Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

положены на линии, отстоящей от мнимой оси ImX на |е|. При 8>0 характеристические показа­ тели расположены в левой полуплоскости, а при 8<0 - в правой. Матрица G в данном случае имеет вид

тойчивости, тем "капризнее" ведет себя К

Гем не менее, как показывают вычислительные эксперименты, можно указать такие значения /п, например /w*=20, и такие значения нормы, на­ пример М=«103, при которых последующее убы­ вание нормы до значений, меньших единицы, становится весьма маловероятным событием. Следовательно, нестрогое условие неустойчивос­ ти можно записать в виде

Рис. 7.4.4. Зависимость нормы степеней матрицы Г

вточках из области устойчивости (/, 2) и в области неустойчивости (J, 4^ 5)

Рис. 7.4.3. Зшисимость нормой степеней матрицы от числа m для различных значений параметра s

II 7^" II

числа m при различных значениях параметра 8. На рис. 7.4.4 приведены зависимости этой же нормы вблизи границы устойчивости (см. при­ мер 4). Как видно, норма изменяется немоно­ тонно. Чем ближе точки к границе области неус-

Условие (7.4.3) можно дополнить строгим достаточным условием неустойчивости, которое вытекает из рассмотрения следов степеней мат­ рицы;

ТгГ^ =Х\ +^2 +...+Х^ . (7.4.5)

Если хотя бы одно из собственных значений X лежит вне единичного круга, то при больших m модуль следа может превысить величину п. Дос­ таточное условие неустойчивости имеет вид

/ / 7 > ГП

Рис. 7.4.5. Зависимость следа степеней матрицы Г

вточках из области устойчивости (7, 2)

иобласти неустойчивости (J, 4, 5)

на плоскости параметров Р/Ру отыскивают отре­ зок, параллельный координатной оси р/, один конец которого принадлежит области устойчиво­ сти S, другой - области неустойчивости /. Этот отрезок делят пополам, после чего выясняют, какая половина обладает указанным вьпие свой­ ством. Процесс деления продолжают до тех пор, пока точка, соответствующая границе, не ока­ жется локализованной с наперед заданной точ­ ностью. Вообще точность построения границы характеризуется двумя величинами: шагом по одному параметру, например Ру, и предельной длиной деления е отрезка по другому параметру. Если типичные значения параметров Р/ и ру имеют порядок единищл, то шаг ЛРу=0,01 и предельная длина отрезка АР,<8=0,(Ю1 пред­ ставляются вполне разумными для технических приложений.

Условие (7.4.6) позволяет иногда избежать неопределенности при решении вопроса о том, отнести сомнительную точку в пространстве параметров к области устойчивости или к облас­ ти неустойчивости.

Практически вычисления сводятся к умно­ жению степеней матрицы самих на себя с после­ дующим анализом числовых характеристик по­ лучаемых матриц. Трудоемкость алгоритма, оце­ ниваемая числом арифметических операций, существенно зависит от характера задачи и свойств матрицы Г. Как показывает опыт, реше­ ние с помощью критерия, основанного на пост­ роении последовательности (7.4.1), как правило, менее трудоемко, чем непосредственное решение полной проблемы собственных значений.

7.4.3.МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Пусть плоскость параметров, в которой требуется строить границу области неустойчивос­ ти, ограничивается двумя параметрами р/ и Ру, остальным параметрам придаются фиксирован­ ные значения. Исходный принцип при построе­ нии границы области неустойчивости - это принцип дихотомии, который состоит в том, что

Рис. 7.4.6. Алгоритм метода дихотомии

Общая схема алгоритма дихотомии приве­ дена на рис. 7.4.6. Здесь § и ^ - точки на плос-

Рис. 7.4.7. Сетка на плоскости параметров (Р;, Ру) для многосвязных областей неустойчивости

Реализация и трудоемкость алгоритма су­ щественно зависят от топологии области неус­ тойчивости на рассматриваемой части плоскости параметров. В общем случае область неустойчи­ вости может быть многосвязанной (рис. 7.4.7). Отыскание границ в этом случае начинается с построения сетки шагом Лр^,АР -, узлы которой

служат исходными точками для начала процесса дихотомии. Если заранее известно, что в рас­ сматриваемой части плоскости прямая py=const пересекает границу области неустойчивости в единственной точке, то для сокращения процес­ сорного времени удобен вариант алгоритма, в котором при каждом последующем значении используется координата границы, найденная на предыдущем шаге, что ускоряет процесс уточне­ ния положения следующей граничной точки (рис. 7.4.8).

