doc2

4.Выбрать систему отсчета (декартовы оси координат или естественные оси) и записать уравнение движения в проекции на выбранные оси (ось) или дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси,

5.При решении задач, связанных с движением ракеты, можно записать уравнение Мещерского в проекции на ось, направленную по движению ракеты, или применить формулу Циолковского. В ка-

честве числа z взять отношение общей начальной массы ракеты

кмассе корпуса.

6.Решить задачу в общем виде, а затем подставить численные значения и рассчитать значение искомой величины, если это требуется в условии задачи.

Задачи и решения

Задача 45.1

Составить уравнение движения маятника переменной массы в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Масса маятника изменяется по заданному закону т = т(Г) путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю. Длина нити маятника /. На маятник действует также сила сопротивления, пропорциональная его угловой скорости: R - -(}ф.

Р е ш е н и е Запишем уравнение Мещерского:

Так как vr = 0 по условию, то

Задача 45.3

Проинтегрировать уравнение движения предыдущей задачи при

ли = /WQ(1 - at) и R = 0. Начальная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. На какой высоте будет находиться ракета в моменты

t =10; 30; 50 с при ve =2000 м/с и а = 1/100 с""1?

Р е ш е н и е Используем результат решения задачи 45.2:

Рассчитаем высоту подъема ракеты для заданных моментов времени:

х(10) = 0,54 км; х(30) = 5,65 км; х(50) = 18,4 км.

Задача 45.4

Ракета начальной массы т 0 поднимается вертикально вверх в однородном поле силы тяжести с постоянным ускорением ng(g — ускорение земного тяготения). Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную скорость ve истечения газов постоянной, определить: 1) закон изменения массы ракеты, 2) закон изменения массы ракеты при отсутствии поля тяготения.

Р е ш е н и е

Запишем уравнение Мещерского:

1) Спроецируем векторное уравнение (1) на ось Ох (см. рисунок):

где vr - ve; G = mg.

Так как х = ng, то уравнение (2) примет вид

dm mng = -mg~ve~. dt

Откуда

/ 1ч dm mg(n+l) = _ve — dt

или

dm _ S<n + \)d{ m ve

Проинтегрируем это выражение и получим

Найдем постоянную интегрирования с учетом начальных условий: / =0, т = т0; С = lnw0. Тогда уравнение (3) примет вид

, т л+1

In—= gt.

ЩК

Откуда

2) Когда сила тяжести отсутствует, т.е. G =0, уравнение (2) имеет вид

dm тх ~ -ve —

dt

или

dm _ _ gn -dt.

т vусe

Проинтегрируем это выражение и получим

Inm = -ELt+c.

Найдем постоянную интегрирования С с учетом начальных усло- вий: t = 0, m = mQ; С ~ lnm0. Тогда

in =

Щve

Задача 45.5

Масса ракеты, описанной в задаче 45.2, изменяется до / = /0 по закону т = т$ё~ш. Пренебрегая силой сопротивления, найти движение ракеты и, считая, что к моменту времени ^ весь заряд практически сгорел, определить максимальную высоту подъема ракеты. В начальный момент ракета имела скорость, равную нулю, и находилась на земле.

Р е ш е н и е

Воспользуемся результатом решения задачи 45.2. Запишем дифференциальное уравнение восходящего движения ракеты:

(е'шУ

Проинтегрируем уравнение (1) дважды:

x = -gt + avet+Cb

t1

x = (ave-g)—+Cxt+C2.

Найдем постоянные интегрирования С) и С2 с учетом начальных условий: t - 0, х0 = 0, х0 = 0, С, = 0, С2 = 0. Тогда

Движение ракеты до достижения максимальной высоты разделим на два этапа.

I этап. Ракета движется до момента времени tQ. Для t = t0 по формулам (2) и (3) найдем

II этап. Топливо выгорело. Ракета движется только под действием силы тяжести, т.е.

x = -g.

Проинтегрируем это выражение дважды:

X = -gt+C3,

/2

x = -g-+C3t+Q.

Начальные условия для II этапа движения ракеты будут конечными для I этапа: / =/0, x(t0), x(t0). Следовательно,

(ave-g)t0 = -gto+C3,

( a v e - * ) | = - * | + C 3 / 0 + C 4 .

Найдем постоянные интегрирования:

t С3 = avet0, С4 = -ave~.

Тогда

ния газов из ракеты.

Задача 45.6

При условиях предыдущей задачи определить значение а, отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Нт а х , и вычислить # т а х (величину ц. = afo = 1п(/%/Ц) необходимо считать постоянной; т\ - масса ракеты в момент /0)-

Р е ш е н и е

Согласно результатам решения задачи 45.5 максимальная высота подъема ракеты

dH _

da

>0 при a

О т в е т : ос = °° (мгновенное сгорание); Н т а х = |a2v2/(2g).

Задача 45.7

При условиях задач 45.5 и 45.6, задавшись коэффициентом перегрузки к ~ aveJg, определить высоту подъема Н ракеты в зависимости от Нт а х .

Р е ш е н и е

Из решения задачи 45.5 высота подъема ракеты

\

где кI = —ave g

Согласно решению задачи 45.6

О т в е т : H = Ятах(к-\)/к.

Задача 45.8

Ракета стартует с Луны вертикально к ее поверхности. Эффективная скорость истечения ve = 2000 м/с. Число Циолковского г = 5 (числом Циолковского называется отношение стартовой массы раке-

ты к массе ракеты без топлива). Определить, какое должно быть время сгорания топлива, чтобы ракета достигла скорости v = 3000 м/с (принять, что ускорение силы тяжести вблизи Луны постоянно и равно 1,62 м/с2 ).

Р е ш е н и е

Запишем уравнение Мещерского в проекции на ось Ох:

О т в е т : 2 мин 15 с.

Примечание. В задачнике допущена ошибка.

Задача 45.9

Ракета движется в однородном поле силы тяжести вверх с постоянным ускорением w. Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффектную скорость ve истечения газов постоянной, определить время Г, за которое масса ракеты уменьшится в два раза.