Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

енты Пуассона. Продолжительность удара

где V - относительная скорость тел перед соуда­ рением; /Wi и /«2 - массы тел.

Наибольшее сближение тел

2/

Наибольшая сжимающая сила

7 V ^ , =l,143JS:^(mv2)^.

Моделью Герца можно пользоваться при условии, что развивающееся при ударе приве­ денное (эквивалентное) напряжение не превос­ ходит предела текучести ст^, т.е. когда выпол­ няется условие

V < lO,3ÏR^al/^mEi\Y^.

6.7.6. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Модификация модели Герца. Если при уда­ ре приведенное напряжение превосходит предел текучести, упругая характеристика имеет вид, показанный на рис. 6.7.6. На первом этапе уда­ ра, когда dP/dt > О,

^мах

Рис. 6.7.6. Нелинейная упругая характеристика

Наибольшее сближение тел

и^=[т.Ц8^1)1{2а)\Х^-^).

Сближение тел в конце ударного контакта

• тах (û«Lx А ) '•

Наибольшая сила

р= tm

•" т а х

ИААЛН I

а) Рп

кдЛд^ I

S)

Рис. 6.7.7. Твердое тело с упругопластическим амортизатором

Удар 6 преграду твердого тела с упругооластическим амортизатором (рис. 6.7.7). Введем обозначения: PQ - предельная сила сухого тре­ ния; с - коэффициент жесткости упругого эле­ мента; V = yliticy/PQ - безразмерная скорость

тела перед ударом. Для модели с параллельным соединением элементов в амортизаторе (рис. 6.7.7, а):

наибольшее перемещение тела

«max=^o(Vl + v 2 - i y c ;

наибольшая сила

продолжительность удара при v > 3 т = (arctgv -н ж/2)у[т/с

(при V < 3 тело не отделяется от преграды, т->оо).

б)

Рис. 6.7.8. Схема )дара упругого стержня о преграду:

а- при О < / < — ; в - при — < t < —

Се е

Если встреча торца с неподвижной преградой произошла в момент /=0, то при />0 часть стержня длиной et оказывается остановленной;

Рис. 6.7.9. Схема удара по упругому стержню:

а- при О < / < — ; в - при — < t < —

Се е

Аналогичные явления происходят при внезапном нагружении торца стержня заданной силой. Для случая, показанного на рис. 6.7.9, а

на1руженно1ХЗ торца к заделке со скоросгью с (рис. 6.7.9, б). При t>l/c от заделки отражается волна сжатия и напряжения в сечениях удваи­ ваются. Распределение напряжений по ддине показано на рис. 6.7.9, е.

6.7.8.УДАР СТЕРЖНЕЙ

ОДЕФОРМИРУЕМЫЕ ОСНОВАНИЯ

Механическое поведение многих конструтсдий модетшруется как удар о преграду (деформируемое основание) простейших кон­ структивных элементов типа стержней и оболо­

чек. кх

mi

m

2R

Kxf

Рис. 6.7.10, Схема удара стержня о деформируемое основание

Волновые процессы в упругих стержнях по­ стоянного сечения при вертикальном ударе. Ци­ линдрический стержень (рис. 6.7.10) массой m и длиной /, имеющий на верхнем торце жесткое тело массой W2, а на нижнем - жест1сое тело вращения массой /Wj, летит со скоростью VQ и ударяется о деформируемое основание (полу­ пространство). Введем две системы координат: подвижную ху, жестко связанную с телом ni[, и неподвижную х^У], связанную с преградой. Тог­ да уравнение продольных колебаний стержня (в рамках технической теории) будет иметь вид

скоросгь распространения продольной волны в стержне; ^{t) - перемещение тела т\ (масса

стержня здесь не учитывается). К уравнению (6.7.3) необходимо присоединить начазп>ные и

жесткой массы т\ и стержня будет описываться уравнением

ния (результирующая сила сопротивления); g - ускорение свободного падения.

Решение уравнения (6.7.3) в этом случае может бьпъ получено onepainionnbiM методом, и оно представляет собой ряд по полиномам Лаггера [1]. Приведем значения u(x,t) и u'(x^t\ (напряжений) в характерных точках стержня для

В сечении с координатой лР=1 (где распо­ ложена масса /^2) имеем

и{1,х) = -f^{x), и'{1,г) = 0 (О < т < 1);

т-1

о

di^

(J<T<3); /i(T) = FoX-fF.

