Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

ЕА Сц - M(ù + Е2кт

Из решений (7.6.12) следует, что на грани­ це устойчивости (7.6.11) амплитуды вынужден­ ных колебаний становятся неограниченно боль­ шими, т.е. анизотропия ротора как бы уничто­ жает положительные силы сопротивления в сис­ теме.

Причина такого влияния анизотропии ро­ тора на вынужденные колебания, а также на ширину области устойчивости согласно (7.6.11) заключена в неконсервативности рассматривае­ мой системы. Чтобы показать это, вычислим работу сил упругости вала (без учета сил сопро­ тивления) на перемещениях (7.6.12). В результа­ те вычислений найдем

т.е. работа сил упругости в анизотропной систе­ ме не равна нулю, что, вообще говоря, заранее не было столь очевидным.

Имеющиеся в реальных системах нелиней­ ные силы ограничивают амплитуды вынужден­ ных колебаний на границах области неустойчи­ вости, а также амплитуды параметрических ко­ лебаний внутри этой области. При этом оказы­ вается, что вынужденные и параметрические колебания становятся связанными.

;шнейные силы демпфирования, пропорцио­ нальные квадрату амплитуд перемещений диска, при анизотропии у =0,4 и линейных силах со­ противления Ô =0,1. Там же показаны ампли­ тудные кривые J, 4 для изотропного ротора, имеющего одинаковую с анизотропным ротором "усредненную" жесткость. Уровень нелинейных сил (кривая 4) выбран так, что эти силы в изо­ тропной системе снижают амплитуды вынуж­ денных колебаний на резонансе примерно на 10 % по сравнению с линейной системой. Из рис. 7.6.11 следует, что при отсутствии неуравнове­ шенности в диапазоне неустойчивости будут существовать только параметрические колебания. Для неуравновешенного ротора на границе ус­ тойчивости амплитуды будут уже ограничены, а в диапазоне неустойчивости будут существовать совместные вынужденные и параметрические колебания с общей частотой со. Для анизотроп­ ного ротора уровень колебаний вблизи резонан­ са будет существенно более высокий, чем для изотропного ротора.

Массовая анизотропия ротора, в частности неодинаковость экваториальных моментов инер­ ции насаженных на вал дисков, приводит к яв­ лениям, аналогичным описанным.

Глава 7.7

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

7.7.1. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

Рассмотрим задачи об устойчивости упру­ гих систем при действии на них ударных (импульсных) нагрузок, которые "мгновенно" возрастают до некоторой величины, а затем убы­ вают по нексторому закону (рис. 7.7.1). Вопросы о критериях устойчивости упругих систем при ударных нагрузках до сих пор остаются дискус­ сионными. Наибольшее распространение полу­ чили "практические" критерии, отражающие конкретные требования к условиям эксплуата1ЩИ конструкций различных классов [15, 37].

где Л - дифференциальный оператор; и - вектор перемещений; а- коэффициент линейного дем­

пфирования; р - вектор внешних сил.

Будем искать решения, удовлетворяющие некоторым граничным и начальным условиям:

Г{и) = 0; и(0) = и^ и,{0) = uj. (7.7.2)

Под воздействием внешних факторов, учесть которые по тем или иным причинам не пред­ ставляется возможным, система совершает дви­ жение, определяемое вектором w = w + Ï7, где й - возмущения, изучение характера которых и составляет задачу об устойчивости невозмущен­ ного решения и.

Для широкого класса операторов с помо­ щью (7.1.1) и (7.1.2) можно показать, что при внешних нагрузках, исчезающих с течением вре­ мени, невозмущенное движение асимптотически устойчиво, т.е. возмущения при / —> оо стремят­ ся к нулю. Это, однако, не означает, что возму­ щения остаются произвольно малыми в любой момент времени. При некоторых условиях'амп­ литуды возмущений на этапе переходного про­ цесса могут стать достаточно большими. Таким образом, на практике критерий устойчивости должен заключаться в назначении верхней гра­ ницы для тех или иных параметров напряженнодеформированного состояния. Этот подход идентичен концепции устойчивости на конечном интервале времени.

В качестве критерия динамической "потери устойчивости" для тонких упругих оболочек [15] обычно принимают величину прогиба в харак­ терной точке, равную толщине оболочки. В этом случае нагружение при заданном давлении на оболочку p{t) характеризуется двумя параметра­ ми: максимальным давлением Pf^ и импульсом

\p{t)dt. {1.13)

где /* - время, при котором прогиб становится равным некоторому заданному критическому значению.

