Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

^^' хххх -^^^it +2mzWj +^^,хс = ^- (7.1.20)

Здесь w(x,t) - прогаб оси стержня; х - коорди­ ната, отсчиваемая вдоль длины стержня /; EJ - жеспсость сечения стержня при изгибе; m - мас­ са стержня, отнесенная к единице длины; е - положительный числовой параметр. Член 2mzw ^ в уравнении (7.1.20) учитывает демпфи­ рование, которое при определенных ограниче­ ниях на другие параметры обеспечивает асимп­ тотическую устойчивость нулевого решения. Для суждения о близости возмущенных движений к

оо

Очевидно,, функция F имеет смысл полной ме­ ханической энергии системы без учета вклада от

силы N.

Crponfe методы теории устойчивости дви­ жения могут быть распространены на распреде­ ленные системы. При этом, например, вместо функций Ляпунова вводят функционалы Ляпу­ нова, производные от которых по времени в силу уравнений движения обладают определен­ ными свойствами. По этим свойствам судят об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения. Если модель распределенной системы зшнейна или если для выводов об устойчивости используют уравнения первого приближения (уравнения в вариациях), то анализ устойчивости приводи!^ к некоторым обобщенным задачам о собственны»^ значениях.

Покажем порядок составления линеаризо­ ванных уравнений применительно к задачам об устойчивоста форм движения упругого тела [4]. При этом будем исходить из уравнений Hejntнейной теории упругости в форме, преддюженной В. В. Новожиловым. Рассмотрим невозму­ щенное движение упругого тела, характеризуе­ мое вектором перемещений Up тензором напря­ жений а д , векторами объемных и поверхност­ ных сил Xj и Pj. Невозмущенное движение в

где р - плотность материала. Здесь и в дальней­ шем использовано правило суммирования по немым ивдексам. На загруженной части поверх­ ности тела должны выполняться условия

(ftjç - вектор нормали к поверхности тела). Да­ дим телу некоторые малые отклонения от невоз­ мущенного движения и проследим за тем, как эти отклонения меняются со временем. Компо­ ненты возмущенного движения (будем обозна­

чать их значком ^у а отклонения - черточкой сверху) имеют вид

(возмущения объемных и поверхностный сил в общем случае зависят от времени t; \х - малый параметр). Подставляя (7.1.24) в (7.1.22) и (7.1.23) и используя малость отклонений, полу­ чим после линеаризации уравнения

(7.1.25)

и граничные условия на загруженной поверхнос­ ти

зор упругих постоянных, соответствующий не­

возмущенному напряженному состоянию.

При анализе устойчивости деформируемых систем обычно используют приближенные урав­ нения теории тонких стержней, пластин и обо­ лочек.

Првмер 4. Используем данные примера 3, полагая, что все коэффициенты уравнения (7.1.20) - постоянные. Возмущенные движения ищем в классе w(x, /) = W{x) ехр(Х /) , где

W{x) - функции координаты; X - в общем слу­ чае комплексные числа (характеристические показатели). В результате подстановки в уравне­ ние (7.1.20) получаем

EJIV^ + mX^W + 2mzXW + NW" = 0. (7.1.27)

Это обыкновенное дифференциальное уравнение нужно решать при граничных условиях, вытека­ ющих из граничных условий исходного уравне­ ния (7.1.20). Так, если концы стержня х=0 и х=/шарнирно оперты, то на концах W==W" =0. Уравнение (7.1.27) совместно с этими условиями образует обобщенную задачу о собственных зна­ чениях относительно характеристических показа­ телей X. Решение IV(A:,/)SO уравнения (7.1.20) асимптотически устойчиво, если все характерис­ тические показатели X лежат в левой полуплос­ кости комплексного переменного.

