Задание_к_контрольной
.pdf7. Дана функция z ~ cos у +(y-x)am у |
|
|
||
Показать,что |
(х-у)скф |
ф' |
|
|
8. Дана функция z=e*/y. Показать, что у c^z |
tk |
3s |
||
|
|
Зсф |
ф |
ах |
9.Дана функция z
Показать, что хг2 -г?-2*- 2ху^ -—с^2~ + у 2г —- + 2xyz = 0. л..» ~гжу~- + у л—.*
Зс2 &Ф дуг
10.Дана функция z = с*'*..
Показать, что — [х2 — ] - 7у 1 —г~ ~ 0. ас) д»фг
Методические указания к решению примеров по тете "Функшш нескольких переменных"
Пример. Найти полный дифференциал функции g = ig(3-2ylx).
Решение.
ас |
|
|
|
|
|
- 2у1 |
|
Sk |
|
-4ху |
|
А созг(Ъ-2угх)' |
ду |
|
Созг(Ъ-2угх) |
||
2уг |
. |
- dx |
|
4ху |
r ~ dy. |
Л |
г |
||||
cos1 (3- |
2у2х) |
|
cos2 |
< 3- |
2у1 х) |
Тема 3. Дифференциальные уравнения
Вопросы
1.Дифференциальные уравнения (ДУ). Оснотые понятия.
2.ДУ первого порядка. Задача Коми.
3.Уравнения с разделяющимися переменными, однородные, ' линейные, уравнения Бернулли.
4.Метод Эйлера решения задачи Коиш для ДУ первого порядка.
5.ДУ высших порядков. Задача Коиш.
6.ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.
7.Линейные ДУ высших порядков.
38
8.Линейные ДУ с постоянными коэффициентами.
9.Системы дифференциальных уравнений.
контрольные задания Задание 5Л. Найги общее решение или общий интеграл дифферен-
циального уравнения первого порядка. |
|
||
|
Варианты |
|
|
1.ху' ~у = у\ |
|
6. ( л + x V -О + 2х)у = 1 + 2х. |
|
2. у' - ysinx = siitxcosx. |
7. xdy - ydx = vdy, |
|
|
3. xy'cos - ~ ycos -«x. |
8. у - ху' = 1 + x2y'. |
|
|
x |
x |
9. у' - у = ху2. |
|
4. e 7(1 4- x2)dy - 2x(l + ey)dx = 0. |
|
||
5. Зху' - 2y = |
x3 |
i |
|
~r. |
10. у' -2xy = 2x-ex . |
|
|
|
vz |
|
|
Задание 5.2. Решить^фференциалаьное уравнение второго |
|||
порядка, используя методы понижения порядка. |
^ |
||
|
Варианты |
|
|
1. у" у3 = 1. |
|
6.2уу" = 1+(у')2. |
|
2. (х + 1)у» - (х + 2)у' х + 2 « 0. |
7. у" -tg у = 2(у')2. |
|
|
3.у"=(1 +(У)У2 . |
8. у" + yftg х = sin2x. |
|
|
4. х2у" + ху' = 1. |
9. х2у* = (у')2. |
|
|
5. х*1пх -у" - у' = 0. |
10. ху"*у' = еж-х2. |
|
|
Задание 5.3. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
|
Варианты |
|
||
1. у " -4у' + 5у - 2xV, |
У(0)-2, |
у'(0) = 3. |
||
2. у " + 4у = 2sin2x - Зсов2х, у(я) = 0, |
у'(it) = -Зя/2. |
|||
3. |
у "- 5у' + 6у = (12х - 7)е"х +12, |
у(0)« у'(0) = 2. |
||
4. |
у " - 2у' + 10у = sin3x + е*, |
|
уф) =у'(0) = 1/9. |
|
5. |
у " - Зу' = е3* - 18х, |
у(0) = 0, |
у'(0) = -2/3. |
|
6. |
у " - 5у' + 6у = 13sin3x + 1, у(0) = 3/2, |
. У#СР> |
||
7. |
у" + у = cosx + cos2x, |
у(я) = -1/3, |
у'(л) = 0. |
|
8. у;/ + у =е-« + 2cosx, |
|
у(0) = у'(0) = 1/2. |
||
9. |
у" - Зу' -f 2у « Зе2* + 2х2, |
у(0) = 3, |
у'(0) = 5. |
|
10. |
у " + Зу'«4у = е"4* +хе", |
у(0) = 0, |
у'(0) = -11/30. |
|
Задание 5.4. Найти общее решение системы ДУ и ее частное решение при заданных начальных условиях.
dx
да
Фdt = 2х-у, Га- • 2х-3у,
dt
ф
dt = 3х + 2у,
^ = х + 5у,
1 = 1Л
~ = Х~у, dt
—= 4* - Зу,
= X-y,
9.