Другой возможный критерий связан с ог­ раничением на некоторый параметр напряжен­ ного состояния, например, за момент динами­ ческой "потери устойчивости" принимают мо­ мент достижения интенсивностью напряжений в срединной поверхности оболочки предела теку­ чести материала.

7.7.2.ФОРМЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

Характер выпучивания конструкции при динамическом приложении сил может быть со­ вершенно иным, чем при статическом нагружении [28]. Это объясняется влиянием сил инер­ ции, соответствующих перемещениям при вьшу-

чивании. При решении динамических задач оп­ ределяют ту форму выпучивания, которой при заданном импульсе соответствует наибольший темп нарастания перемещений. По существу, исследуются асимптотические формы выпучива­ ния при относительно большом времени (эксперименты показывают, что в динамике выпучивание происходит по более высоким формам, чем в статике).

Исследования поведений стержней и ци­ линдрических оболочек при продольном ударе о массивную преграду показали, что процесс вы­ пучивания можно схематично разделить на три стадии [20, 31]. Рассмотрим эти стадии на при­ мере круговой цилиндрической оболочки.

Первая стадия. Прогибы оболочки w{x,yyt),

описываемые линейными уравнениями движе­ ния пологих цилиндрических оболочек, в про­ цессе выпучивания приближаются к осесимметричной форме

w{x,y,t) =^sincûJcexp(YO

с длиной волны X, определяемой соотношением

X = 27С / со = kh{a / v ) ^ . Здесь х, у - коорди­ наты вдоль образующей и в окружном направле-

нии; h - толщина оболочки; а = (Е / р)1/2 стержневая скорость звука; V - скорость удара;

сона.

Вторая стадия. Появляющиеся нелиней­ ные эффекты приводят ко вторичной неустойчи­ вости осесимметричного выпучивания по отно­ шению к всегда имеющимся начальным неосесимметричным возмущениям.

Третья стадия. В конце процесса выпучи­ вания оболочка принимает форму изометричес­ кого изгибания исходного цилиндра, для кото­ рой энергия мембранных напряжений мини­ мальна.

Определяющим параметром процесса упру­ гого вьшучивания цилиндрических оболочек при продольном ударе является длина волны X ли­ нейного вьшучивания; ромбовидные вмятины имеют характерный размер 2Х вдоль образующей цилиндра. При скоростях удара, меньших значе-

V* =ah/ [Ф

никают лишь колебательные движения (при v=v* осевые сжимающие напряжения в оболочке достигают эйлеровых критических).

Теоретическое описание выпучивания ци­ линдрической оболочки применимо и к описа­ нию вьшучивания слабоконических оболочек. Слабая конусность оболочек (до 4^) качественно и количественно не влияет на вьшучивание обо­ лочек на осесимметричной стадии. На переход­ ной и заключительной стадиях такое отличие более заметно. У достаточно коротких оболочек

с углом полураствора а=15*^, нагруженных уда­ ром по большему основанию, характерных трех стадий не наблюдается. Конусность оболочек влияет на локализацию процесса выпучивания. У расширяющихся оболочек процесс более локали­ зован вблизи ударяемого торца, чем у сужаю­ щихся. Как и в случае цилиндрической оболоч­ ки, процесс выпучивания можно разделить на три стадии: начальную линейную стадию, когда основная форма прошбов осесимметрична; пе­ реходную стадию между начальной и заключи­ тельной, когда нелинейные эффекты начинают играть сущеегвенную роль; заключительную не­ линейную стадию, на которой деформированная поверхность близка к изометрическому изгиба­ нию поверхности конуса.

7.7.3. ПОВЕДЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НАЧАЛЬНЫМИ НЕСОВЕРШЕНСТВАМИ

Реальные конструкции и образцы, служа­ щие для проведения экспериментов, всегда име­ ют начальные неправильности. Формы и ампли­ туды этих неправильностей в значительной мере зависят от технологии изготовления. По извест­ ным в литературе данным, для тщательно изго­ товленных оболочек амплитуда начального про­ гиба может быть в вычислениях принята равной около 0,001 толщины. Один из возможных путей решения задачи в этом случае основан на непос­ редственном и}ггегрировании уравнений движе­ ния неидеальной оболочки.

