КР№3 НАША ПО МАТЕМАТИКЕ
.pdfСходящийся знакопеременный ряд (1.7) называется условно сходящимся, если ряд (1.8) расходится.
Ряд вида
|
( |
1) n 1 u |
n |
u |
u |
u |
u ... ( 1) n 1 u |
n |
... , |
(1.9) |
||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где un |
0, |
n 12,,... , называется знакочередующимся. |
|
|||||||||
|
Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда |
|||||||||||
(1.9) удовлетворяют условиям: |
|
|
|
|
||||||||
1) |
u1 u2 |
u3 ... |
|
un |
un 1 |
... , |
|
|
|
|
||
2) |
lim un |
|
0 ,то ряд (1.9) сходится. Сумма его положительна и не |
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
превосходит первого члена u1 .Остаток rk |
такого ряда имеет знак |
своего первого члена и не превосходит его по модулю: | rk | uk 1 .
Примеры. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:
а) |
sin1 |
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
sin 3 |
|
... |
|
sin n |
|
... ; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
22 |
|
32 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) 1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
_ |
|
1 |
... |
( |
|
1)n 1 |
|
1 |
; |
|
|
|
|||||||||||
23 |
|
|
|
43 |
63 |
|
(2n)3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) 1 |
1 |
|
|
|
1 |
... |
( 1) |
n 1 |
|
1 |
|
... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) Ряд из модулей |
| sin1| |
|
|
| sin 2| |
|
| sin 3| |
. . . |
| sin n| |
. . . схо- |
||||||||||||||||||||||
|
22 |
|
|
32 |
n2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
дится по признаку сравнения, так как его члены не превосходят
соответствующих членов сходящегося ряда |
1 |
. Следователь- |
|
n2 |
|||
n 1 |
|
но, исходный ряд сходится абсолютно.
б) Условия признака Лейбница здесь выполнены: ряд – зна-
кочередующийся, |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
, lim |
1 |
|
|
0, n |
12,, ... . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(2n) |
3 |
|
(2(n |
1)) |
3 |
(2n) |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
этот |
ряд |
сходится. |
Ряд |
из |
модулей |
|||||||||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
также сходится, то есть исходный ряд схо- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 (2n)3 |
|
8 n 1 n3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится абсолютно. Найдем сумму данного ряда с точностью 0,01. Для этого возьмем столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,01. Тогда остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет по модулю также меньше 0,01.Модуль
11
четвертого члена |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
0,01 |
, поэтому с точностью 0,01 име- |
|||||||||||||||
63 |
216 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ем: |
S 1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
57 |
|
0,89 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
3 |
|
43 |
|
8 |
64 |
|
64 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
в) Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку |
|||||||||||||||||||||||
Лейбница, так |
как |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
, n |
|
12,,3, ... , lim |
1 |
0 . Этот ряд |
|||||||||||
|
n n |
1 |
|
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||
сходится условно, так как ряд |
|
1 |
, составленный из модулей |
|||||||||||||||||||||
1 n |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
членов данного ряда, расходится (гармонический ряд).
1.4.Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды
Ряд вида u1(x) u2 (x) un (x) |
|
un (x) , членами |
|
n |
1 |
которого являются функции un (x) , называется функциональным.
Множество всех действительных значений аргумента x, для которых функциональный ряд
un (x ) |
(1.10) |
n 1
становится сходящимся числовым рядом, называется областью
сходимости |
этого |
ряда. Функция |
S (x ) lim S n (x ) , где |
|||
|
|
|
|
|
n |
|
S n (x) |
u1 (x) |
u2 (x) |
... un (x) , |
а x |
принадлежит |
области |
сходимости, |
называется |
суммой |
ряда, |
функция |
||
R n (x) |
S (x) |
S n (x) |
– остатком функционального ряда. |
Для определения области сходимости ряда (1.10) можно использовать известные признаки сходимости числовых рядов, считая x фиксированным.
Функциональный ряд (1.10) называется равномерно сходя-
щимся на промежутке p |
R, если для любого |
> 0 |
существует |
|||
номер n0, не зависящий от x, что для всех n > n0 |
и для всех x |
p |
||||
выполняется неравенство |
| R n (x )| , |
то есть | S (x) |
S n (x)| |
, |
||
где Rn(x) – остаток ряда. |
|
|
|
|
|
|
Признак Вейерштрасса. |
Если |
|un(x)| Cn, |
(n=1,2,...) |
при |
||
x [a; b] и числовой ряд |
C n |
сходится, то функциональный ряд |
n 1
(1.10) сходится на отрезке [a, b] абсолютно и равномерно.