= -4x+4y,
|
|
Варианты |
|
|
|||||
х(0) |
=5; |
|
{dx |
~ X + y, |
X(0)-0; |
||||
|
|
|
|
I dt |
|
|
|
|
|
у(0) |
= 1. |
|
dy |
- |
—2x + Ay, |
y(Q) |
-1. |
||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
xfOJ = 1; |
|
dx |
- |
3x - >', |
x(OJ — 1; |
||||
|
|
|
4. |
|
dt |
|
|
|
|
у( о; = 1. |
± - |
1 Одг - |
= |
||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
х(0) |
|
--1; |
|
"dx |
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||
у(0) |
= 1. |
6 |
|
|
|
y(0J=-L |
|||
|
|
|
|
|
|||||
х(0) |
|
— 2; |
|
|
~^ = |
3x~2y, |
x(0J=l, |
||
|
|
= |
|
|
dy |
= 4x + 7y, |
y(0) |
- 0. |
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
XfO) = 0; |
10, |
Л = 2*-5y, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) |
= 5. |
|
|
Л = 5* - by, |
y(0) |
- ~3. |
|||
Методические указания к решению задач по теме "Дифференциальные уравиения"
Пример 5.1. Найти общеерешение ДУ первого порядка: ху'+у ~/1пх.
Решение. Разделив левую и правую части уравнения на х, получаем
у1пх-у1
у' + — =-- — .
* *
Это уравнение Вернулпи, Применим подстановкуу = uv:
и |
» |
|
- , 1 |
|
Inx |
и |
i |
2 |
|
|
v + uv+- |
x |
UV =-— |
|
v ; |
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
, |
. / I . |
» , |
inx |
U |
3 |
2 |
|
|
u'v |
+ u(v'+ |
- ) = — |
|
V . |
||||
|
|
|
|
|
X |
x |
|
|
|
40
Функцию v(x) выберем так, чтобы выражение, стоящее в круглых
скобках, обращалось в ноль: |
v' + -v = 0. |
|
х |
Так как последнее есть уравнение с разделяющимися переменными,
dv |
dx л dv |
|
|
г dx |
, , , |
f f , |
, 1 |
|
то имеем: — = -—, |
— = - |
|
—. => |
Mv\~-Mx\ |
=> v = --. |
|||
V |
X |
* V |
|
J |
X |
|
|
X |
Подставив значение v в уравнение (*), |
получаем для и(х)уравне - |
|||||||
ние с разделяю1цимися переменными: |
|
|
|
|||||
|
1пх |
2 1 |
|
|
du |
lnx-dx |
* |
|
и — |
м —- |
=> |
—-г~ |
|
||||
** и" х
Интегрируя это равенство и применяя формулу интегрирования по
частям к интегралу, стоящему справа, имеем: |
х |
|
||||
1 |
1пх |
с dx |
Inx |
. I ^ |
|
|
= |
х |
4-1-—=: |
х |
- + С => U ~ |
: |
. |
и |
3 х |
х |
i + lnx-Cx |
|
||
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид
у = iiv = i/(7 л - Сх).
Пример 5.2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение уу"+у,2=0.
Решение. Это уравнение вида Р(у, у', у") = 0. Оно не содержит независимой переменной х. Если положить у' = р(у), а за новую перемен - ную принять у, то порядок данного уравнения понизится.на единицу. Производную у" находят по правилу дифференцирования сложной
функции: |
dy |
dy |
|
|
|
|
|
||
Подставляя значения у' и у" в исходное уравнение, получаемДУ |
||||
первого порядка относительно функции р(у) |
вида |
|||
урр'+р2-0 |
|
или |
Р(УР'+Р)~0. |
|
Пустьр*0. Тогда |
ур' + р = 0 или у dp = - р dy. Разделив обе час- |
|||
ти уравнения на ру |
и проинтегрировав полученное равенство, |
|||
получим f — = - [ |
= > |
lrip\ |
= -Му\ + |
1п\СА, ==> р — —. |
Р |
У |
|
|
У |
Так как у' = р, то у' = С;/у |
ydy - С/ dx. |
|
||
Проинтегрировав последнее уравнение, получим общий интеграл |
||||
исходного уравнения: у2/2 - Cjx + С2 или у2 |
- 2(CjX + С{). |
|||
В ходе решения мы делили на ру, предположив, что р * 0, у Если же р = 0, то у ' = 0 =>у ~ С. Это решение исходного уравнения
может быть получено из общего интеграла при С/ ~ 0. Частное решение у = 0 тоже входит в общий интеграл при Сi = С2 = 0.
