Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задание_к_контрольной

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

447.8 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

6. Определим тонки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости,

	« *	-(х+\)3-3(х+\)2(\-х)			-х-1-3+3*		2 * - 4
Найдем у":			,	" =	. Г*+1/		;— =	тт-
			(*+1)		. Г*+1/		(*+1)4
у" -	0 при х ~ 2		2 - критическая тонка второго рода,
х = -1 их = 2разбивают числовую ось на интервалы (-oq -1), (-]; 2),
(2;	Определим знаку" на каждом из этих интервалов.
Заполним таблицу;
	X		(-Щ п		2		+
	У"		1	-	0		+
	У		»ыпуюшя щыпукяая		2/9	вогнутая
			п-	п			и
При переходе через критическую точкух - 2 слева направо у" ме-
няет свой знак		Так как Д2)		= 2/(2+1)* « 2/9, то точка (2; 2/9) являет*
ся точкой перегиба графика функции.

7. Определим Наклонные асимптоты. Уравнение такой асимптоты

имеет шд у ~kx + b,
где k = От	lim	*	, = lim	Цг = 0;
lim(f(x)~kx)=		lim	=

Следовательно, прямая у ~0 яеляШся двусторонней горизонтальной асимптотой.

8. Построим график функций (рис.5).

Тема 3: Неопределенный н определенный интегралы

Вопросы

1.Первообразная. Неопределенный интеграл ц его свойства. ,

2.Таблица основных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

3.Интегрирование простейшихрациональных дрббей.

4Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей.

5.Интегрирование тригонометрических функций.

6.Интегрирование иррациональных функций.

7.Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

8.Задачи} приводящие к понятию определенного интеграла (задача о плои^ади криволинейной трапеции и работе переменнойсилы)-

9.Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

10.Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

11.Производная определенного интеграла по верхнему npedejfy. Формула Ньютона-Лейбница.

12.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

13.Приближенное вычисление определенных интегралов: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

14.Вычисление площадей в прямоугольных и полярных координатах.

15.Вычисление длины дуги линии.

16.Вычисление объемов тел вращения.

17.Вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести плоской кривой.

18.Вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести плоских фигур.

19.Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций.

	Контрольные заданий
Задание 3.1. Найти неопределенные интегралы.
	В а р и а н т ы
1. а) \хЧ2хА - 5 dx;	Ь) \х1пЪх(1х ; с) J *

х —81

d) jsin3 4x • cos2 4x dx.

а)

Г - 4 — А ;

\xcos(2x-\)сЬс

; cj f

I Z - t l l l — b ;

4х

>(х + г)(х

+* + 1)

jcos*

Зх dx.

я ;

4 )

< f

;

b)\x-e'Axdx;

с)

f cay3 2* .

d )

J —rr

1 sin4

e j U - 4

V 4 ;

\4~xlnxdx;

c)\-.

-бдг + 5

<Л) fли2 - • cos1

dx.

aA^-dx;

b)\CSx~4)lnxdx

;

c) f T

- f - —

' « w 3

\/дг - 5*+1

</H

yfx

c) J

- f z l ^ ^ r ;

V4*2 +4x+l

| sinxsin3x

dx.

.'7.

a)J \jcos2x~4

sin2xdx;

b)[lnx2

dx ;

с)[щ==<1х;

d )

•

• 2 sinx+3cos

a r f ^ ^ A ;

Г(2д: 3)sinlxdx;

c) f

X 4 Xе + 2x

<3f> I COfIr • co^SJC

dx;

f arcsin - dx ; c)

[T—

-т

- dx;

d)j/g42xdx.

