11

мент времени, еѐ скорость и ускорение. Действительно, взяв производную ра- диус-вектора по времени, найдѐм вектор скорости

v drdt dxdt i dydt j dzdt k ,

v vxi vy j vz k ,

где vx dxdt , vy dydt , vz dzdt – проекции вектора скорости на оси координат.

Применяя теорему Пифагора, определим модуль вектора скорости

v vx2 v2y vz2 .

Аналогичным образом определим вектор мгновенного ускорения, взяв производную вектора скорости по времени

a ddtv ddtvx i ddtvy j ddtvz k , a axi ay j az k ,

где ax ddtvx , ay ddtvy , az ddtvz – проекции вектора ускорения на оси коорди-

нат. Модуль полного ускорения определится как

aax2 ay2 az2 .

1.1.3.Движение по окружности

Если материальная точка движется по окружности, то еѐ положение при заданном радиусе окружности R вполне определяется углом , который составляет радиус-вектор r , проведѐнный из центра окружности, с осью отсчѐта Оx (рис. 1.6). В данном случае начало отсчета координат выбрано в центре окружности, и модуль радиус-вектора r равен радиусу окружности (r = R). Зависимость (t) полностью задаѐт движение материальной точки по окружности радиуса R. Угол поворота измеряется в радианной мере.

13

d dt

и направлен в ту же сторону, что и d (рис. 1.7). Модуль вектора угло-

материальной точки по траектории (линейная скоростьv , ddt – вектор угло-

вой скорости . Таким образом, получаем связь линейной и угловой скорости точки при движении по окружности в векторной форме:

v , r

Так как угол между векторами и r равен 90° , а r R , то по модулю

v R.

Если начало отсчета координат выбрать не в центре окружности, а в произвольной точке на оси вращения, то при движении точки по окружности радиус-вектор r будет вращаться по конической поверхности (рис. 1.8) или, как говорят, прецессировать. Уравнение прецессии имеет вид:

drdt , r ,

ничный вектор в направлении вектора ). Расписав производную произведения, получим:

Если ось вращения не меняет положения в пространстве, то e не изменяется, и второе слагаемое равно нулю. Тогда