Впроцессе вьшучивания упругого стержня

иупругой 1дили}щрическ0й оболочки при продо;п>ном ударе происходит избирательное усиле­ ние различных составляющих начального проги­ ба, так что после некоторого переходного про­ цесса форма вьптучивания определяется дей­ ствующей нагрузкой и не зависит от вида на­ чальных неправильностей. При других видах нагружения поведение в значительной степени определяется начальными неправильностями. Методика определения значения начального прогиба, начиная с которого развитие динами­ ческих прогибов резко меняет темп, приведена в работе [37].

Вкачестве примера учета начального про­ гиба рассмотрим устойчивость цилиндрической оболочки конечной длины / при действии осесимметричного равномерно распределенного импульсного давления pif) [39]. Принято счи­ тать, что срединная поверхность оболочки имеет начальные неправильности, совпадающие по форме с прогибами при потере устойчивости. Изучим лишь такие процессы, в которых ампли­ туда изгибных прогибов не превосходит толщи­ ны оболочки. В этом случае в рамках теории пологих оболочек поведение оболочки будет описываться системой уравнений смешанного типа относительно функции напряжений Ф и нормального прогиба w.

Для случая свободного опирания форма динамического и начального прогиба имеет вид

тсс w(x,0,/) =Ы WQ (/) + w^ (/) ces — ces лв

W (х, 0] = пЪ^ COS — COS л9,

где п - число волн потери устойчивости оболоч­ ки по окружности.

Далее предполагаем, что /Q больше, чем пе­ риод осесимметричных колебаний оболочки TQ, а период изгибных колебаний 7'„>>,7о. В каче­ стве критерия динамической устойчивости обо-

условие означает, что в ходе динамического про­ цесса потери устойчивости начальные непра­ вильности оболочки увеличиваются в С раз. В результате минимизации по п бьшо установлено, что устойчивость оболочки определяется только значением критического импульса /*, который не зависит от конструктивного параметра обо-

2 2

лочки Y = тс Bh 11 (при у<0,1).

0.5

Рис. 7.7.2. Граница устойчивости для цилиндрической оболочки при действии

ступенчатого импульса конечной длительности

На рис. 7.7.2 показана граница устойчивос­ ти оболочек при С=1000, которая хорошо апгГроксимируется зависимостью

где р* - значение статической критической на­ грузки; Ji^—Pmh\ h " продолжительность дей­ ствия нагрузки (см. рис. 7.7.1, а). Формула (7.7.4) описывает границу устойчивости широко­ го класса оболочек. Например, для круговых

цилиндрических оболочек постоянная в правой части близка к двум. Этот же закон справедлив для конических оболочек, сферических куполов и цилиндрических панелей. Результаты эксперимен1юв подтверждают справедливость данного приближенного метода оценки динамической устойчивости оболочек [37]. Формула (7.7.4) применима только в случае, когда критические напряжения оболочки существенно меньше пре­ дела текучести материала; она становится непри­ годной и для нагрузок импульсного типа, когда

При достаточно высоком значении пара­ метра нагрузки Pfn величина опасного импульса остается почти неизменной при различных на­ грузках, испытываемых системой. На основе систематических опытов с моделями цилиндри­ ческих оболочек из сплава АМг-6, подвергавши­ мися действию осесимметричного равномерно распределенного импульсного давления, получен ряд эмпирических зависимостей, позволяющих определить критическую величину удельного импульса и другие величины, характеризующие выпучивание [37]:

J. = l,44i?7p^

гиб, возникающий при действии импульсной нагрузки. Принято, что выпучивание сопровож­ дается образованием серии окружных вмятин, число п которых равно ближайшему целому к величине п*. За потерю устойчивости принима­ ют достижение остаточным прогибом толщины стенки.

7.7.4. ВЛИЯНИЕ ВОЛНОВЫХ ЭФФЕКТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

примьпсающем к нагруженному концу. Наблюда­ ется также явление перестройки динамических форм, заключающееся в изменении числа Bojm в процессе выпучивания [18].

Приведем постановку задачи о выпучива­ нии полубескоиечного упругого стержня при продольном ударе телом, движущимся с посто­ янной скоростью V. В этом случае продольная волна сжимающих напряжений и выпучивание с учетом начального прогиба WQ(X), деформации поперечного сдвига и инерции вращения, а так­ же неоднородности сжимающих усилий описы­ ваются линеаризованной по прогибам w систе­ мой уравнений:

с нулевыми начальными условиями, условиями шарнирного опирания на торце и краевым усло­ вием для и(рс, t) в виде w(0, t)=vt. Здесь х - расстояние от торца стержня; Е, G и р - модуль Юнга, модуль сдвига и плотность материала стержня; и - продольные смещения; /, А, п - момент инерции, площадь поперечного сечения и коэффициент, зависящей от его формы [31]. Аналогичные уравнения для пластин и цилинд­ рических оболочек при продольном ударе при­ ведены в работе [15].

