TAU-Lektsia_2_3

Второе неравенство выполняется при любом положительном k, а первое – только при k < kг, где kг – граничный передаточный коэффициент системы, определяемый из условия с0 = 0:

k1 e T0 / T1

Г1 e T0 / T1

как бы он ни был мал, дискретная система устойчива не при любом передаточном коэффициенте системы.

21

Теперь рассмотрим случай, когда передаточная функция непрерывной части имеет вид

Передаточная функция приведенной непрерывной части есть

W(s) k(1 e T0s )

Пs(T1s 1)(T2 s 1)

идискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

где

22

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

23

Коэффициенты преобразованного характеристического уравнения (см. (8.10б)) и условие устойчивости имеют вид

Итак, дискретизация по времени может привести к неустойчивости даже системы 1-го и 2-го порядка. При этом, как и следовало ожидать, граничный передаточный коэффициент с уменьшением периода квантования увеличивается и стремится к бесконечности с приближением периода к нулю.

24

9. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Качество дискретных систем управления определяется так же, как и качество непрерывных систем, и для его оценки можно использовать все ранее введенные показатели качества в переходном и установившемся режимах или их аналоги.

25

9.1. Показатели качества в переходном режиме

Показатели качества в переходном режиме делятся на прямые и косвенные.

Прямыми показателями качества называются числовые показатели, которые определяются по переходной характеристике.

Показатели качества, определяемые не по переходной характеристике, называются косвенными.

26

9.1.1. Прямые показатели качества

(0,02 0,1)h( )

hm h( ) 100% h( )

27

Вычисление переходной функции

Переходная функция h[kT0] есть функция, которая описывает реакцию системы на единичное воздействие g[kТ0] = 1[kТ0] при нулевых начальных условиях.

G*(z) = Z{l[kT0]} = z/(z – 1)

передаточная функция относительно входа g[kТ0] и выхода у[kT0]

28

Изображение переходной функции есть отношение полиномов:

С другой стороны, по определению z-преобразования

H * (z) h[kT0 ]z k

k 0

Поэтому значения переходной функции h[kT0] можно найти, разложив H*(z) в ряд Лорана путем деления числителя B*(z) на знаменатель A*(z) по правилу деления многочленов. При этом в многочленах B*(z) и A*(z) слагаемые должны располагаться в порядке убывания степени z.

29

Пример 9.1. Определить значения переходной функции h[kT0] (k = 0,1,..., 5) дискретной системы с передаточной функцией

Решение. z-изображение переходной функции имеет вид

Произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, для первых пяти слагаемых получим

H * (z) 0,1z 1 0,1z 2 0,07z 3 0,04z 4 0,061z 5 ...

Отсюда имеем

h(0) = 0, h(T0) = 0,1, h(2T0) = 0,1, h(3T0) = 0,07, h(4T0) = 0,04, h(5T0) = 0,061.

Если разность между степенями знаменателя и числителя равна r, то первый член разложения H*(z) в ряд Лорана будет иметь степень z–r. Поэтому первые r значений h[kT0] будут равны нулю:

h[0] = h[T0] = ... = h[(r – 1)T0] = 0.

30