(6.7.7) Ecjm конец стержия при xf^—l свободен

(о) = 00^, то

X т - f 2/1 -ь X I Я т - ^ 2л + X I +

(6.7.8)

хяГт - Ггя + X** 11 - / 2 Гт - Ï2{n +1) - х" I l X

определении F(t\ использовать модель идеаль­ ной несжимаемой жидкосги (VQ < 1(Ю м/с для

mj сферической формы). Если nti является те­ лом вращения, то для начальных этапов погру­ жения, аппроксимируя смоченную поверхность тела плоским расБ1иряющимся диском радиуса ^(/), из решения уравнения Лапласа для жид­ кости следует

тщ^ p - плотность жидкости; «i{t\ - функция

Вагнера, которая учитывает эффект встречного движения жидкосги.

Результаты определения зв сведены в габл. 6.7.3. ПараметрЮ1еские исследования о влиянии разапгшых факторов на переходные процессы в упругих стержнях при ударе о воду, грунт и лед приведены в [1, 4].

6.7.3 Функция Вагнера 21^ для тел вращения

х я Г т - Г 2 ( л + 1 ) - х " 1 | .

Таким образом, переходной процесс в стержне определяется законом движения тела /Я1, который находят из решения уравнения (6.7.5). Способы интегрирования уравнения (6.7.5) зависят от вида функции ^(Л -

Модели деформируемых оснований. В ряде

слу'1аев силу сопротивления приближенно мож­ но выразить в явной форме через перемещения и скорость внедряющегося жесткого тела Wj,

а также его геометрию: F(/) =/'tw(/),w(/)l

[1, 10]. Эти результаты получены на основании элементарных теорий удара и эксперименталь­ ных данных. В общем случае функцию F(t\

находят из решения смешанной динамической контактной задачи механию! сплошных сред с подвижными границами для полупространства. Аналитические решения для жидкости и грунтов приведены в [4, 11].

При погружении в жидкость во многих случаях, когда скорость движения жидкости су­ щественно меньше скорости звука и различные точки поверхности тела /Wj не всгупают одно­ временно в контакт с жидкостью, можно при

Рис. 6.7.12. Типовые графики ударных воздействий

Типовые ударные воздействия (y(t\ пред­ ставлены на рис. 6.7.12. При расчете на удар часто пользуются силовыми ударными характе­ ристиками виброизоляпоров, представляющими линейную аппроксимацию нелинейной функции R = /?(х,х) в виде

где с* носит название ударной жесткости. Сило­ вые ударные характеристики виброизоляторов некоторых типов приведены в табл. 6.7.4.

При линейной аппроксимации (6.7.11) частное решение (6.7.10), удовлетворяющее нулевым начальным условиям, можно представить в виде

/

ствия <j(t\ по формуле

Из (6.7.14) и (6.7,15) получаются оценки для

х<о)* тах^ p//,û)*);

(6.7.16)

Рассмотрим случай удара конечной длите.т1ьносги т. Пусть /• - момент достижения наи-

большего отклонения xit^ Если x(tm\ есть од­ новременно первый максимум x(t\, причем

/* > т, то удар называют коротким. При этом оценки (6.7.16) превращаются в равенства

Если же ^* < т, удар называют длитель­ ным. Форму.Ш! для w(x), соответствующие ти­ повым ударным воздействиям uCt\, приведены в табл. 6.7.5.

а(0

о 1/2т г t

CTn COS-

2T

Qne

-û/

GQÛfe/fe

^/ / ^

X

2cû*x

J

Рис. 6.7.13. Ударные спектры линейно недемпфированного осциллятора при импулы^ах различной формы:

полусинусоидальном; 2 - экспонешщальном; 3 - треугольном с вертикальным срезом; 4 - синусоидальном; 5 - прямоугольном

На рис. 6.7.13 приведены ударные спектры

<TQ - пиковое значение импульса) при разли^шых формах импульса. Графики, представленные на рис. 6.7.14, позволяют оценить влияние демпфи­ рования на ударный спектр системы для частно­ го вида воздействия - импу;п>са в виде полувол­ ны синусоиды.