41
Пример 5.3. Найти частное решение ДУ у" + у ~ cos х + ех , удовлетворяющее начальным условиям: у(я) ~ еп, у* (л)
Решение. Это линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффи - циентами и специальной правой частью.Находим общеерешение соответствующего однородного уравнения у" + у ~ 0. Его характеристическое уравнение k2 + 1 = 0 имеет корни k{ -- i, к-, = - /.
Вэтом случае общее решение однородного уравнения имеет вид
-у =r Cj cosx+ С2 sinx.
Так как правая |
часть исходного уравнения представляет собой |
||||
сумму двух функций |
fi(x) |
+ /2(х) специального вида, то его частное |
|||
решение У ищем в виде |
у = у j + У2 > |
|
|||
где |
У i - частноерешение уравнения |
у" + у - /{(х) |
- ш ж, |
||
а |
у 2 - частное решение уравнения |
у" 4 у^/г(х) |
- е\ |
||
Вид частныхрешений у \ ,у ъ определяем согласно таблице:
Правая ч а т / ( х ) ДУ
Ш)
Ае**
<?°*Рд(х)
eca(PD(x)cospx + + Qm(x)sinpx)4
Корда характерисгического уравнения Число 0 не явл.корн, характер.уравн. Число 0 * простой корень характ.уравн, Число a № явл.корн. хзрактерист.уравн. Число а-корень кратности "к" харзиетуравнення Число а не явл. корн, характерист.уравн. Число а-корень кратности ' V характ.уравнения Числа a t i p не явл. корн.характ.уравн.
Числа a ± ip - корни характерист.уравн.
Вид частного решения
У
Rr,(x)
. XRQ(X)
Be**
BxV*
е°Х(х)
x^e^Rnfx)
e0a(Rv(x)cospx +
+Sv(x)sinpx),
v= шах(п, m). xe°"YRv(x)cospx +'
+Sv(x)sinpxj
4г
Так как fi(x) = cos х = е°'* cos (1-х), т.е. а = 0, |
0 * ря(х) = |
|||
Qm(x) ~ О, v^ max (0, 0) = 0 и числа a±if) |
= ±i |
являются корнями |
||
характеристического уравнения, то У / ищем в виде |
||||
|
У 1 ~ x(Acosx + Bsinx). |
|
|
|
Тогда у |
'j ^ (А + Bx)cosx + (В - Ах)sinx; |
|
|
|
у\ |
= (2Я - Axjcosx - (24 + Bx)sinx. |
|
|
|
Подставляя эти выражения в уравнение у" + у - cosx, мы должны |
||||
получить тождество |
|
|
|
|
2(Bcosx - Asinx) ~ содх |
=> В = 7/2, Л = 0, |
т.е. у |
1/2 х sinx. |
|
Далее, так как /2(х) |
= *Х = У • Е7* W.E, А - 1, а = 1 и число а = 1 не |
|||
является корнем характеристического уравнения, то у 2 ищем в виде у 2 = Се*. Подставляя это частное решение в уравнение у" + у = е*,
должны получить тождество |
2Сех шех, откуда0С = 1/2.4 |
Таким образом, у - у j + у 2 |
-1/2 (xsinx + ех), а общее решение ис- |
ходного уравнения имеет вид |
|
у - у + у = Cicosx* |
C^inx + 1/2 (xsinx + ех). |
Найдем теперь частноерешение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Продифференцировав общее решение, получим:
у' = C2cosx + (1/2 - Сi)sinx + 1/2 (xcosx + ех).
Подставляя в выражения для у и у' начальные условия х - д у - ея, у'=-я/2, получим системууравнений
-Сх + - е * - еп \ |
|
|||
с |
2 ~~2 |
+ |
- ~ |
п |
|
|
~2~~ |
2 |
|
Следовательно, искомое частное решение имеет вид у = 1/2 en(sinx - cosx) + 1/2 (xsinx + ех).