7.7.5.ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕХАНИЧЁСЮ1Х СИСТЕМ

САКУСТИЧЕСКИМИ ВОЛНАМИ

Волновой характер распространения на­ пряжений вдоль конструкции оказывает значи­ тельное влияние на динамическую устойчивость в случае, если конструкция удлиненного очерта­ ния подвергается продольному удару, например удару о преграду или со стороны некоторого 1руза. В этой постановке условие удара задают скоростью одного из торцов стержня, пластины или оболочки при определенном соотношении масс деформируемой конструкции и груза. Экс­ перименты показывают, что при увеличении скорости удара число волн, образующихся вдоль конструкции, возрастает, причем преимуще­ ственное вьшучивание имеет место на участке.

Распространение акустических волн (или поверхностей слабого разрыва) характеризуется постоянством скорости звука во всех точках сре­ ды, малостью изменения плотности по сравне­ нию с плотностью невозмущенной среды ро, а также малостью скоростей частиц v по сравне­ нию со скоростью звука CQ. Давление р, дей­ ствующее на преграду, можно представить в виде р—р] •+7?2"^/^3» где pi - давление в падающей вол­ не; Р2 - давление в волне, отраженной от жест­ кой и неподвижной преграды; р^ - давление излученных волн, связанное с деформированием преграды и движением ее как твердого тела.

Для воздуха теория акустического прибли­ жения допустима, если перепад давления в па­ дающей волне не превышает 7 кПа. Поскольку давлением />з ^ воздухе можно пренебречь, то задача определения внешних нагрузок в этом случае является чисто аэродинамической (сумму P0~Pl~^P2 обычно называют дифракционным давлением).

В жидкости давление Р2 играет суще­ ственную роль, поэтолсу ниже основное внима­ ние будет уделено этому случаю. Гидродинами­ ческому давлению р соответствует суммарный потенциал \|/, который также представляется в виде суммы трех слагаемых p=-pd^f/dt,

v|/=v|/i-f-\|/2+v|/3. Здесь р - плотность жидкости; v|/i - потенциал скорости жидкости в волне дав­ ления, который считается заданным; vj/2 - потен­ циал, соответствующий давлению Р2, и уз - дав­ лению /?3' Потенциалы v|/2 и уз должны удовлет­ ворять волновому уравнению

нулевым начальным условиям и 1фаевым усло­ виям на поверхности (границе) iS* преграды

ки зрения достаточно точно согласуются с их точными представлениями в случае дифракции акустических ударных волн на сферических и цилиндрических оболочках (рис. 7.7.3). Некото­ рые из них представлены в табл. 7.7.1. Точность этих аппроксимаций и пределы их применимос­ ти подробно обсуждаются в [18, 37]. В случае цилиндра расчеты давлений по этим соотноше­ ниям подтверждаются экспериментальными дан­ ными [62]. Если внутренняя полость цилиндри­ ческой оболочки заполнена жидкостью, то до­ полнительно на оболочку будет действовать давление р^у для которого переходная функция i^(T) = l + T / 2 ( х « 1 ) .

где с - скорость звука в жидкости; п - направле­ ние внешней нормали; w - перемещение прегра­ ды в сторону внешней нормали; граница S - кусочно-гладкая поверхность.

Если на поверхности S имеются сингуляр­ ные точки (вершины границ) и линии (ребра границ), то в их окрестности необходимо поло­ жить дополнительные ограничения на поведение У2 и ^Ъ чтобы обеспечить единственность ре­ шения гидродинамической задачи с заданными начальными и граничными условиями.

Для оболочек вращения потенциалы У2 и v|/3 можно представить через "переходные функ­ ции" F{t) в форме [18]

QV дп )s

Получен ряд приближенных выражений для функций Д/), которые с практической точ­

Рис. 7.7.3. Схема взаимодействия плоской волны с цилиндрической (сферической) оболочкой

Полученные соотношения для гидродина­ мических нагрузок становятся неприменимыми в следующих случаях: возникающие давления в жидкости больше 100 МПа; перемещения кон­ тактных поверхностей становятся очень больши­ ми (для оболочек соизмеримыми с радиусами кривизны); в жидкости возникает кавитация.