большее возможное приращение функции а(/)

за полупериод тссо* собственных колебаний массы. Оценку (6.7.18) применяют при исследо­ вании влияния длительных ударов.

Кратко рассмотрим вопрос о колебаниях нелинейной системы при ударе. В отличие от стационарных режимов, где даже малая нели­ нейность характеристики г(ХуХ\ может вызвать

специфические нелинейные эффекты - субгар­ монический резонанс, явление скачка, автоколе­ бания, ударные воздействия (во всяком случае, если они относятся к типу коротких) к возник­ новению подобных эффектов не ведут. Поэтому отли^ше поведения нелинейной системы при коротком ударе по сравнению с линейной носит лишь количественный характер. Так, например, при коротком ударе, как это следует из (6.7.15), шах^р^/,©*) =р(т,со*) = SQ, где SQ - площадь ударного импульса С7(^); иными словами, вели­ чины x,w,R линейной системы слабо зависят от формы или длительности ударного импульса и их можно определять из однородного линей­ ного уравнения, соответствующего (6.7.10), при начальных условиях х(0)=0; х(0\ = SQ. Анало­ гичный подход к нелинейной системе дает урав­ нение

Рис. 6.7.14. Ударный спектр линейно демпфированного осциллятора, V/VQ - отношение коэффициента демпфиро­ вания к критическому значению

Для ударных воздействий, имеющих вид односторонних импульсов с единственным мак­ симумом QQ, полезной может быть оценка А.Н. Крыловым [10] максимальной) отклонения Ах

приведены в табл. 6.7.5.

Решение (6.7,19) можно осуществить гра­ фически, в особенности если в виде трафика задана сама характеристика г=г{х), причтем г(х), вообще говоря, должно входить описание упру­ гих свойств упоров или ограничителей хода.

Если удар является длите7и»ным и односто­ ронним (а(/) > О или а(/) < О, О < / < х), более

корректной оказывается его аппроксимация в виде прямоугольного импульса той же длитель­ ности и площади. В этом случае движение объ­ екта во время удара описывается уравнением

где амплитуду а определяют из соотношения

г^(а'^ = а, а функции со = со (с) и ^Q = fç){^)

представляют коэффициенты линеаризахщи не­ линейной характеристики фс):

боковые оси жесткости рассматриваемого виброизолятора. Кроме того, будем считать реакцию Rj^ у зависящей только от переменных

Ô .-^ ио у^, где Ô .^ - проекция на ось w вектора Ô у линейной деформации у-го виброизолятора; 5 .-^ - проекция на ту же ось вектора скорости

2п

Го = (27с)"^ jr[a{l - cosv|/)]ûrv|/;

(6.7.23)

2л

со = -(27cû) I rla^l - cos \|/)] cos \\/d\[/

в интервале О < / < х, где она представляется в виде

В рассматриваемом приближении величина х при длительном ударе равна 2а, причем момент

/* согласно (6.7.22) равен тссо" ; таким образом, при сох>7С удар оказывается ддительньпл, а при сох<7С - коротким. В этом последнем случае

X =а(1- COS 0)/*) - GQ(Ù ^[l - cos(/* - х)1, (6.7.25)

деформации Ô •; аналогичного рода предложе­ ния сделаем в отношении R^ и Rj^^. Таким

образом, АУ можно считать состоящим из 3N элементарных одноосных виброизоляторов.

Введем три системы отсчета: неподвижную

осями инерции. В исходном положении все три системы будем считать совпадающими.

При кинематическом возмущении считаем заданными функциями времени обобщенные координаты несущего тела (источника), в ка­ честве которых примем абсолютные координаты XQy уо, Zo, точки о и абсолютные угловые коор­ динаты У|/',б',ф'; указанные координаты обра­ зуют вектор д'.

В качестве обобщенных координат системы возьмем относительные линейные координаты XQ, УО, ZG ТОЧКИ G И углы V|/, 9, ф, выбранные тем же способом, что и 1|/',Э',ф'. Вследствие