Рис. 7.4.8. Линия py=coDst пересекает границу области устойчивости в одной точке

7.4.4. МЕТОД МАТРИЦ МОНОДРОМИИ

Эффективный численный метод, ориенти­ рованный на использование ЭВМ [60], основан непосредственно на общей теории устойчивости дифференциальных уравнений с периодически­ ми коэффициентами.

Матрицу фундаментальных решений Х(/) системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.2.21), удовлетворяющую начально­ му условию Х(0)=Е, строят путем численного интегрирования методом Рунге - Кутта. Конеч­ ный результат - матрица монодромии R=X(7). Принадлежность рассматриваемой точки из про­ странства параметров к области устойчивости или асимптотической устойчивости устанавли­ вают либо путем непосредственного вычисления мультипликаторов, либо на основании анализа норм матрицы монодромии R и ее возрастаю­ щих положительных степеней (критерии (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6)).

Пример 4. Рассмотрим задачу динамичес­ кой устойчивости упругого консольного стержня при наличии периодической следящей силы. Для дискретизации задачи применим метод Буб­ нова - Галеркина, приняв в качестве базисных балочные функции консольного стержня. Огра­ ничившись разложением по первым четырем формам колебаний, уравнения возьмем в виде

2,0 1 ^'^b^b^^^XN.W.N.^^^^^ш

Рис. 7.4.9. Диаграмма устойчивости консольного стержня, загруженного следящей периодической силой

Результаты вычислений показаны на рис. 7.4.9 сплошной линией. Условие асимптотической устойчивости проверялось непосредственным вычислением характеристических показателей матрицы монодромии R.

7.4.5. МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ХИЛЛА

(со = 2 тс/Т')

с постоянными коэффициентами - матрицами Fjt и GjtСчитаем, что FQ - неособенная матри­ ца, т.е. существует обратная матрица FQ .

Разлагая периодическую вектор-функцию (7.4.7) в ряд Фурье с векторными коэффициен­ тами ajt и bjt, ищем решение уравнения (7.2.20) в виде

Jt=i

(7.4.9) Подставляя (7.4.8) и (7.4.9) в уравнение (7.2.20), осуществляя элементарные выкладки и приравнивая нулю коэффихщенты при одинако­ вых е cosfeû/ и е s i n t o / , приходим к бес­ конечным и, вообще говоря, "зацепляющимся" системам однородных линейных алгебраических уравнений относительно компонент векторов aj^

ИЬА::

Лао = Foao +Fiai ^Q^^ л-Щ^^ +G2b2+...;

1 °^

При фактических вычислениях приходится проводить редукцию бесконечного определителя к определителям конечного порядка. Это экви­ валентно усечению ряда Фурье в решении (7.4.9) и, если это требуется, аналогичному усечению ряда Фурье (7.4.8). Усеченное уравнение (7.4.11) имеет конечное число корней Л, чему соответ­ ствует конечное число лараметрических резонансов, учитываемых на данном уровне редукции. Если известна область частот, представтгяющих интерес с точки зрения рассматриваемой при­ кладной задачи, то отсюда нетрудно получить нестрогие, но достаточно убедительные основа­ ния для выбора уровня редукции. Для расчета области неустойчивости вблизи побочного резо­ нанса порядка р нужно сохранить в разложениях (7.4.8) и (7.4.9), по крайней мере, гармоники до порядка/? включительно.

Размерность матрицы H в уравнении (7.4.11) может оказаться довольно большой. Если размерность фазового пространства (размерность вектора х) равна AI, а в рядах Фу­ рье (7.4.8) и (7.4.9) удерживается соответствен­ но по /Wi и /W2 гармоник, то размерность мат­ рицы H равна п(2т^ + l)(2/W2 +1)»

Таким образом, после редукции задача сво­ дится к выяснению положения корней уравнейия (7.4.11) на комплексной плоскости. Для суждения об устойчивости достаточно вычислить все собственные значения hk либо отобразить левую полуплоскость комплексного переменного h на внутренность единичного круга комплекс­ ной плоскости а с помощью дробно-линейного преобразования (7.2.16). После этого появляется возможность использования критериев (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6).

