UML_4256

непрерывна в любой точке числовой оси, так как всякая точка числовой оси предельная.

Упражнение. y = cosx – непрерывна на R1 . Доказать

самостоятельно.

Пример 10. Какого рода разрывы может иметь монотонная функция?

Решение. Согласно теореме 1 §5 только первого рода.

§8. Свойства функций, непрерывных на метрическом пространстве

Замечание 1. В §7 мы определили непрерывность функции на подмножестве E метрического пространства X . Однако ничего не изменится, если E совпадет с X . Таким образом, можно говорить о непрерывном отображении метрического пространства X в метрическое пространство Y . f : X →Y.

изолированная, то все функции автоматически являются непрерывными в этой точке и теорема доказана. Если x0 – предельная точка

пространства Х , то согласно равенству (1) §7 определение непрерывности функции эквивалентно существованию предела

131

Теорема 2. Пусть X , Y и Z – метрические пространства, f : X →Y, g :Y → Z. Сложная функция Z =ϕ(x) = g( f (x)) отображает

X в Z ϕ : X → Z. Если f (x) – непрерывна на X , g( y) – непрерывна на Y , то ϕ(x) = g( f (x)) непрерывна на X (см. рис.).

f(x) g(y)

ϕ(x)

Доказательство. Так как z = g( y) непрерывна в точке y0 = f (x0 ) ,

Последние неравенства и означают непрерывность сложной функции z = g( f (x)) на множестве X , так как x0 – произвольная точка. Теорема

доказана.

условием непрерывности функции f (x) на X является открытость

а это означает непрерывность функции f (x) . Достаточность доказана. Теорема доказана.

§9. Понятие компактного множества

Напомним определение открытого множества (см. §14 гл. 1) и дадим определение замкнутого.

Определение 1. Если все предельные точки множества E принадлежат этому множеству, то оно называется замкнутым.

133

Множество Е открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

является предельной для множества Ec . Тогда существует окрестность O(x,δ) такая, что Ec IO(x,δ) = . Это означает, что точка x вместе со своей окрестностью O(x,δ) принадлежит E , то есть х – внутренняя

точка множества E . Следовательно, множество E – открытое. Достаточность доказана.

Пусть теперь множество E – открытое и x – предельная точка дополнения Ec . Тогда всякая окрестность 0(x,δ) этой точки содержит

некоторую точку дополнения Ec , поэтому не может быть внутренней точкой множества Е. Граничной точкой множества Е она также не может быть, так как Е открыто. Следовательно, предельная точка х

принадлежит Ec , а это значит, что Ec замкнуто. Необходимость доказана. Теорема доказана.

Следствие. Множество F замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.

Доказательство аналогично.

Определение 2. Открытым покрытием множества E в метрическом пространстве X называют семейство {Gα } открытых

подмножеств пространства X таких, что E Uα Gα .

Определение 3. Подмножество K метрического пространства Х называется компактным, если каждое открытое покрытие множества К

n

содержит конечное подпокрытие, то есть K UGα i .

i=1

Замечание. Мы отмечали, что понятие граничной точки, а, следовательно, и понятие открытости множества относительное (см. § 4

компактности в этом смысле не является относительным, то есть если

Теорема 2. Компактное подмножество метрического пространства

открыто, то согласно следствию теоремы 1 теорема 2 будет доказана.

окрестности будут не пересекающимися.

Поскольку К – компактно, то найдется конечный набор точек qi

окрестности не пересекаются, то V IW =Ø, тогда из K W следует, что K IV =Ø. Итак, окрестность V точки p K c не имеет общих точек с К, следовательно, точка р – внутренняя точка K c . Это означает, что

K c – открытое. Теорема доказана.

Теорема 3. Замкнутые подмножества компактного множества – компактные.

Доказательство. Пусть F K X , F – замкнуто, К – компактно и {Vα } – открытое покрытие множества F.

К

F

X

Тогда {Vα }U F c ={Gα } – открытое покрытие множества К ( F c −

дополнение F и так как F – замкнутое, то F c − открытое, согласно следствию теоремы 1). Поскольку К – компактно, то из покрытия {Gα }

выделим конечное открытое подпокрытие W, которое покрывает К и, следовательно, и F, так как F K. Если множество F c входит в W, то

135

его можно удалить (так как F I Fc =Ø) и получить открытое конечное покрытие множества F. Это означает компактность F. Теорема доказана.

Теорема 4. Отрезок σ =[a,b] R1 − компактное множество.

