doc2
.pdf46. Принцип возможных перемещений |
663 |
о, о,
С учетом перемещения груза уравнение (1) примет вид
5/1| = A/|gsina-5xi - |
§х |
( |
1 \ |
|
|
(Л/igsina- — Mgybx\. |
Тогда обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате q{ = x h
Q] |
=Migsina-jMg. |
(2) |
Аналогично для случая |
= 0, 5х2 * 0 получим |
|
|
= |
|
ЪЛ2 - ^A/2gsinj3 - j Mg j8x2.
Обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате <?2 = х2,
02 = |
M2gsm$--Mg. |
(3) |
Используя условие равновесия системы в обобщенных координатах: Q, =0, Q2 = 0, из выражений (2) и (3) получим
|
|
|
|
|
м |
М |
|
|
|
|
|
|
2 sin a |
|
|
|
|
|
Л/, = |
М |
|
|
|
|
|
2 sin(3 |
|
О т в е т : Л/, |
М |
-; |
А, |
= |
М |
|
|
м2 |
2sin(3 |
|
|||
|
2 sina |
|
|
|
||
46. Принцип возможных перемещений |
|
|
665 |
|
Откуда |
|
Mg |
|
|
|
|
(2) |
||
|
|
2 |
' |
|
|
|
|
||
Для вычисления Q2 полагаем, что |
=0, Ьх2 ФО. Тогда |
|
||
|
5х = бх2 |
' |
|
|
|
2 |
|
|
|
ЬЛ2 - Mlg • Ьх2 |
- Mg • Ъх = |
{м{§- |
|
|
Откуда |
|
|
|
|
Ог - |
M\g-—Mg. |
|
(3) |
|
В положении равновесия Q = 0, Q2 =0. Приравняв к нулю выражение (3), найдем
л/ = Му
Коэффициент трения скольжения /найдем из выражения (2):
2М\
О т в е т : Л/, = — ; |
/ = 1. |
|
I |
2 |
/ |
Задача 46.22
Составная балка AD, лежащая на трех опорах, состоит из двух балок, шарнирно соединенных в точке С. На балку действуют вертикальные силы, равные 20 кН, 60 кН, 30 кН. Размеры указаны на рисунке. Определить реакции опор А, В и D.
|
60 кН |
|
20 кН |
|
30 кН |
|
|
|
С |
/nvi |
D |
О- |
ъ |
|
гпп/ |
|
|
|
|
|
|
2о |
2а |
666 |
XI. Аналитическая механика» |
Р е ш е н и е
Имеем систему параллельных сил, поэтому на опоре D будет только вертикальная составляющая. Для определения реакции Лд заменим шарнирно-подвижную опору ползуном (рис. 1). Сообщим системе возможное перемещение. Ползун в точке D может перемещаться вертикально, а опора в точке В — горизонтально. Мгновенный центр вращения балки CBD найдем на пересечении перпендикуляров к перемещениям в точках D и В. Этой точкой будет точка В. Поэтому балка CBD будет вращаться вокруг опоры В,
60 кН
Аналогично находим мгновенный центр вращения балки АС, который будет находиться в точке А. Поэтому балка АС будет вращаться вокруг опоры А. Найдем соотношение между углами поворота балок АС
и CBD:
= бфж: -2а = бфдс -2а => Зф^с = 5фдс = §ф. Запишем уравнение принципа возможных перемещений:
-RD4a • 5ф+30-2а • 8ф-60о • 5ф-20д • 5ф = О
или
(60 а - 60 а - 20 а - 4дRD) 5ф = 0.
Так как 8ф*0, то
Ro = 1(60-60-20) = - 5 (кН).
4
Для определения реакции RB мысленно освобождаемся от опоры В (рис. 2).
46. Принцип возможных перемещений |
667 |
60 кН
Сообщим системе возможное перемещение, при котором балка CBD будет вращаться вокруг опоры D, а балка АС — вокруг опоры А, где будет находиться мгновенный центр вращения этой балки, найденный как и при определении реакции в точке D.
Найдем соотношение между углами поворота балок АС и CBD:
= 5флс -2а = бфдс -6а => 5флс = 35фдс. Запишем уравнение принципа возможных перемещений:
20 а- 5фАС +60-5а- 8фрС - 4RBa • Зфдс +30-2а- бфдс = 0
или
(60а +300а - 4aRB +60 а) бфдс = 0. Так как 5фос * 0, то
RB =-4(60 + 300+60) = 105 (кН).
Для определения реакции RA освобождаемся от опоры А (рис. 3).
Ь$А
Рис. 3
Сообщим системе возможное перемещение. Балка CBD6удет неподвижна, а балка АС будет вращаться вокруг точки С. Запишем уравнение принципа возможных перемещений:
«4;2а-§ф-20а-§ф = 0.
668 |
XI. Аналитическая механика» |
Так как 8ф Ф О, то
20
О т в е т : =10 кН; RB = 105 кН; Ro = - 5 кН.
Задача 46.23
Определить вращающий момент, который надо приложить на участке BD к балке AD, рассмотренной в предыдущей задаче, для того, чтобы опорная реакция в D равнялась нулю.
Р е ш е н и е
Приложим вращающий момент М на участке BD по часовой стрелке (см. рисунок). Опору D заменим вертикальным ползуном. Сообщим системе возможное перемещение. Соотношение между углами поворота бфлс и 5ф/)с возьмем из решения задачи 46.22:
5флс = §Фос = 8ф.
Запишем уравнение принципа возможных перемещений, учитывая, что реакция на опоре D должна быть равна нулю:
-20а-8ф-60й-8ф+30-2а-5ф+Л/-5ф = 0.
Так как 8ф Ф 0, то
М = 2 0 о + 6 0 д - 6 0 й =20а.
О т в е т : М = 2 0 о к Н м .
46. Принцип возможных перемещений |
669 |
Задача 46.24
Составная балка АЕ, лежащая на двух опорах А и С, состоит из трех балок АВ, BD и DE, шарнирно соединенных в В и D. Балка DE в сечении Е защемлена в стене. Определить вертикальную составляющую реакции в сечении Е. К балкам приложены четыре равные вертикальные силы Р. Размеры указаны на рисунке.
Р |
Р Р |
Р |
1/ |
Л |
if |
Е |
^ |
|
11 |
|
/ |
|
|
|
г, аг. a f , а(. а( • а > . а,. а . а •
/
Р е ш е н и е
Для определения реакции RE заменим заделку на опоре £ жестким ползуном (см. рисунок). Сообщим системе возможное перемещение.
Тогда балка DE перемещается поступательно, балка BCD вращается вокруг мгновенного центра вращения (точка Q , а балка АВ — вокруг точки А,
Найдем соотношение между углами поворота балок АВ и BCD:
& = 5флд-2а = 5фв с о -2а => бф^д = бфдсд = &ф-
Тогда
6s = 5sp = 2 а • 8ф.
Составим уравнение принципа возможных перемещений:
-Ра • бф - Ра • 5ф+ Ра • 8ф+ Р-5s - RE-5s = О