На рис. 7.4.9 штриховая линия иллюстри­ рует применение метода обобщенных определи­ телей Хилла для численного анализа динамичес­ кой устойчивости консольного стержня, нагру­ женного следящей периодической силой. В раз­ ложении Фурье (7.4.9) удержано четыре гармо­ ники.

7.4.6. МЕТОД ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Асимптотическую устойчивость тривиаль­ ного решения линейной системы дифференци­ альных уравнений можно установить путем пря­ мого численного решения задачи Коши для этих уравнений. Для линейных систем независимо от начальных условий в области асимптотической устойчивости происходит затухание отклонений. Поэтому вычислительный процесс можно пре­ кратить, если с некоторого s будут удовлетво­ ряться неравенства

^\xk(tj)\^M (^ = 1,2,...,л), (7.4.13)

где tj - дискретные моменты времени; п - раз­ мерность векгора х. Как показывают численные эксперименты, в практических приложениях достаточно положить 0<М<10'^, т>10. При этом начальные условия должны быть единич­ ными, т.е. Хк(0)=1(1с=1,2,...,п). Соотношения

(7.4.13) можно дополнить условиями неустойчи-

5]|х^(/у)|>Х (/: = 1,2,...,л), (7.4.14)

те L>lO^;m>lO.

жения равновесия х(/)=0 линейной

ствовали положительно определенные

F(x, /) = x^L(Ox, Ж(х, /) = х^'ВСОх, соотношению в силу

L-.^ G'L + LG + B

На рис. 7.5.1, а и б представлены типичные зависимости параметра нагрузки р от характер­ ного перемещения / для упругих систем. Здесь значение параметра р* отвечает точке бифурка­ ции форм равновесия, значение р** - предельной точке. На рис. 7.5.1, в показана аналогичная зависимость для упругопластической системы (зависимость критического параметра р** от характерного перемещения fi. Послебифуркационное поведение упругопластических систем в корне отличается от поведения упругих. Здесь имеется целый спектр нагрузок бифуркации с устойчивым либо неустойчивым послебифуркационным поведением одной и той же системы.

Наименьшей возможной нагрузкой бифур­ кации является касательно-модульная нагрузка Pt, наибольшей - нагрузка р**. Различают устой­ чивые (докритические) и неустойчивые (после1фитические) нагрузки бифуркации. Пер­ вые расположены в интервале Pf<p*<Pf^ где Pj> - приведенно-модульная нагрузка, вторые (при работе стержня в конструкции) - в интервале Pf^p*<p**. Для устойчивых нагрузок бифуркации dp/df>0, для неустойчивых dp/df<Q. Послебифуркационное поведение упругопластических систем из устойчивых точек бифуркации обна­ руживает резерв устойчивости. Вследствие этого различают докритический и послекритический процесс вьптучивания. Критическое состояние имеет место в предельных точках, в которых

df

7 <

/

а)

р

|_ ^

1^f

/^ - ^

/

/

/

/

M

ю

dp

Это условие принимают за критерий неустойчи­ вости для квазистатического процесса нагружения. Соответствующую нагрузку называют кри­ тической, или пределом устойчивости.

Анализ вьптучивания и устойчивости иде­ альных упругопластических систем не является общим потому, что реальные элементы конст­ рукций имеют различные несовершенства. Неус­ тойчивость реальных конструкций и их элемен­ тов наступает в предельных точках точно так же, как и для идеальных систем с устойчивым послебифуркационньв! вьптучиванием. В связи с этим все начальные несовершенства геометри­ ческой формы и внецентренного приложения нагрузок принимают за возмущающие факторы с наложенными на них ограничениями. Процесс выпучивания системы с начальными несовер­ шенствами рассматривают как возмущенный процесс, с помощью которого анализируют ус­ тойчивость идеализированной конструкции. На рис. 7.5.2 приведены два случая сжатия стержня эксцентрично приложенной силой Р. Если экс­ центриситет 5 мал и не превосходит некоторого предельного значения Ô*, то стержень теряет устойчивость в предельной точке. Если Ô>ô*, то задачи устойчивости не возникает.