Поскольку в динамике и с учетом среды картина потери устойчивости оболочек значи­ тельно сложнее, чем, в статике, то обычно в задачах подобного рода вводят гипотетические критерии динамической устойчивости, о кото­ рых говорилось выше: нагрузку считают крити­ ческой, если амплитуда изгибных прогибов дос­ тигает толщин оболочки. При этом нагрузка характеризуется двумя параметрами: максималь­ ным давлением и импульсом. В такой постанов­ ке решены задачи об устойчивости цилиндри­ ческих панелей в газе и в жидкости при дей­ ствии на них плоских акустических ударных волн [16, 18].

Подкрепленная

цилиндрическая

F„{x) = {l-nz/2)[l-H{z-2/n)] ^пт W = [1 --^ / (23/„„)Il - Я(х - 2М„„)];

7.7.6.ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

СУДАРНЫМИ ВОЛНАМИ

Акустическая модель сжимаемого газа по­ зволяет описать распространение волн лишь сравнительно слабой интенсивности. Для описа­ ния более интенсивных Bojm следует привлекать нелинейные уравнения газовой динамики. В этом случае при решении задач о поведении и динамической устойчивости тонкостенных кон­ струкций, взаимодействующих с ударными вол­ нами в воздухе, можно пренебречь влиянием деформации конструкции на велшшну давления на ее поверхности. Это предположение позволя­ ет разделить задачу взаимодействия среды и кон­ струкции на два этапа.

На первом этапе решают задачу о дифрак­ ции волны сильного разрыва на жестких поверх­ ностях [16, 37]. Тогда аэродинамическая нагруз­ ка, возникающая при действии волны давления, может быть приближенно аппроксимирована подвижной нагрузкой. Так, при дифракции плоской ударной волны на цилиндрической оболочке (см. рис. 7.7.3) давление, возникающее на поверхности оболочки, аппроксимируется выражением

^,t) =/exp(-ti(vo/-Ç)]cœ^e^(vo/-^--|e| v2

где

получаемая конструкцией за цикл колебаний от потока, превышает затраты энергии, необходи­ мые для преодоления конструкционного демп­ фирования. Скорость потока Uj-, при которой

начинается флаттер, называют критической ско­ ростью флаттера.

Уравнения, применяемые для решения за­ дач флаттера, могут бьпъ представлены в форме

QE (?) + Qi (?) + QD (?) = QA (?). (7-8.2) где Qj и Qj) - силы инерции и внутреннего дем­ пфирования. При линейной постановке задач о флаттере зависимости Qi^(q),Qj(g),Qj)(q), Q^ (^) представляют собой линейные однород­ ные выражения первой степени относительно обобщенной координаты д, а уравнения (7.8.2) и соответствующие граничные условия составляют задачу на собственные значения. В отличие от большей части задач о дивергенхщи задачи о флаттере являются существенно неконсерватив­ ными и их исследование сводится к рассмотре­ нию так называемых несамосопряженных крае­ вых задач. Методы решения этих задач приведе­ ны в работах [4, 32, 55, 48] .

7.8.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ АЭРО- И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ

Приведем выражения для аэро- и гидроди­ намических сил QA~QA(^)^ прикладываемых к поверхности упругих тел перпендикулярно к потоку, для различных схем обтекания и при различных числах Маха М—Ц/а^. Здесь U, а^ - скорости движения среды и "распространения звука в невозмущенном потоке. Геометрические характеристики тонких профилей (несущих по­ верхностей) могут быть заданы при помощи уравнения средней линии w=w(x,t) и толщины h=h(x) или срединной поверхности w=w(x,y^t) и толщины Л =/Z(A:,>^).Соответственно предпола­ гают, что поток ориентирован в направлении оси Ох прямоугольной системы координат Qxyz^ Через a(x,y)=-dw/dx обозначают местный угол атаки профиля или несущей поверхности, а че­ рез 5 - максимшшную толщину тела ô=max h(x,y). Прикладываемую к телу в положитель­ ном направлении оси Oz безразмерную обоб­ щенную силу QA выражают через перепад давле­ ний AP(x,y,t) на нижней и верхней поверхнос­ тях тела по формуле

^Р

где р - плотность невозмущенного потока. В качестве обобщенной координаты q, фигуриру­ ющей в (7.8.1), (7.8.2), в случае установившеюся обтекания примем q=dw(Xyy)/dx=-a, а в случае неустановившегося потока

q = (d/dx + U ^д / dt)w(x,y,t).

