5. Виды движений материальной точки

В зависимости от того, как изменяются со временем скорость и ускорение материальной точки, ее движение может быть разделено на несколько видов. Простейшим является случай движения с постоянной по модулю скоростью – равномерное движение.

1. Равномерное движение

Рассмотрим равномерное движение материальной точки с постоянной по модулю скоростью const. по произвольной траектории. Из определения модуля скорости следует, что элементарный путь, который материальная точка проходит за времяdt:

.

Интегрируя, получим закон зависимости пройденного пути от времени наблюдения t:

Константу интегрирования C определим из начальных условий. Если в начале наблюдения при t = 0 путь материальной точки , тогда, а закон зависимости пути от времени наблюдения принимает вид:

Если в момент времени t = 0 пройденный путь, тогда

.

Равномерное движение не означает дви­жения без ускорения, поскольку при криво­линейном равномерном движении матери­альная точка обладает нормальным ускорением . Равна нулю только тангенциальная компонента ускорения, поскольку скорость не меняется по величине. Для равномерного движения

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности (Рис 1.11). Расположим начало координат в центре этой окружности. В случае равномерного движения радиус-вектор прецессирует с угловой скоростьюи, согласно уравнению прецессии,Вектор скорости материальной точкитакже прецессирует с угловой скоростьюТогда вектор нормального ускорения. Применяя свойство двойного векторного произведения, получимТак как векторыивзаимно перпендикулярны, первое слагаемое равно нулю, и.

Рис. 1.11.

2. Равномерное прямолинейное движение

Пусть материальная точка движется равномерно по прямолинейной траектории. Тогда вектор мгновенной скорости остается постоянным не только по модулю, но и по направлению. Согласно определению вектора мгновенной скорости элементарное перемещение за времяdt: . Интегрируя это выражение, найдём зависимость радиус-векторадвижущейся материальной точки от времени наблюдения

Константу интегрирования C определим из начальных условий: если в начале наблюдения при t = 0 положение материальной точки определялось радиус-вектором (рис. 1.12), то , а зависимость радиус-вектора от времени принимает вид

.

Рис. 1.12.

В проекциях на оси координат .

В случае движения в одном направлении ось x обычно проводят по траектории прямолинейного движения, тогда пройденный материальной точкой путь

1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.

Определим зависимость модуля скорости от времени наблюдения, используя определение тангенциальной составляющей ускорения. За промежуток времениdt изменение модуля скорости. Интегрируя, получим:

.

Константу интегрирования C определим из начальных условий: если в момент начала наблюдения при t = 0 материальная точка обладала скоростью, по модулю равной , тогда, а зависимость модуля скорости от времени наблюдения:

. (1.2)

График этой зависимости показан на рисунке 1.13.

Аналогично определим зависимость пройденного пути от времени наблюдения. Из определения модуля скорости выразим элементарный путь. Интегрируя, получим

Рис. 1.13.

,

Константу интегрирования определим из начальных условий: если в момент времени t = 0 путь s = 0, тогда C = 0, а зависимость пути от времени принимает вид:

(1.3)

К такому же результату можно прийти, используя график зависимости скорости от времени. Путь, пройденный материальной точкой за времяt, соответствует площади под графиком скорости. На рис. 1.13 эта площадь показана штриховкой. Видно, что она равна сумме площадей прямоугольника OACD и треугольника АВС. Площадь прямоугольника равна, площадь треугольника. Таким образом,

Всю заштрихованную площадь можно также представить как площадь трапеции OABD, равную произведению полусуммы оснований ина высотуt, тогда

(1.4)

Из (1.2) выразим время, , и подставим его в (1.4), тогда

и