В практических расчетах сложных распре­ деленных систем широко применяют вариаци­ онные и разностные, а также родственные им методы, например методы конечных или гра­ ничных элементов. В результате распределенная система аппроксимируется системой с конечным числом степеней свободы. Хотя это число может оказаться весьма большим, к таким системам полностью применима классическая теория ус­ тойчивости движения. Численные методы анали­ за устойчивости применительно к системам вы­ сокой размерности освещены в гл. 7.4.

Глава 7.2

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЁЙНЬК СИСТЕМ

7.2.1. ОБЩЛЯ ТЕОРИЯ

Линейные модели широко используют при расчетах и проектировании технических объек­ тов. В условиях применимости теоремы об ус­ тойчивости по первому приближению анализ устойчивости линейной системы позволяет де­ лать выводы об устойчивости соответствующей нелинейной системы.

Предположим, что поведение объекта во времени описывается линейной системой диф­ ференциальных уравнений

где G(t) - матрица-функция размерностью NxN; Il - фазовый вектор размерностью N; р(/) - за­ данная вектор-функция той же размерности. Будем полагать p(t) и G(t) непрерывными фун­ кциями t. Рассмотрим соответствующую одно­ родную систему

тогда и только тогда, когда любое решение x(t) этой системы ограничено при ÎQ < t < со.

Если неоднородная линейная система дифференциальных уравнений (7.2.1) устойчива, то все решения могут быть как ограничены, так и не ограничены при /->ос.

Пример 1. Скалярное дифференциальное уравнение

Ù = -pw + р/ +1

допускает при / > О неограниченное решение WQ(/) = t. Общее решение этого уравнения имеет :вид

w(0 = ^ + w(0)exp(-p/). Устойчивость решения u^it) = t зависит от зна­ ка параметра р. Если Р>0, то это решение, оче­ видно, асимптотически устойчиво. При Р=0 оно устойчиво по Ляпунову, а при Р<0 неустойчиво. Во всех трех случаях решения уравнения не ог­ раничены при /->ос (рис. 7.2.1).

Для линейных дифференхщальных систем справедлив принцип суперпозиции. В отличие от нелинейных систем решения линейных сис­ тем либо все одновременно устойчивы по Ляпу­ нову, либо неустойчивы. В зависимости от этого линейную систему (7.2.1) называют либо устой­ чивой, либо вполше неустойчивой. Приведем ряд часто используемых теорем.

Для устойчивости линейной системы диффе­ ренциальных уравнений (7.2.1) при любом р(/) необ­ ходимо и достаточно, чтобы было устойчиво три­ виальное решение х(/)^0 соответствующей одно­ родной системы (7.2.2).

Как следствие, отсюда вытекает, что ли­ нейная система устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение этой системы, и вполне неус­ тойчива, если неустойчиво некоторое ее реше­ ние. В теореме р(/) может быть любым, в том числе и нулевым.

Линейную дифференциальную систему уравнений (7.2.1) называют асимптотически успэйчивой, если все ее решения асимптотически устойчивы. Имеет место соответствующая теоре­ ма.

Рис. 7.2.1. Зависимость поведения возмущенных движений от параметра р:

(7.2.3) имеют вид

к

х(0 = ^ехр(у)Р/Ох(^), k<N.

Здесь элементы матриц Р.-(О - многочлены, степень которых строго меньше кратности соб­ ственных значений X .•.

Положение равновесия х(/) = 0 линейной системы (7.2.3) с постоянной матрицей G ус­ тойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда действительные части характеристичес­ ких показателей X: неположительны, т.е.

Re Х: < О (У = 1,..., N), а характеристическим

показателям с нулевыми действительными час­ тями соответствуют простые элементарные дели­ тели.

Положение равновесия х ( / ) ^ линейной системы (7.2.3) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все характеристические показатели Xj имеют отрицательные действи­ тельные части, т.е. Re X.. < О (у = 1,..., N).