12
|
Теорема 4. Если члены сходящегося ряда (1.10) имеют не- |
|
прерывные производные при |
x [a; b] и ряд из производных |
|
u' |
(x ) сходится равномерно на [a, b], то ряд (1.10) можно диф- |
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
ференцировать почленно: |
|
|
|
un (x) |
un (x), x [a, b] . |
|
n 1 |
n 1 |
Теорема 5. Если члены ряда (1.10) непрерывны на [a, b] и этот ряд сходится равномерно на отрезке [a, b], то ряд (1.10) можно интегрировать почленно:
b |
b |
un ( x) dx |
un ( x) dx . |
a n 1 |
n 1 a |
Степенным рядом называется функциональный ряд вида |
|
C n (x a) n C0 C1 (x a) C2 (x |
a)2 ... C n (x a) n ... ,(1.11) |
n 0
где Cn и a – действительные числа. Область сходимости степенного ряда (1.11) имеет один из следующих видов:
(a – R , a + R), [a – R , a + R), ( a – R , a + R], [a – R , a + R].
Число R называется радиусом сходимости, а интервал
(a - R , a + R) – интервалом сходимости степенного ряда (1.11).
Радиус сходимости можно находить по формулам:
R lim |
|
1 |
|
, R lim |
Cn |
, |
|
|
|
Cn 1 |
|||
|
|
|||||
n n | Cn | |
n |
|
||||
|
|
если эти пределы существуют. В частных случаях R может быть равен 0 или .
Вопрос о сходимости степенного ряда (1.11) в концевых точках области сходимости, то есть при x = a – R, x = a + R, исследуется особо (с применением известных признаков сходимости числовых рядов).
Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же радиус и интервал сходимости, и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.
|
|
1 |
n |
|
Пример 1. Найти область сходимости ряда |
1 |
|
2 nx . |
|
n |
||||
|
n 1 |
|
Решение. При фиксированном x этот ряд – знакоположи-
13
тельный. Применим |
к нему |
признак |
Коши. |
Найдем |
предел |
|||||
|
|
|
1 |
2 x |
2 x ; l<1 |
|
2x < 1, |
|
||
l lim n un (x ) |
lim 1 |
– при |
т.е. при |
|||||||
|
|
|||||||||
|
n |
|||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
x < 0. При l = 1, т.е. при x = 0 данный функциональный ряд станет
|
|
1 |
n |
1 |
n |
|
|
рядом |
1 |
|
. Общий член ряда 1 |
|
при n |
стремится |
|
n |
n |
||||||
|
n 1 |
|
|
|
к числу e, и поэтому ряд расходится (не выполнен необходимый
признак |
сходимости). Итак, |
область сходимости данного |
ряда |
||
(– , 0). |
|
|
|
||
|
Пример 2. Можно ли |
почленно дифференцировать |
ряд |
||
|
sin x |
|
в области его сходимости? |
|
|
n 1 n4 |
|
||||
|
|
|
Решение. Областью сходимости данного ряда является вся числовая ось R=(– , + ), так как для любого x R верно неравен-
ство |
sin nx |
|
|
1 |
, а ряд |
|
1 |
|
сходится. Члены исходного ряда |
|||||||||||||||
|
n4 |
|
|
|
n4 |
n 1 |
|
n4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
имеют непрерывные производные |
sin nx |
|
n cos nx |
|
cos nx |
, |
||||||||||||||||||
n4 |
|
|
|
n4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|||
ряд из производных |
cos nx |
|
сходится равномерно на R по при- |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знаку |
Вейерштрасса. |
Действительно, |
|
|
верны неравенства |
|||||||||||||||||||
|
cos nx |
|
1 |
, |
n |
12,, . . . , |
x |
R , а ряд |
1 |
сходится. По теоре- |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n3 |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n3 |
|
|
|
|
|
ме 4 исходный ряд можно почленно дифференцировать в области R его сходимости, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
sin nx |
|
|
|
|
|
sin nx |
, x |
|
R . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n4 |
|
|
|
|
n 1 |
n4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 3. |
Найти |
|
область |
сходимости |
степенного |
ряда |
|||||||||||||||||
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Находим |
|
|
|
|
радиус |
|
|
сходимости |
ряда. |
||||||||||||||
Cn |
1 |
, Cn 1 |
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R |
lim |
C n |
|
lim |
|
1 |
: |
|
1 |
|
|
lim 1 |
1 |
1 |
. Это означает, что |
|||||||||
C n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
n n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исходный ряд сходится абсолютно при 1 x 1 . Далее, иссле-
14
дуем сходимость ряда при x = 1. Если x = 1, то данный ряд ста-
новится |
|
гармоническим |
рядом |
|
1 |
, который расходится. |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
Если |
|
|
x = –1, |
то |
|
получаем |
знакочередующийся |
ряд |
||||
1 |
1 |
|
1 |
... ( 1) |
n 1 |
... , который сходится по признаку Лейб- |
||||||
2 |
|
3 |
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ница. Следовательно, областью сходимости ряда является полу-
интервал [–1, 1). При |
1 |
x |
1 ряд сходится абсолютно, при |
|||||
x 1 – условно. |
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4. Найти сумму ряда |
||||||||
|
x3 |
x4 |
x5 |
|
x6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
... (| x | 1) . |
3 |
|
4 |
|
5 |
6 |
|||
|
|
|
Решение. Обозначим искомую сумму ряда через S(x), т.е.