Пример 5.4. Найти общеерешение системы дифференциальных уравнений и ее частное решение при заданных начальныхусловиях
^ |
= 4х-у, |
x(0)=U |
at |
|
|
dv |
\ |
у(0) = 0. |
~~ = 2у+х, |
||
ц at |
|
|
16
Тема 7. Векторный аналиэ
Вопросы
1.Схапярное поле, линии уровня, поверхности уровня. Производная по направлению.
2.Градиент скалярного поля.
3Векторное поле. Векторные линии, векторные трубки. Поток век - торного поля через поверхность
4.Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского.
5.Линейный интеграл и циркуляция векторного поля.
6.Ротор векторного поля, теорема Стокса.
7.Потенциальные и соленоидальные векторные поля.
8.Оператор Гамильтона, его использование в векторном анализе.
Контрольные гадания
Задание 7.1
1.Дано скалярное поле и - 4хг - Зу и точки М(1,1 ;0) и N(4;5;0). Найти производную поля и в точке М по направлению, идущему к точке N.
2.Дано скалярное поле и = J + у1 - Зх + 2у и точки М(0;0;0) и N(3;4;0). Найти производную поля и в точке М но направлению, идущему к точке N.
3.Дано скалярное поле и у + yz + 1 и точки М(0;2;4) и N(12;-5;-8). Найти производную поля и в точке М по направлению, идущему к точке N.
4.Дано скалярное поле и =ху + yz + xz и точки М(2;1;3) и N(5;5;15). Найти производную поля и в точке М по направлению, идущему к точке N.
5. Дано скалярное поле и ^х2-у2 + / и точки М(0;1;2) и N(0;3;6). Найти производную поля и в точке М по направлению, идущему к
точке N. |
|
6. Дано скалярное поле и ~*2 + у2 + z2 - |
и точка МО ;-1 ;2). |
Найти градиент скалярного поля и в точке М и наибольшую скорость возрастания поля.
7. Дано скалярное поле и =2т2 + 3 / -z2 и точка М( 1 1 ;2). Найти градиент скалярного поля и в точке М и наибольшую скорость возрастания поля.
8. Дано скалярное поле и =3х*у - Зх у + у и точка М( 1 ;2;0), Найти фадиент скалярного поля и в точке М и наибольшую скорость возрастания поля.
50
9.Дано скалярное поле и ^хуг и точка М( 1 ;2;-2).
Найти градиент скалярного поля и в точке М и наибольшую скорость возрастания поля.
10. Дано скалярное поле и ^Зх2 + у2 + J |
и точка М(1 ;0;-1). |
|||||
Найти градиент скалярного поля и в точке М и наибольшую |
||||||
скорость возраставши поля. |
|
|
|
|
|
|
|
Задание 7.2 |
|
|
|
|
|
1. Найти поток векторного поля а = (8х + l)i |
+ (zx - Ay)j |
+ (вж -2)* |
||||
через внешнюю сторону поверхности S: х2 + у* + z2 ~ 2у. |
||||||
2. Найти поток векторного поля а = 8xi |
+ ! l y j + Мгк |
через внеш- |
||||
нюю сторону пирамиды с вершинами в точках 0(0; 0; 0), А(1; 0; 0), |
||||||
В(0; 1/2; 0), С(р; 0; 1/3). |
|
|
|
|
|
|
3. Найти поток векторного поля а ~ хуа/ + yzlj |
+ тхгк через внеш * |
|||||
нюю сторону поверхности х2 + yd + z' ~ R'. |
|
|
|
|||
4. Найти поток векторного поля а~хЧ |
+ zV через внешнюю сторо - |
|||||
ну поверхности тела, расположенного в I октанте и ограниченного |
||||||
координатными плоскостями и поверхностью |
~ 1 - х • у. |
|||||
5. Найти поток векторного поля а - х2/ |
у2у + z2£ через часть по - |
|||||
верхности Xs + у2 + ^ = 1, расположенной в 1 октанте (cos 7 > 0). |
||||||
6. Найти циркуляцию векторного поля а ~ - x'yi |
+ xy2j |
вдоль кривой |
||||
L; х2 + у2 « а2 (в положительном направлении) по формуле Грина. |
||||||
7. Найти'циркуляциюлекторного поля а ~ - шу/ |
|
вдоль кривой |
||||
L: s[у* a sin t |
(в положительном направлении). |
|
|
|||
8. Найти циркуляцию векторного поля а у * i |
- х*j + z i |
вдоль кривой |
||||
L, получающейся при пересечении поверхности {у 4 z / |
4 * х с ко - |
|||||
ординатными плоскостями,по формуле Стокса. |
|
|
||||
9. Найти циркуляцию векторного поля |
a - хV' i + 4j |
+ |
вдоль |
|||
кривой L; \у~ 2 sin Г; |
|
|
|
|
|
|
|
z-4. |
|
|
|
|
|
10. Найти циркуляцию векторного поля ау/ |
- х / + аДг (а - const) |
|||||
вдоль кривой L: х2 + у2 rr 1, г - 0 (в положительном направлении) по формуле Стокса,
Я
Задание 7.3. Показать, что векторное поле а потенциальное, и найти
его потенциал.