Пример 2. Возьмем линейную автономную механическую систему с N степенями свободы с

Ю

Рис. 7.2.2. Расположение характеристических показателей на комплексной плоскости:

а- асимптотическая устойчивость;

б- устойчивость по Ляпунову; в - неустойчивость

Анализ расположения корней характерис­ тического уравнения (7.2.5) на комплексной плоскости составляет чисто алгебраическую зада­ чу. Для развертывания характеристического оп­ ределителя существует ряд оригинальных мето­ дов. К их числу следует отнести метод Крьшова, метод Данилевского, метод Фаддеева и др. [52, 54]. С использованием этих методов средства вычислительной техники позволяют непосред­ ственно находить коэффициенты характеристи­ ческих полиномов сколь угодно высокой степе­ ни с наперед заданной точностью. Остаются весьма полезными критерии, которые могли бы давать ответ о размещении корней на комплекс­ ной плоскости, не прибегая к решению полной задачи о собственных значениях. К таким крите­ риям относят критерий асимптот№1еской устой­ чивости Рауса-Гурвица и родственные алгебраи­ ческие критерии.

Пусть полином п-й степени от неизвестно­ го X записан по убывающим степеням

P{X)=PQX''+р^Х'''^^,.,+р^_^Х+р^. (7.2.9)

Здесь pfç (Аг=0,1,...,А2) - числовые коэффихщенты, причем PQ^. Задача состоит в том, чтобы ука­ зать условия на коэффициенты полинома, при вьшолнении которых корни р(Х) лежат в откры­ той левой полуплоскости Re Х < 0.

Полиномы с действительными коэффициен­ тами. Без ограничения общности можно считать рО>0. Для того чтобы дeйcтвитeJШHыe части кор­ ней полинома (7.2.9) бьши отрицательными, необходимо, чтобы все его коэффициенты имели одинаковые знаки. Поскольку согласно предпо­ ложению PQ > О, ТО pfi;> О {к=1,...,п).

по такому правилу: в левом верхнем углу помес­ тим коэффициент р\\ далее матрицу заполняем так, чтобы индексы коэффициентов в строках увеличивались на два, а в столбцах - уменьша­ лись на единицу; при этом вместо коэффициен­ тов, индексы которых меньше нуля или больше л, ставим нули.

Для того чтобы корни полинома (7.2.9), у которого />о^О> имели отрицательные действи­ тельные части, необходимо и достаточно, чтобы бьши положительными все главные диагона;п>- ные миноры его матрицы Гурвица Н;,:

Условия (7.2.11) можно заменить равно­ сильными условиями, включающими требование положительности всех коэффициентов полинома (7.2.9). В результате получаем такие условия устойчивости для полиномов:

первой степени:

Р^ > О, /?1 > 0; второй степени:

Р^ > О, /Jj > О, р^ > 0; третьей степени:

Ро > О, /?1 > О, Р2>0, р^>0

Р\Р2 ~ РаРъ ^ ^'

четвертой степени:

ОО р^ р^ /?5

Имеются стандартные программы, осуще­ ствляющие формирование матрицы (7.2.10) и проверку условий Рауса-Гурвица при любых значениях л.

Полиномы с комплексными коэффициента­ ми. Предположим, что коэффициенты р/^; поли­ нома (7.2.9) - комплексные числа. Положим в (7.2.9) Х=/со. Отделив действительную и мнимую части, представим результат в виде

+...

где ajç, b]ç - действитетшные числа (А:=0,1,...,л). Составим из действительных и мнимых ча­ стей коэффициентов полинома (7.2.12) матрицу

размерностью 2пх2п:

\% «1 "п: ',bo b^ . К':

Элементы этой матри1щ, расположенные вне блоков, равны нулю.

Число корней полинома р(к)у имеющих отрицательные действительные части, равно чис­ лу перемен знака в ряду

где A2fc - главные диагональные миноры четного порядка матрицы (7.2.13).

Пример 4. Для полинома р(Х\ = Л, + X + +4Х+30, рассмотренного в предыдущем приме-

норы четного порядка, устанавливаем: Л2 < О, Л^ < О, Л^ < 0. В ряду (7.2.14) имеется одна перемена знака, и, следовательно, полином р(Х) имеет один корень в левой полуплоскости.