Формулы для аэро- и гидродинамических сил, используемые при расчете дивергенции. Рас­

пределение сил на профиль в плоском дозвуко­ вом (М<1) установившемся потоке сжимаемой жидкости имеет вид [55]

В (7.8.3) использованы безразмерные координа­ ты У! = х I ЬХ - \ I ^^ где 2Ъ - хорда крыла,

причем штрихи у безразмерных величин здесь и

впоследующих выражениях опущены. Интеграл

в(7.8.4) понимается в смысле главного значения по Коши. Случаю идеальной несжимаемой жид­ кости соответствует Р=1.

ком сжимаемого газа для расчета приращения

основанную на предположении, что местное приращение давления пропорционально мест­ ному у1лу атаки профиля.

При гиперзвуковых скоростях обтекания в диапазоне M » 1, М«Ъ~^ проявляется суще­ ственное влияние распределения толщин профи­ ля h{x) на положение аэродинамического центра и на распределение давлений вдоль хорды кры­ ла. В этом случае для расчета распределения приращений давления можно применять так называемую поршневую теорию

носит локальный характер и каждая частица газа движется практически лишь в поперечном на­ правлении. Через ае в (7.8.6) обозначено отно­ шение теплоемкостей при постоянном давлении и объеме.

2

В диапазоне M » 1, Â/5=0(l) для расче­ та прикладываемых к профилю сил можно при­ менять следующее выражение [64]:

Для несущих поверхностей (крылья малых удли­ нений) в трехмерных установившихся дозвуко-

вых и сверхзвуковых потоках в предположении, что скорости возмущений в направлении потока, т.е. вдоль оси Ох, много меньше скоростей воз­ мущений вдоль вертикальной оси Oz и попереч­ ной оси Оу в плоскости крыла, применима формула [55, 64]

4 д s(x) S (X)- •yr\ 4s^{x)- 2

•y^^-nl

ще функция s(x) задает форму несущей поверх­ ности в плане (в плоскости Оху). Если упругие деформации вдоль размаха крыла пренебрежимо малы (dw/dx зависит только от Jc), то выражение (7.8.7) упрощается

При гиперзвуковых скоростях (М » 1) обтекания несущих поверхностей применяют выражение для аэродинамических сил

(М fulyk » \ l - М\) колеблющегося профиля

может быть использовано следующее выражение для поперечных аэродинамических воздействий:

{И\^^.ехр[-/А:(х-4)/2]

\рЩх^

- безразмерная координата передней кромки

крыла. Если Ъ » \ / M 2 , то вторым членом в

формуле (7.8.9) можно пренебречь и получить выражение для аэродинамической силы, опреде­ ляемой поршневой теорией

Формулы для аэро- и гидродинамических сил, применяемых при расчете флаттера. Методы расчета флатгерных характеристик основаны на анализе гармонических колебаний, совершаемых конструкцией в потоке непосредственно перед возникновением флаттера. Поэтому ниже выра­ жения для аэро-и гидродинамических сил при­ ведены в предположении о гармоническом ха­ рактере колебаний

При гармонических колебаниях профиля в 2

плоском дозвуковом потоке {М » 1) несжи­ маемого газа или идеальной жидкости распреде­ ление сил, действующих на профиль, описывает­ ся выражением

сжимаемого газа, выражение для аэродинами­ ческих сил имеет вид [55, 64]

(д '^

QA =

-1

При сверхзвуковых скоростях обтекания и малых значениях приведенной частоты к (квазистахщонарное приближение) можно пользоваться формулой

M » 1, Л/5=0(1), выражение для ^4 может быть представлено в виде

\dh I ûbc| » |((^ / дх+ i(ù I (/)>v|, и использовать

представления поршневой теории. Линеаризо­ ванная формула поршневой теории, применяе­ мая при расчете флаттера плоских и цилиндри­ ческих панелей, имеет вид [4, 55]

несущей поверхности, совершающей низкочас­ тотные колебания в дозвуковом (АГ<1, Л/5<<1) потоке газа, для описания распределения сил используется следующее представление:

Приведем также выражение для распреде­ ления аэродинамических сил, действующих на колеблющуюся несущую поверхность в гипер-

звуковом потоке (М2 » 1) :

Выражение (7.8.18) записано в безразмерных

7.8.3. ЗАДАЧА АЭРО- И ГИДРОУПРУГОСТИ для СТЕРЖНЕЙ

Для расчета дивергенции и флаттера мно­ гих реальных конструкций или их элементов широко применяют модель упругого стержня, нагруженного аэро- и гидроупругими силами.