Варианты
1. а^(у + z)i + {x + z)j +(х 4-у)*.
2.а = xln(I 4- у2)] + (уха)/(1 +
3.а = yz/ 4- xz> + ху£.
4. a - 2xyi 4-(х2- 2yz)J -у2 *.
5.а-(х2-2yz)*' + (у2-2x2)} + (z2 -2xy)i.
6.а~ (Зу2 4-2ху 49у)/ + (9х + х2 4-бху)}.
7.а = 2х(у2 - 2х2)* + 2у(х2 - 2у2)} .
8.*x2i 4- } 4-ri.
9. a--yi |
~xj |
+z2k. |
|
|
10. а = (5x 4 2yz)/ 4- (-3y + 2xz)J 4- (-2z + 2xy)*. |
||||
Методические указания к решению задач но теме |
||||
"Векторный анализ" |
|
|||
Пример 7Л. Найти градиент скалярного поля и |
-zu наибольшую |
|||
скорость его возрастания в точке М(2; 2; 4). |
|
|||
Решение. Градиент скалярного поля определяется по формуле |
||||
, |
ди- |
ди~ |
диТ |
|
%pad и ~ — I -f — j + — к. |
|
|||
|
д х д у |
дх |
|
|
Наибольшая скорость возрастания поля в данной точке определяет-
сяпо формуле |
тах~~= |
\grad и\ . |
||
В нашем случае |
|
д\ |
|
|
ди |
|
|
|
|
|
= ух>~1\ |
= 4; |
||
|
дх |
|||
|
К |
|
|
|
|
ди| |
ху1пх\м |
= 4/л2; |
|
|
Ч |
|
||
|
|
|
|
|
|
ди |
- |
- L |
|
|
|
|
||
52
Поэтому |
gradu(A{a)~4i + 4bi2j |
к , а искомая наибольшая |
|
скорость возрастания поля |
|
|
|
тах~= |
\gradи(Мс)\~ |
=4\УТТбТп* 2 ^ |
|
Пример 7.2. Найти поток векторного поля а ~ (к + |
t ( z t у)к |
||
через внешнюю сторону замкнутой поверхности S: (У + у* ~ 9; ж ~ 0; ж =у (ж 20)1
Решение. Для вычисления потока через внешнюю сторону замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V, удобно применять теорему Остроградского
И (3, fi)ds = HI divadv.
|
|
|
|
S |
V |
Таккак |
dx |
= 1 |
; = |
1; ^ |
= 0 ,mo diva ^ 1 + 1 + 0 = 2 . |
|
- |
ду |
дж |
|
|
а поток векторного поля |
J~J -- 2||| dv. |
||||
|
|
|
|
|
v |
Здесь V -тело, ограниченное поверхностью S.
Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим
координатам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
\x~pcos(p; |
|
|
|
|||
|
<y~psin<p; |
|
|
|
|||
|
[Ж-Ж г |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
* |
3 |
|
рт* |
п |
3 |
|
|
|
||||||
] > 2|||^v ~ 2| J(pjpdp |
\tb-2\sinq>dq>\pl |
dp = |
|||||
V |
0 |
0 |
3 |
|
0 |
0 |
0 |
Л |
|
р |
. а |
7 =36. |
|
||
|
|
|
|||||
Icosifin |
— |
о |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Припер 7.3. Дано векторное поле |
a ~xi |
+ y7j -ж*к. |
|||||
Показать, что поле потенциальное, и найти его потенциал.
53