|
x 3 |
|
x 4 |
|
x 5 |
|
x 6 |
|
|||
S (x ) |
|
|
|
|
|
|
|
. . . . |
|
(1.12) |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
1 сходится аб- |
||||||||||
Можно проверить, что исходный ряд при |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
солютно. Дифференцируем почленно равенство (1.12):
S (x ) x 2 x 3 x 4 x 5 . . . |
|
x 2 |
|
|
|
, | x | 1 |
|
|
|
||
1 |
x |
(применена формула суммы членов убывающей геометрической прогрессии). Отсюда, интегрируя и учитывая, что S(0)=0, находим
|
|
|
x |
|
x |
t 2 |
|
x |
|
1 |
|
|
|||
S(x) |
0 S (t)dt |
0 |
|
dt |
|
t 1 |
|
|
dt |
|
|||||
1 t |
0 |
t 1 |
|
||||||||||||
|
x2 |
|
x ln | 1 |
|
x |, | x | 1. |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5. Найти сумму ряда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2x2 |
3x3 |
|
4x4 |
5x5 |
...,| x | |
1 . |
|
|
||||
Решение. |
Обозначим |
эту |
|
сумму ряда через S(x), т.е. |
|||||||||||
S(x) 2x2 3x3 |
4x4 |
5x5 .... |
Данное равенство |
перепишем |
|||||||||||
так: S(x)=x Q(x), |
где |
Q(x) |
2x |
3x 2 |
4x 3 |
5x 4 ... . |
Почленное |
интегрирование последнего равенства приводит к сумме членов убывающей геометрической прогрессии:
x |
x |
x |
|
x |
|
|
x |
Q(t)dt |
2tdt |
3t 2dt |
|
|
4t3dt |
5t 4dt ... |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
x2 x3 |
x4 |
x5 ... |
|
x2 |
|
||
|
|
|
, | x | |
1. |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
x |
|
||
|
|
15 |
|
|
|
|
|
Отсюда найдем Q(x): Q(x ) |
|
x 2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
, поэтому |
1 x |
|
(x |
1)2 |
|
||||||
искомая сумма S(x) такова: S (x ) |
x Q(x ) |
x |
|
|
x |
|
||||
|
|
. |
|
|||||||
(x |
1)2 |
|
1.5. Разложение функции в ряд Тейлора
Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки x=a, то для нее можно написать ряд по степеням (x–a):
f (x ) |
f (a) |
|
f (a) |
(x a) |
f (a) |
(x a)2 ... |
f ( n) (a) |
(x a) n ... |
||
1! |
2! |
n! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f ( n) (a) |
(x a) n . |
|
|
|
|
|||
n 0 |
n! |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Этот ряд называется рядом Тейлора функции f(x) в точке
x=a.