Для того чтобы все корни полинома л-й степени имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы в ряду (7.2.14) было ровно п перемен знака. Это воз­ можно тогда и только тогда, если

signA2y^ =sign(-l) к . Другими словами, должно

быть Л2<0, а знаки последующих миноров дол­ жны чередоваться. Поменяем местами строки в каждом из блоков матрицы Н2и- В результате получим матриц>'

с положительными главными диагональными минорами Л2У^ . В итоге приходим к следующему критерию.

Для ТОГО чтобы все корни полинома р(Х) с комплексными коэффициентами лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы главные диагональные миноры четного порядка

^'ik (^ = 1>--->л) матрицы (7.2.15) были поло­

полняются, если коэффициенты pf^ имеют оди­ наковые знаки.

Если корни полинома р(Х) расположены в левой полуплоскости, то корни полинома Р((о) = рОоЛ расположены в верхней полуплос­ кости Im со > О.

Для того чтобы корни полинома Р(сд) (7.2.12) имели положительные мнимые части, необходимо и достаточно, чтобы главные диаго­ нальные миноры четного порядка

^2к (^ = 1>---)Л) матрицы (7.2.15) были поло-

жительны.

Критерий асимптотической устойчивости для полиномов с вещественными коэффициен­ тами был предложен Гурвицем (1895 г.). Не­ сколько ранее (1877 г.) Раусом был предложен алгоритм проверки устойчивости, сводящийся к заполнению некоторой таблищд в результате выполнения ряда операхщй над коэффициента­ ми полинома. Этот критерий менее удобен, по­ скольку требует дополнительных вычислений для получения таблиц. Формально критерий Гурвица можно полу^шть из критерия Рауса. Поэтому критерий Гурвица справедливо называют крите­ рием Рауса-Гурвица. Если выполнено необходи­ мое условие - положительность коэффициентов полинома, то из положительности определителей Ayt с четными индексами следует положитель­ ность определителей Лу^ с нечетными индексами (и наоборот). Этот факт был обнаружен П. Льенаром и Р. Шипаром (1914 г.) и позволяет со­ кратить число проверяемых условий. Модифи­ цированный критерий Рауса-Гурвица иногда называют критерием Льенара-Шипара. Обобще­ ние критерия Гурвица на полиномы с комплекс­ ными коэффициентами было дано Н. Г. Чебота­ ревым и Н. Н. Мейманом (1949 г.).

7.2.4.КРИТЕРИЙ ЗУБОВА

Взадачах устойчивости линейных систем с конечным числом степеней свободы характерис­ тический полином непосредственно впервые появляется в форме det(G - ХЕ). Представляют интерес критерии, не требующие вычисления коэффихщентов характеристического полинома. Идея критерия Зубова [22] состоит в отображе­ нии рассматриваемой области Sx комплексного переменного X на внутренность единичного круга |р|<1 комплексного переменного р. При этом исходная матрица G отображается в неко­ торую матрицу Г, собственные значения которой равны pj. Для того чтобы все pj удовлетворяли условию |р/|<1, необходимо и достаточно, чтобы Г^~>0 при к->со. Таким образом, реализация критерия Зубова состоит в отыскании преобра­ зования G->r и вычислении степеней матрицы Г^, Г"*, Г^, ... с оценкой сходимости к нулевой матрице по какой-либо легко вычисляемой нор­ ме.