10. а)	I	h) iantglxdx;	с) f
	' cos13x	3	' y/x + Vx
i ) \	5 - 4 *sinx

Задание 3.2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

! 7 * L	2. \|			3. r - i t .		4. f — ^ Ц - . 5. L . / a .
\xlnx		^ 4 + х		I V h V				-V
6. f - Д . . 7. Г — *				. 8 . ? — 9 . f — .					10 . } * .
Задание 3.3. Вычислить площадь фшуры, ограниченной линиями:
				В а р и а н т ы				f
1.у = 2х-х2 ,у3 5 х2 .						.	6. г = 4(1 +
2.	ху =1, у = х, х = 2, у - 0.						l.r-	5 sin3qk.
3.	у = х2,2х + у-3=: 0.						8 .r=*2cos3tpi
4.	у = (х - 4)2, у -			16 - х2, у ж 0.			9.г	- 3 Лп2щ	>
З.у = ( х + 1)2,х + у = 1,у = 0.							10.г ^*cos2qx
Задание 3.4. Вычислить длину дуги кривой.
		v		В а р и а н т ы
1		2(1 :cosp).
2.x -		3(t-sin	t), у	= 3(1 - со* t), 0 < t < 2 т
3.	г = 3(7 - со.?
4. x-2		cos3 t,y~2sin31,			0 £ t	<	n/2.
5. x =		у-	4-1/4		м е щ точками ее пересечения с осями
					координат.

6.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у - 4 - х2,2х + у«4 = 0.

7.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у ж х2/2, у * х3/8.

8.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у ~ -х2 + 8, у ~ х2.

9.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = х3, х - 1» у = 0.

10.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями ху = 9, у ~ 3, у = 9, х = 0.

Методические указания к решению задач но теме "Неопределенный и определенный интегралы"

		Таблица основных неопределенных интегралов
L Iuadu = —~			+ С .(а*-	I). I0.J-4L		- /nLf ~ +			4/	+ С.
J		а+1		' ш м			V2		4/
2.		Inи		11.J—^du			— arctg — + C(a*0).
J		Inи		а	ч- и		a		a
3.	jeudu=eu+C.			12. f	du		2a	a + u + C.
				аг-и2			2a	а-и
4 .	=	4- С .		13. JV	du				и
4 .	=	4- С .				z - arcsin— + C(j«\| < jaj).
					^	v
5. \|5Ш«А = -соу«+С.					ж	r = in\u + л/и2 ± a21 + С
5. \|5Ш«А = -соу«+С.						r = in\u + л/и2 ± a21 + С
				Н / yfuTTa2
6.				15. JjrAw-cAw-i			С
7.		=		16. jchu-sh		м + С
	CO* и
• sin		и		17. \| ch2u
9]			+C.	18. J du = - cthu+ C.
4	sin и	2		shlu
Пример 3.1, Вычислить интеграл J					(Зх - 4)sm5xdx.
Решение. Применим формулу интегрирования по частям:
			\|	udv ~ uv -1		vdu.
Положим и-Зх-4,			dv=sin3xdxt тогда du-3dxf				v~J	sinSxdx=- ™со$,5х
J	- 4)sin5x dx		(Зх - 4)cos5x + ~ J			cay5x dfr -
			1	3
			=- - (3x-4)cos5x + —sin 5x + С
			5*	25
32

Пример3,2. Найти интеграл J*

—-dx.

Решение. Подынтегральная функция я&шетсярациональной, т.*. отношением двух многочленов. Поскольку степень числителя дроби выше степени знаменателя, то нужно выделить целую часть. Для этого разделим шслитель на знаменатель по прат*яу деления многочленов.

• j t 4 + 8 *

jc 4- 1

х3 +8

-1 0

Врезультате деления получаем

х 4 + х 3 + В х - 2	- 1 0
. * 3 + в	~ * 3 + 8

Следовательно,

хг	inf			dx
2	+ X-10J-
2	"	J	jr3+8

Дробь ——~ разложим на сумму простейших дробей:

* 3 + 8

1	1	А	Вх+С
д:3+8	(х + 2)(хг-2х+А)	* + 2	jc2 -2jr + 4*
1 = А(х2 ~2х + 4)+(х + 2)(Вх + С).

Найдем Af В, С, приравнивая коэффициенты при одинаковых сте - пенях х.

А + В = 0	I
2В + С-2А ~ 0	I =>А = 1/12, В =-1/12, С = 1/3.
х° 2С + 4А = 1	)

-jr-f -

= l / « b +

2 1 - i - f - i l l i -

A s

i u ,

+ 2 |

_ 1

2 4 J * J

- 2 * + 4

2 4 V - 2 * + 4

24 x

~2x + 4

4}x2-2x+4

^ 1

- -

Itlx1

2* + 4t+ i f —

Цг +

2| - ±

1„Уг -

2x + 4j +

' 4

, Y * - V

+ 3 12

24 "

arctg—j=r- + C.

4\f3

Итак,

Пример 3J. Вычислить несобственный интеграл

J — * urn доказать его расходимость.

