Вопрос 22. Построение однокритериальной функции полезности

3.3. Формирование количественных ограничений

Рассмотрим несколько вариантов методики определения для дискретного множества исходов:

1) Случай, когда имеются два результата. Методика определения полезности такова:a) Определяем какой результат более предпочтителен для лица, принимающего решения. Если x1>x2, то x1 предпочтительнее, чем x2.

b) Определяем вероятность а, при которой достижение результата x1 будет эквивалентно результату x2, полученному с вероятностью 1.

c) Оцениваем соотношение между полезностями результатов x1 и x2. Для этого примем полезность u(x2)=1.

Тогда

au(x1)=u(x2), u(x1) =1/a.

2) Случай, когда имеются n возможных результатов x1,x2,…,xn, между которыми установлено отношение предпочтения x1>x2>x3>…>xn.

Для этого случая методика определения полезности следующая:

а)

a1u(x1)=u(x2).……………….an-1u(xn-1)=u(xn).

b) Положив полезность наименее предпочтительного результата xn равным единице, находим

Под формированием количественных ограничений будем понимать определение (вычисление) нескольких точек на кривой, описывающей функцию полезности лица, принимающего решение. Следуя аксиоме 4, выберем x* и х0, такие, что х* по крайней мере так же предпочтителен, как любые другие исходы, каждый из которых в свою очередь не менее предпочтителен, чем х0. Затем можно произвольным образом назначить конкретные значения полезности двум данным исходам при условии, что u(х*)>и(x0). Далее мы хотим получить значение х (назовем его x1), такое, что исход х1 равноценен лотереес точки зрения лица, принимающего решение. Тогда, поскольку полезности такого исхода и лотереи L1 должны быть равны, можно записать

. (3.2)

Уравнение (3.2) дает третью точку на графике функции полезности (рис. 3.1). Аналогично используя экспертные оценки гарантированных эквивалентов х2 и x3 для соответствующих лотерей и, получим значения полезности еще для точек:

С помощью такого метода всегда можно получить по известным значениям полезности двух исходов значение полезности третьего исхода.

Очень важным является вопрос о том, как найти значение гарантированных эквивалентов. Для получения гарантированного эквивалента требуется процедура взаимодействия исследователя с лицом, принимающим решение (экспертом). Эксперт должен сделать несколько выборов между предлагаемой ему лотереей и предлагаемыми исходами. Например, выбираем исход xa, и спрашиваем эксперта: «Исход xa предпочтительнее лотереи L1?» Независимо от ответа нужно знать, как следует изменить значение х (увеличить или уменьшить), чтобы найти искомый гарантированный эквивалент х1.

Рис. 3.1. Функция полезности

Предположим, что заранее было очевидно, что истинное х1 должно быть больше, чем xa. Тогда следовало бы выбрать xb такое, что xb>xa, и спросить эксперта, что предпочтительнее: хb или L1? После ответа снова нужно знать, как следует изменить значение х (увеличить или уменьшить). Такой интерактивный процесс (взаимодействие с экспертом) сходится постепенно к исходу х1, равноценному лотерее L1, т.е. к гарантированному эквиваленту.Пример

Рассмотрим перечень критериев для оценки вариан­тов постройки аэропорта. Предположим, что после рассмотрения вариантов разброс оценок по критериям может быть представлен табл.

Зная диапазон изменения оценок по каждому из критериев, построим функцию, определяющую полезность для ЛПР каж­дой оценки из этого диапазона. Максимальное значение этой функции положим равным единицы, а минимальное - нулю.

Разброс оценок вариантов постройки аэропорта

Критерий	Наихудшее значение	Наилучшее значение
(C1) Стоимость постройки аэропорта (С2) Время поездки от центра города ( (Сз) Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям	$ 200 млн 90 мин 50 тыс	$ 100 млн 40 мин 5 тыс.

На рис. приведен пример построения функции полезно­сти ЛПР для критерия «Стоимость постройки аэропорта».Первоначально известны две точки функции полезности: U($100 млн)=1, U($200 млн)=0. Для нахождения промежуточ­ных точек используются типовые лотереи (см. лекцию 2). В ло­терее 1 на рис. 22 (слева) перед ЛПР ставится следующая задача: «Определите эквивалент определенности для лотереи, имеющей с равными вероятностями (р=0,5) минимальную и максимальную стоимости постройки». ЛПР предъявляют ряд значений (на­пример, $120 млн, $130 млн и т. д.) и спрашивают: выше или ниже данного значения находится, по его мнению, эквивалент определенности. Предположим, что ЛПР остановился на значе­нии $160 млн. Тогда делается вывод, что U=0,5 соответствует $160 млн. Аналогично определяются другие значения функции полезности. Так, правая лотерея на рис. 22 позволяет опреде­лить точку U($130 млн)=0,85. Идентичным образом строятся функции полезности для каждого из критериев.