/ /Гер

Рис. 7.2.3. Область асимптотической устойчивости на плоскости X и р

левая полуплоскость переменного X (рис. 7.2.3, а). Дробно-линейное преобразование

взаимно однозначно отображает Sx на единич­ ный круг (рис. 7.2.3, б). Соответствующее ему преобразование матрицы имеет вид

r=E+2(G-E)-i. (7.2.17)

При проектировании систем автоматичес­ кого управления иногда возникают требования асимптотической устойчивости с определенным запасом или требования по ограничению колеба­ тельности в контуре системы управления. Так

соотношения /г->оо, где

Fi Г2

Г -> О, Г^ -> О, Г2 -> О при

1-1

= E + 2 [ - / G - ( 1 + P ) E ] " = E + 2 [ / G - ( 1 + P ) E ] ~ \

Критерий Зубова ^может оказаться эффек­ тивным только при достаточно высоких размер­ ностях матрищд G. Некоторые рекомендации относительно численной реализации критерия приведены в гл. 7.4.

Рис. 7.2.5. Устойчивые годографы для полиномов степени п

Таким образом, годограф полинома, име­ ющего корни в левой полуплоскости, начинается в точке Рп^О положительной полуоси Rez>0,

вой полуплоскости, при Р=Р* один из показа­ телей обращается в нуль, а при дальнейшем рос­ те р переходит на правую полуплоскость, оста­ ваясь чисто действительным (рис. 7.2.7, а). При этом среди решений уравнения возмущенного движения появляется решение, монотонно воз­ растающее во времени. Потеря устойчивости носит неколебательный характер. Соответствую­ щую часть области неустойчивости называют областью статической неустойчивости или облас­ тью дивергенции по аналогии с задачами устой­ чивости в аэроупругости (см. гл. .7.8).

^ -

/?^Я

Re Л

б)

Рис. 7.2Л. Изменение расположения характеристических показателей при возрастании параметра р

Если хотя бы один из характеристических показателей покидает левую полуплоскость, пе­ ресекая мнимую ось в точке, отличной от начала координат, то среди решений уравнений возму­ щенного движения появляются решения колеба­ тельного типа с амплитудой, монотонно возрас­ тающей во времени. Потеря устойчивости носит колебательный характер (рис. 7.2.7, 6). Область колебательной (динамической) неустойчивости называют также областью флаттера. Возможны также ситуации, когда в правой полуплоскости имеются как чисто действительные, так и комп­ лексные характеристические показатели. Тогда потеря устойчивости носит смешанный характер.

Один из методов отыскания границы обла­ сти устойчивости состоит в отображении мни­ мой оси плоскости характеристических показа­ телей на пространство параметров. Подставим в характеристическое уравнение (7.2.9) Х=/со, где со - действительный параметр. Тогда образ мни­ мой оси принимает вид />(/со)=0. Это уравнение эквивалентно системе двух уравнений с действи­ тельными коэффициентами

Если из уравнений (7.2.19) исключить со, то по­ лучим уравнение некоторой поверхности в про­ странстве параметров. Часть этой поверхности ограничивает область устойчивости. Предложены способы [12, 43], позволяющие выделить среди этой поверхности те части, которые отвечают границе области устойчивости. Если заранее известно, что начальная точка в пространстве параметров (например, начало координат) при­ надлежит обласп! устойчивости, то граница этой области определяется либо уравнением A„_i=0, либо />и=0. Здесь Л;,_1 - предпоследний опреде­ литель Гурвица (7.2.11), /?„ - свободный член полинома (7.2.9). Условие A;j_i=0 дает границу колебательной неустойчивости, условие PfÇ^^ - границу дивергенции.

В теории автоматического управления опи­ санный метод называют методом 2)-разбиений. Очевидно, что Э1'от метод применим к более широкому классу линейных систем, чем систе­ мы, описываемые уравнениями (7.2.9). Так, он пригоден и в том случае, когда уравнение отно­ сительно харакгеристических показателей имеет вид, отличный от полинома. Типичный при­ мер - линейные системы с запаздыванием, а также распределенные системы, с параметрами, не зависящими от времени. Для многих систем из этих классов удается получить уравнение типа />(Х)=0, левая часть которого - трансцендентная функция. Тогда левые части уравнений (7.2.19) тоже будут трансцендентными функциями со.