*0 x +X4*+A*. 9

Решение

( , *	'		A
Lx%+Ax	+ 9	1тжг + 4х + 9				qXl+4x
	dx		=	u	1	x + 2
*** ' ( i + 2 f + J			=	lim ~j? arctg
*** ' ( i + 2 f + J						л/5
1	2		1 я	1	я	1 '

+ 9	limf	у+5

n	1	b

2	/г

Интеграл сходится.

Пример 3.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

г ~ asm 3(/х

Решение. Фигура, площадь которой нужно найти, представляет собой трехлепестковую розу (рис.б). В силу ее симметрии достаточно вычислить площадь половины любого лепесткй и результат умножить на б.

Площадь криволинейного сектора в полярной систем* координат вы-

чисяяется по формуле						.
			1 0
			«*
Следовательно, искомая площадь
1			*				*
г \		w	{	2	2 v^	6	4
- — ~	~ -	* g 2
2	"б""	4

Пример 3.5, Вычислить объем тела, образованного вращением «округ оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = * + у = 2, ^=0.

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения параболы у -э? и прямой у- 2-х. Решая уравнениеV ~ 2-х, находим xt = -2, л* = I.

Данная фигура (рис. ?) состоит из двух частей: первой - ограничен - ной сверху параболой (0 <х £1), и второй - ограниченной сЫрху прямой (I <х £2). Снизу фигура ограничена прямой у ~ 0.

• У

Поэтому	V = V,+Vj =
= яг\|*4 А+я\|(2-лс)г А = я		a - x f	П	8
= яг\|*4 А+я\|(2-лс)г А = я		Ч	- + -	= — яг.
		Ч	5 У	15

Тема 4, Функции нескольких и^реме^уых

Вопросы

LОпределение функции двух и более переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных.

2.Частные производные, их геометрический смысл для функции двух переменных.

3.Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцирование сложных функций, инвариантность формы полного дифференциала.

4. Дифференцирование неявных функции: /(х, у) = 0, F(xt у, z) = 0.

5.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

6.Частные производные высших порядков. Формулировка теоремы о независимости частных производных от последовательности диф-

ференцирования. -

7.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума:

8.Достаточные условия экстремума для функции двух переменных.

9.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

J О, Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Зб

П.Эмпирические формулы. Определение параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов.

Контрольные задания

Задание 4.1. Найти полный дифференциал функции. В а р и а н т ы

1,	+	2.z -sin2(2х-	у).	3.x~intg~£.
4.z~arctg	— .	5.z=t]co42x-у).		6.z-ex	.

10. 2 •	\3 '
	\3 '
	P - s ) '
	Задание 4.2
l. Дана функций z=	Показать,что	— = 0.
у		defy ty

2.Дана функция z = sinfx + ay). Показать, что —г =- aа 2 —1

л& *

3.	Дана функция z = е*у.		Показать, что			хг	~	- у2 ~ = 0.
							<3г	Ф
4.	Дана функция z	х
	гт	z	~		z		л
	Показать,что х	—- + 2ху—-г			+ у*—-		= о.
		ас2
5.	Дана функция z = In -		+х3- у3.
		.У		-
	Показать,что	ас	у— = 3fjr3		'	/
		ас	ф	v	'	/

6. Дана функция z = у in х +xln у.

п	Л	• Л
Показать, что х —		у — = х + у ± z.
	&	J ду

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.2015776.19 Кб45Задание и Метод. по АХД заочн.25.07.12.doc
#
17.07.2019156.29 Кб1Задание к расчёту рулевой трапеции.docx
#
19.11.2019242.18 Кб3Задание по макроэкономике на курсовую работу.doc
#
27.09.2019143.36 Кб7Задание СУБД для ЗО.doc
#
10.07.2019399.87 Кб1Задание_группа_106429.doc
#
31.05.2015447.8 Кб7Задание_к_контрольной.pdf
#
26.11.2019268.8 Кб1Задание_на_КП.doc
#
26.03.20161.06 Mб39Задания ,методические указания к лабораторным работам.doc
#
31.05.2015325.57 Кб14Задания 1 Ввод-вывод.pdf
#
31.05.2015159.56 Кб23Задания 5 Функции.pdf
#
23.11.2019246.21 Кб3Задача по аккредитации тсп.docx