Доказательство. От противного. Пусть σ не является компактным, то есть из бесконечного открытого покрытия {Gα } нельзя

выделить конечное подпокрытие. Разделим отрезок σ пополам. Тогда, по крайней мере, одна из половинок будет некомпактной. Обозначим ее σ1 и опять разделим ее пополам. Новую некомпактную половинку

обозначим σ2 . Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность некомпактных отрезков

эквивалентны:

а) множество Е ограничено и замкнуто; б) множество Е компактно;

в) каждое бесконечное подмножество множества Е имеет предельную точку, принадлежащую Е.

Доказательство. Докажем теорему для частного случая, когда

E R1. Теорема будет доказана, если докажем, что из истинности а) б); из б) в), а из в) а). Пусть а) выполнено. Из ограниченности

множества Е следует, что его можно заключить в отрезок σ R1, так как σ − компактно (см. теорему 4), то из теоремы 3 следует, что Е – компактно, так как по условию оно замкнуто. Итак, из а) б).

Пусть теперь б) верно. Докажем, что из б) в). От противного. 136

Пусть V, бесконечное подмножество множества Е, не имеет ни одной предельной точки. Тогда каждая точка имеет окрестность Vα , которая

содержит только одну точку множества V. Объединение этих окрестностей Uα Vα – открытое покрытие множества V. Ясно, что из

него нельзя выделить компактного подпокрытия. Возьмем Uα Vα

составной частью покрытия Е. Очевидно, из этого покрытия нельзя выделить конечного подпокрытия, то есть Е – некомпактное. Получили противоречие, которое и доказывает утверждение из б) в).

Докажем, наконец, что из в) а). Пусть в) справедливо, а множество Е неограниченно, тогда найдется множество V E точек таких, что xn > n, n =1,2,... Это множество бесконечное, но не имеет

предельной точки, что противоречит в). Следовательно, Е – ограничено. Пусть Е – ограничено, но не является замкнутым, то есть не все предельные точки множества Е принадлежат Е. Пусть х0 – предельная точка множества Е, не принадлежащая Е, x0 Е. Поскольку любая

окрестность предельной точки х0 содержит бесконечное множество точек множества Е, то имеем бесконечное подмножество V множества Е, предельная точка которого не принадлежит ему. Это противоречит в). Теорема доказана.

§ 10. Свойства функций, непрерывных на компактном множестве. Равномерная непрерывность

Теорема 1. Пусть f (x) – непрерывное отображение компактного

метрического пространства Х в метрическое пространство У. Тогда множество V = f ( X ), то есть образ области определения, компактно.

функции компактное, а согласно теореме 5 §9 оно ограничено. Теорема доказана.

Следствие 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке [a,b] функция действительного переменного f (x) достигает на

f (x2 ) = inf f (x). Теорема доказана.

x [a,b]

Замечание. Требование компактности области определения функции существенно (необходимо). Например, функция

138

y = 1х, x (0,1) непрерывна на интервале (0,1), но не ограничена на нем и не достигает своих наибольшего и наименьшего значений, то есть sup 1x = +∞, inf 1x =1 − существуют, но точки, в которых достигаются

эти значения, не принадлежат области определения функции. Определение 1. Пусть f – отображение метрического

пространства Х в метрическое пространство У. Отображение f называется равномерно непрерывным на множестве Х, если для всякого

точек x′, x′′ X , удовлетворяющих условию ρx (x′, x′′) <δε .

Функция f (x) может быть непрерывной как в одной точке х0, так

и на множестве Х. Однако, равномерно непрерывной она может быть только на некотором множестве. Понятие равномерной непрерывности в одной точке лишено смысла.

Если функция f (x) непрерывна в точке х0, то дляε > 0 δ = δ(ε, x0 ) − разное для разных точек х0. При равномерной непрерывности δ =δ(ε) одно и то же для всех точек.

Теорема 2. Функция f (x) равномерно непрерывная на множестве

совпадает с определением непрерывности функции в точке х0. (см. определение 1 §7). Теорема доказана.

равномерно непрерывной на всей числовой оси. 139

компактного метрического пространства Х в метрическое пространство Y . Тогда f (x) – равномерно непрерывно на Х.

Доказательство. Докажем теорему для частного случая, то есть для действительной функции f (x) действительного аргумента.

От противного. Пусть существует такое ε0 , что для любого натурального п найдется пара точек xп′ и xп′′ таких, что xп′ − xn′′ < 1n , но

Так как последовательность {xn′} X , а Х по условию компактно,

то, согласно теореме 5 §9, оно замкнуто и ограничено. Тогда, согласно теореме Больцано-Вейерштрасса (см. §6 главы 2), существует подпоследовательность {xn′}, сходящаяся к некоторой точке x0 X . То

же самое можно сказать о подпоследовательности {xn′′i } последовательности {xn′}. Она сходится к той же точке х0, так как xп′ − xп′′ < 1n .

140