1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения

Рассмотрим тело, вращающееся вокруг оси z, проходящей через центр масс этого тела. Разобьём тело на систему материальных точек с массами . Вектор момента импульсаi-й материальной точки относительно центра масс С равен: , а модуль этого вектора.

Найдем проекцию вектора на ось вращенияz: . Из заштрихованного треугольника (рис. 1.57) видно, что, где– расстояние отi-й точки до оси вращения (радиус вращения). Тогда и, учитывая, что, где – угловая скорость вращения тела, получим .

Момент импульса тела относительно оси вращения равен сумме проекций моментов импульсов материальных точек, из которых состоит тело, на ось вращения. То есть момент импульса тела относительно оси z равен . Все точки тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, тогда.

Величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты

Рис. 1.57.

их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела I относительно данной оси:

.

Суммирование проводится по всем элементарным массам , на которые мысленно разбито тело. Чем меньше элементарные массы, тем более точным является выражение для момента инерции тела относительно оси вращения, и задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию:

.

Тогда момент импульса тела относительно оси вращения z равен:

.

Рис. 1.58.

Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то векторы моментов импульсов иматериальных точек, симметричных относительно оси вращения, при суммировании дают результирующий вектор момента импульса, лежащий на оси вращения (см. рис. 1.58). По правилу правого винта его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости. Тогда вектор момента импульса всего тела по отношению к центру массС будет равен

.

1.13.2.3. Момент инерции кольца

Вычислим моменты инерции некоторых простых тел. Найдем момент инерции однородного тонкостенного полого цилиндра (кольца) (см. рис. 1.59) массой m и радиусом R относительно его оси симметрии . Разобьем кольцо на элементарные массыdm. По определению момент инерции . Ввиду малой толщины стенок цилиндра, можно считать, что все элементарные массы находятся на одинаковом расстоянииR от оси . То есть,r = R = const., тогда . Так какесть масса кольца, следовательно, момент инерции кольца относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр масс

Рис. 1.59

_{I = mR2.}

1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)

Найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси . Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщиныи радиуса. На рис. 1.60 показан только один такой цилиндр (выделен темным цветом). Момент инерции каждого полого цилиндра, гдеdm – масса элементарного цилиндра. Введем понятие поверхностной плотности массы цилиндра , где– площадь поверхности основания цилиндра. Тогда элементарная масса, где– площадь поверхности элементарного кольца, т. е.. Момент инерции сплошного цилиндра

Рис. 1.60

.

Вынесем за знак интеграла:

.

Учитывая, что , получим

.

То есть момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси:

.

Для полого цилиндра момент инерции равен , где R₁ и R₂ – его внешний и внутренний радиусы.