МОДУЛЬ II: КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

103

ской частоте колебаний . Проекция вектора на горизонтальную ось x изменяется по закону косинуса x Acos( t ) , а на вертикальную ось y по закону синуса y Asin( t ) .

2.1.3. Сложение колебаний

Если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах, то возникает результирующее движение или колебание, называемое суммой этих колебаний. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

2.1.3.1. Сложение колебаний одного направления. Биения

Рассмотрим результирующее колебание шара 1, который колеблется относительно шара 2 на пружине а и вместе с ша-

бром 2 колеблется на пружине б в одном и том же направлении

(рис. 2.4). Так как эти векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью , то их взаимное расположение не изменяется. Значит, не изменяется и угол между векторами, соответственно разность фаз колебаний 2 1 остается постоянной. Результирующее колебание x x1 x2 можно представить как

сумму проекций векторов A1 и A2 на ось х или как проекцию результирую-

щего вектора A A1 A2 . То есть

x Acos( t ) ,

105

ленным в ту же сторону, что и вектор A2 , результирующее колебание достигнет максимальной амплитуды A A1 A2 . При этом разность фаз 2 1 0 .

Далее разность фаз начнет увеличиваться, и, когда вектор A1 станет направ-

лен противоположно вектору A2 , результирующее колебание достигнет минимальной амплитуды A A1 A2 . При этом разность фаз 2 1 . В ре-

зультате получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

Периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы и равны A , а их частоты равны соответственно и . Начало отсчета вре-

мени выберем так, чтобы начальные фазы колебаний были равны нулю. Запишем уравнения этих колебаний и сложим их:

x1 Acos( )tx2 Acos t

x A cos( )t cos t .

Применяя формулу для суммы косинусов

cos cos 2cos cos , 2 2

получим x 2Acos 2 t cos( 2 )t , а, с учетом того, что ,

106

x 2Acos 2 t cos t .

Задавая значения , и амплитуды A , построим график зависимости x от времени t (рис. 2.6). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой , амплитуда которого Аб медленно изменяется по закону

Aб 2A cos 2 t ,

Рис. 2.6.

т. е. возникают колебания, модулированные по амплитуде. Период изменения амплитуды результирующего колебания называется периодом биений Tб , он

равен

Tб 2 .

2.1.3.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим маятник, который может совершать колебания одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Для характеристики его положения нужно задать две величины, например, координаты x и y :

Такими уравнениями описывается движение тела, закрепленного на двух парах одинаковых пружин или движение математического маятника

107

(рис. 2.7). Движение таких маятников представляет собой сумму колебаний в направлениях x и y. Чтобы получить уравнение траектории маятника, нужно исключить из уравнений (2.2) и (2.3) параметр t . Из (2.2) следует, что

x2

После преобразований переноса и выноса за скобки дроби A2 , запишем

108

Учитывая, что sin2 cos2 1, получим

. Получилось уравнение прямой линии. Тело, перемещаясь по этой прямой (рис. 2.8 а), совершает результирующее гармоническое колебание в первом и

Рис. 2.8.

щее гармоническое колебание во втором и четвертом координатных углах по закону r A2 B2 cost (рис. 2.8 б).