- •Введение
- •Модуль I основы механики
- •Движение материальной точки
- •Механическое движение
- •Скорость
- •Ускорение
- •Движение по окружности
- •Виды движений материальной точки
- •Равномерное движение
- •Равномерное прямолинейное движение
- •1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.
- •Равноускоренное движение с изменяющейся тангенциальной составляющей ускорения
- •Прямолинейное равноускоренное движение
- •Виды движения твердого тела
- •Динамика материальной точки. Законы ньютона
- •1.7.1. Первый закон Ньютона
- •1.7.2. Второй закон Ньютона
- •1.7.3. Третий закон Ньютона
- •Движение системы тел
- •1.8.1. Закон изменения и сохранения импульса системы тел
- •1.8.2. Центр инерции системы тел. Центр масс
- •1.8.3. Уравнение движения центра масс
- •Движение тела переменной массы
- •Силовое поле
- •1.9.1. Центральное силовое поле
- •1.9.2. Однородное силовое поле
- •Энергия. Работа сил поля
- •1.10.1. Механическая работа. Мощность
- •1.10.2. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
- •1.10.3. Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Потенциальная энергия упругих сил
- •Градиент скалярного поля
- •Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
- •Потенциальная энергия взаимодействия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Потенциальная кривая
- •Соударение тел
- •Неинерциальные системы отсчета
- •1.11.1. Силы инерции
- •1.11.2. Принцип эквивалентности
- •1.11.3. Сила тяжести, вес тела, невесомость
- •Элементы теории относительности
- •1.12.1. Постулаты Эйнштейна
- •1.12.2. Преобразования Лоренца
- •1.12.3. Относительность одновременности
- •1.12.4. Относительность длин
- •1.12.5. Интервал
- •1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей
- •1.12.7. Зависимость массы от скорости
- •1.12.8. Основной закон релятивисткой механики
- •1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •1.13.1. Момент силы
- •1.13.1.1. Момент силы относительно точки
- •1.13.1.2. Момент пары сил
- •1.13.1.3. Момент силы относительно оси вращения
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)
- •Момент импульса материальной точки
- •1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
- •1.13.2.3. Момент инерции кольца
- •1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
- •1.13.2.5. Момент инерции однородного стержня
- •1.13.2.6. Теорема Штейнера
- •Свободная ось вращения. Главные оси инерции
- •Работа, совершаемая при вращательном движении
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Уравнение моментов
- •Закон сохранения момента импульса
- •Гироскопы
- •Элементы динамики сплошных сред
- •1.14.1. Неразрывность струи
- •Уравнение Бернулли
- •Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах
1.12.4. Относительность длин
Из преобразований Лоренца следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчёта, уменьшается в направлении движения. Это изменение продольного размера тела при его движении называется лоренцевым сокращением.
Пусть – длина стержня, покоящегося в системе отсчёта. Стержень расположен вдоль оси. Для измерения его длины наблюдатель в системеможет отмечать координаты его концовив разные моменты времении. Длина стержня в этой системе. Длинатого же стержня в системе отсчётаK, относительно которой он движется вместе с системой , равна разности координат концов стержняи, измеренных в один и тот же момент времени. Запишем преобразования Лоренца для координати.
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим
.
Так как , тоили
Как видим, размеры тела относительны. Они максимальны в той инерциальной системе отсчёта, относительно которой тело покоится. Эти размеры тела называются его собственными размерами.
Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
1.12.5. Интервал
Интервалом или пространственно-временным интервалом между двумя событиями называется величина
,
где – промежуток времени между этими событиями (по часам системы, а– расстояние между точками, в которых совершаются эти два события.
Из преобразований Лоренца следует, что интервал между двумя событиями инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчёта, т. е. не изменяется при переходе от движущейся инерциальной системы отсчёта к неподвижной системеK:
,
где .
1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей
Пусть материальная точка движется со скоростью в движущейся системе отсчёта. В неподвижной системе отсчётаK скорость этой точки запишется как . Используя преобразования Лоренца, найдём связь между проекциями скоростей точки на оси координат в системахK и . Запишем преобразования Лоренца для бесконечно малого промежутка времени:
Тогда . Разделив каждый член этой дроби наи учитывая, что, получим:
.
Для проекции скорости на ось y имеем: . После деления и числителя и знаменателя навыражение принимает вид:
.
Аналогично получим выражение для проекции скорости на ось :
.
1.12.7. Зависимость массы от скорости
В релятивистской механике, как и в ньютоновой, импульс материальной точки пропорционален её массе и совпадает по направлению со скоростьюэтой точки. Однако, в отличие от классической механики, импульс материальной точки является нелинейной функцией её скорости
.
Такой импульс называют релятивистским импульсом. Величину
называют релятивистской массой материальной точки.
1.12.8. Основной закон релятивисткой механики
Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на эту точку, т. е.
или.
Ускорение, сообщаемое материальной точке силой:
.
Следовательно, ускорение материальной точки, вообще говоря, не совпадает по направлению с силой, вызывающей это ускорение.
Вектор коллинеарен силетолько в двух случаях:
сила направлена перпендикулярно к скорости точки (поперечная сила), так что , и
;
сила направлена параллельно к скорости точки (продольная сила), так что , и
.