Рис. 7.5.2. Диаграмма потери устойчивости (в) в случае малого (л) и большого (б) эксцентриситета

приложения силы

Под исследованием устойчивости систем, материал которых обладает свойством вязкоупругости, обычно понимают анализ влияния малых несовершенств на процесс деформирования сис­ темы во времени. Несовершенствами являются, например, начальное искривление оси стержня или срединной поверхности оболочки (пластины), эксцентриситет приложения нагруз-

ки И др. Вследствие указанных несовершенств в системе появляются дополнительные перемеще­ ния (прогибы), которые увеличиваются во вре­ мени.

Всякая вязкоупругая система является ди­ намической системой; однако ее движение про­ исходит достаточно медленно, в связи с чем в расчетах силами инерции, как правило, пренеб­ регают. При квазистатической постановке задачи по истечении некоторого промежутка времени процесс деформирования может завершиться "хлопком", чему соответствует либо неограни­ ченное увеличение прогиба, либо его скорости. Этот момент времени называют критическим U. Систему считают устойчивой при К/* и неус­ тойчивой при OU.

Совместный учет вязкоупругих и пласти­ ческих деформаций вызывает дополнительные трудности. Укажем один из способов преодоле­ ния этих трудностей [23]. Квазистатический процесс нагружения разбивается на два этапа, происходящих в обобщенном времени т: этап нагружения системы по заданной истории и этап ползучести во времени после остановки процесса нагружения. Считают, что на первом этапе пол­ зучесть проявиться не успевает, и за параметр прослеживания процесса принимают параметр внешней нагрузки т=/?. На втором этапе за па­ раметр прослеживания процесса принимают время /. Если ползучесть материала ограничен­ ная, то правомерна постановка задачи устойчи­ вости на неограниченном интервале времени. Соответствующий предел устойчивости называют также длительной критической нагрузкой. Если материал обладает неограниченной ползучестью, то постановка задачи об устойчивости на нео­ граниченном интервале времени не имеет смыс­ ла и всякий процесс выпучивания является неус­ тойчивым. Критическое значение времени /* определяют при этом из условия

df

- ^ ^ 00. (7.5.2) dt

7.5.2. БИФУРКАЦИЯ ФОРМ РАВНОВЕСИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

В результате потери устойчивости цент­ рально сжатого стержня в некоторой конструк­ ции происходит перераспределение усилий меж­ ду ее элементами. Сжимающая нагрузка Р изме­ няется на величину

i?-~^^^_.j ¥117: *///^/у

1

Рис. 7.5.3. Устойчивость стержня, входящего в состав догружающей (и) и разгружающей {(S) систем

В волокнах на вогнутой стороне стержня возникает дополнительное сжатие,на вьптуклой - растяжение. Дополнительное напряжение ôa связано с дополнительной деформацией ôs=Ô8^+ZÔaB соотношением (рис. 7.5.4)

ôa =

Е(Ъг +zô»), Z> Zp,

где Ejç=d<5/dz - касательный модуль; Е - модуль упругости; 08^ - дополнительная деформация оси стержня; bBd=d^w/dx^ - ее кривизна; w - прогиб; Z - координата точки.

==-EAh/2. Кроме того, в уравнениях (7.5.4) ис­ пользованы обозначения:

D{zp) = {Е- £),)[/, - ZpS,) + E^J (7.5.5)

- переменная жесткость стержня; Zp = Zph / 2 -

приведенно-модульная нагрузка Кармана (7.5,7), а также нагрузка Эйлера

нагрузкой бифуркации для нелинейно упругого тела. В то же время она является наименьшей нагрузкой бифуркации пластически сжатого стержня в условиях продолжающегося нагружения в смысле Шенли [23].

Решение задачи о бифуркации упругоплас­ тического стержня, включенного в конструкцию, дано в работе [23]. Из (7.5.3) - (7.5.5) следует формула для нагрузки бифуркации сжатого

граница зоны разгрузки, определяемая из усло­ вия 08=08^+^^ав=0; А^ - площадь зоны раз­ грузки; S^ - ее статический момент; / - момент инерхщи; /^ - момент инерции площади А^ ; х^

- границы областей упругопластического дефор­ мирования.

Переменная жесткость D(Zp) изменяется в пределах EjçT<D<EJ, причем

зависящий от Д Д^ ^ значений х„ (А2=1,2,...), определяющих границы областей упругопласти­ ческого деформирования (рис. 7.5.5).

