Величину

Следствие 3. Если τ

= (cosα,cos β,cosγ ), то из

d r

=τ

следует,

dS

dx

dy

dz

что cosα =

,

cos β =

,

cosγ =

.

dS

dS

dS

Пусть

Г ={r (t ), t [a,b]}

– гладкая

кривая,

τ

– единичный

вектор касательной к кривой

Г

в точке

М , а τ1

–

в точке M1 ,

τ1 −τ

= ∆τ

– приращение вектора τ

на дуге MM1 , длина которой ∆S ,

а угол между векторами τ

и

τ1

равен

∆α .

Его

называют углом

смежности (см. рис.).

Определение 1. Кривизной кривой Г в точке М называют предел

отношения угла смежности ∆α к длине дуги ∆S , то есть

к = lim

∆α

=

dα

(1)

.

∆S

dS

1

Обратную величину

= ρ

называют радиусом кривизны кривой

k

в точке М .

Из рисунка видно, что

∆α

| ∆τ

| = 2

sin

| ∆α | при ∆α → 0.

(2)

2

dτ

k = lim

∆α

= lim

∆τ

=

.

′

∆S

∆S

dS

(1 )

∆S →0

∆S →0

(τ

,τ

)=1.

Дифференцируя

это

тождество, найдём 2τ

dτ

= 0 .

Что и

dS

требовалось доказать.

d r

Продифференцируем

=τ

(см. (15) §12) ещё раз

dS

d

2

r

dτ

′

(1 )

=

= kν.

(3)

dS 2

dS

Здесь

k – кривизна кривой, а ν

– единичный вектор. Согласно

w

d v

d

(vτ

dv

+ v

dτ

(4)

d v

+ kv2v = w

+ w v .

=

=

)

=

τ

=

τ

τ

(5)

dt

dt

dt

dt

dt

τ

n

dv

Получили

разложение

ускорения

на

касательное

w =

и

τ

dt

1

нормальное w

= kv2 =

v2 .

n

ρ

Предполагая существование нужных производных, выразим

кривизну k

кривой

через

производные векторной

функции

r (t).

Поскольку векторы τ

и ν

= r

коллинеарные, то угол смежности между

векторами τ

и τ

+ ∆τ

будет равен углу между векторамиν

иν

+ ∆ν

.

| v ×(v + ∆v ) | = | v ×∆v | =| r& || r&(t + ∆t) | sin(∆α) .

(6)

Поскольку sin (∆α)~ ∆α и ∆S ~

∆r

при ∆S → 0 (∆t → 0)

′

(см. (13 ) §12), то из (1) получим

= lim

| r& ×∆r& |

=

k = lim

∆α = lim

sin(∆α)

∆S

(6)

∆S →0

∆S

∆t→0

| r& || r&(t + ∆t) || ∆r |

&

×

∆r&

&

&&

r

∆t

= lim

=

| r

×r

|

.

| r& |3

∆t→0

| r& || r&(t + ∆t) |

∆t

&

&&

Итак,

k =

| r

×r |

.

(7)

&

3

| r