Для ôP=0 (изолированный стержень) Zp=const. Тогда критическое значение силы

(7.5.7)

где |i - коэффициент, характеризующий условия за1фепления концов стержня (коэффициент при­ ведения длины); К - приведенный модуль Кар­ мана;

в частности, для стержней прямоугольного и двутаврового сечений с тонкой стенкой соответ­ ственно

Предельным жесткостям в (7.5.6) соответствует касательно-модульная нагрузка Энгессера

ÔP^O

6Р>0

аР^О

Рис. 7.5.5. Области упругопластического деформирования

Бифуркахщонное значение нагрузки (7.5.11) при работе стержня в догружающих кон­

предельно жесткой разгружающей системе. Пол­ ная упругая разгрузка стержня невозможна.

Вьпту^швание сжато-изогнутого стержня рассматривается как процесс, связанный с изме­ нением некоторого параметра т. Этим парамет­ ром может быть сжимающая сила, сближение концов стержня Л , время /. Если стержень име­ ет начальный прогиб WQ(X\, либо эксцентриси­ тет е приложения сжимающихсил ^ W , либо наличие поперечной возмущающей нагрузки q(z^ х\, то его вьшучивание происходит с нача­ лом нагружения. Продольная деформация воло-

кон стержня 8 = 80 + Z » , где

соответственно деформация оси стержня и изме­ нение ее кривизны; й - продольное перемеще­ ние; w - прогиб в направлении осей х и ^. Сбли­ жение концов стержня

в момент бифуркации. При бесконечно малом продолжении процесса Ô8 = 80т ; Ô8 = 8 От ;

оав = éddi и 8 = 8 +ZS&.

В начальной стадии выпучивания стержень остается упругим. Затем на вогнутой стороне в точках ^igiiSB > О возникает зона первичных пластических деформаций сжатия с границей zi>

ратное движение от некоторого положения ? |

^ignsB < О возможно возникновение зоны пер­ вичных либо вторичных пластических деформа­ ций от растяжения с границей ^з, определяемой из условия

j - e ^ , (za +Zi)sign»<0;

[e^ - 78^, {^3 - ?i)sign» > 0,

где е^(х,^з) - деформация, с которой в данной

точке началась разгрузка, у(8)«2. Прямой стер­ жень или стержень с весьма малым начальным искривлением полностью переходит в пласти­ ческое состояние, после чего на его выпуклой стороне возникает зона разгрузки, а затем и зона вторичных пластических деформаций от растя­ жения. Для гибких стержней на всГгнутой сторо­ не образуется зона пластических деформаций от сжатия с границей zi, а на вьшуклой - зона пер­ вичных пластических деформаций от растяжения с границей Zi- С развитием последней возможно ее обратное движение с образованием зоны раз­ грузки с границей zi- Если зоны разгрузки не образуется, то материал ведет себя как нелиней­ но упругий.

Прнмер 1. Рассмотрим процесс выпучива­ ния сжато-изогнутого стержня, описываемый дифферен1щальным уравнением

где

'4

1>.,,-,^,.,..-р,.'-'^.^

- жесткости стержня; Afo, Qo - момент и сила в начале координат; M - момент в сечении от

поперечной нагрузки q.

Для решения задачи задается зависимость Р='Р{х)у граничные и начальные условия. При вьршслении жесткостей Р^ интегралы разбива­ ются по высоте сечения на четыре в соответ­ ствии с образующимися зонами деформирова­ ния. К уравнению (7.5.12) применяется проце­ дура Бубнова-Галеркина по координате х с пос­ ледующим переходом к задаче Коши по времени t. На рис. 7.5.6 и 7.5.7 приведены результаты расчета по выпучиванию и устойчивости сталь­ ного стержня с жестко защемленными концами. Кривые 1-4 соответствуют стреле начального

прогиба / о / Л = Ю"* ; 10"^ ; 0,05; 0,125.

Треугольник, кружочек, сплошной кружочек и крестик на кривых выпу^швания отвечают мо­ ментам возникновения пластических деформа­ ций соответственно от сжатия, первичных плас­ тических от растяжения, вторичных пластичес­ ких и разгрузки. Предел устойчивости /?^^, по-