Теорема 6. Если функция f(x) и все ее производные ограничены на интервале (a–R, a+R) одним и тем же числом, т.е. существует постоянная M>0 такая, что выполняется неравенство
f (n) (x) M , x (a R, a R), n 0,1,2,... , то функция f(x) пред-
ставляется сходящимся к ней рядом Тейлора:
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
f (n) (a) |
(x |
a)n , x |
(a |
|
R, a |
R) . |
(1.13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Равенство (1.13) |
верно и в случае, когда остаточный член |
||||||||||||||||||||
ряда Тейлора R |
|
(x) |
|
f (x) |
|
n |
f ( k ) (a) |
(x |
a) k стремится к нулю |
||||||||||||
n |
|
|
|
|
k ! |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
при n |
. Остаточный член Rn(x) можно вычислить по формуле: |
||||||||||||||||||||
|
Rn (x ) |
|
|
(x |
|
|
a)n 1 |
f |
( n 1) |
[a |
(x |
a)], 0 |
1 . |
(1.14) |
|||||||
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если lim R n (x ) |
0 , то ряд не сходится к данной функции. |
||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в ряде Тейлора положим a=0, получим частный случай |
|||||||||||||||||||||
ряда |
Тейлора, |
|
|
который |
|
|
называют |
|
рядом |
Маклорена: |
|||||||||||
f (x ) |
f (0) f |
(0) |
|
x |
|
|
f (0) |
x 2 |
|
. . . |
f ( n) (0) |
x n .. . . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:
16
e x |
1 |
|
x |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
... |
|
|
|
x n |
|
|
|
... ( x |
|
|
|
R); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sin x |
|
x |
|
|
x |
3 |
|
|
... |
|
|
( |
|
1)n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
... ( x R); |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n |
|
|
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos x |
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
x 4 |
|
... |
|
|
|
( |
|
|
1)n |
|
|
x |
2n |
|
|
|
... ( x R); |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(1 |
|
|
x)m |
|
1 |
|
|
mx |
|
|
|
|
m(m |
|
|
|
1) |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
m(m |
|
|
1)(m |
2) |
x 3 ... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
m(m |
1)...( m |
|
|
|
|
|
n |
1) |
|
x n |
|
|
|
|
... (| x | |
1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln(1 |
x ) |
|
|
x |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
. . . ( 1) |
n |
1 |
|
|
x n |
|
. . . |
|
(| x | |
1) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 1. Разложить |
|
|
|
|
функцию |
|
|
|
f (x ) |
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
в ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тейлора в окрестности точки x=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. Имеем |
|
|
|
f (0) |
|
|
|
|
|
sin |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
Вычисляем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f (x) |
cos |
|
x |
|
|
|
, |
т.е. |
|
f |
(0) |
|
|
|
cos |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. Далее после- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
довательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(0) |
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f IV (0) |
|
|
sin |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отметим, что |
|
f ( n) (0) |
( |
1) |
|
|
2 |
|
|
|
|
. Записываем ряд Тейлора: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
x4 |
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 n |
|
|
xn |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
( |
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
... . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. Разложить функцию |
|
|
f (x ) |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
x 2 |
в ряд по сте- |
пеням x, используя разложения основных элементарных функций.
17
Воспользуемся приведенным выше биномиальным разложением
(1 x) |
m |
1 mx |
|
m(m 1) |
x |
2 |
|
m(m 1)(m |
2) |
x |
3 |
... . |
(1.15) |
|
|
|||
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Преобразуем |
исходную |
|
функцию: |
9 x |
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
9 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в формулу (1.15) m 12 , а вместо x выражение
x 2
9
. Получим следующее разложение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
9 |
x2 |
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
|
|
1 ... |
1 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
3 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
2 9 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
x4 |
1 |
3 |
x6 |
|
|
1 |
3 5... |
(2n 3) |
|
x2n ... . |
|||||||||||||||
222!92 |
233!93 |
|
|
|
|
2n n!9n |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Разложение имеет место при |
|
x 2 |
|
|
1 , т.е. при |x|<3. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях
1. Приближенное вычисление значений функций
Пусть функция f(x) в окрестности точки a разлагается в ряд Тейлора. Тогда приближенное значение функции f(x) в любой точке этой окрестности может быть вычислено как частичная сумма этого ряда.
Пример 1. Вычислить 3 130 с точностью до 0,001.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
Решение. |
3 |
130 3 125 5 |
|
3 125 1 |
5 1 |
. Вос- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
25 |
25 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пользуемся |
|
биномиальным |
|
рядом |
(1.15) |
|
|
при |
|||||||||||
m |
1 |
, x |
1 |
|
( |
|
1,1) . Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
3 130 |
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
25 |
|
|
|
2! |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
25 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5 1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
5 |
|
1 |
|
1 |
|
... |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
25 |
|
|
3 |
|
3 |
2! |
252 |
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
3! |
253 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5,0000 |
0,0667 |
0,0009 ... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Третий член по модулю меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. С указанной точностью получим
3130 5,0000 0,0667 5,067 .
|
Пример 2. Вычислить e0,1 |
|
с точностью до 0,001. |
||||||||||||||
|
Решение. Воспользуемся разложением |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ex |
|
|
x 2 |
x 3 |
|
x n |
||||||
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
R n , |
|||
|
|
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|||||
где |
R n |
x n 1 |
|
e x , 0 |
1, |
|
x |
|
R . При x=0,1 получаем: |
||||||||
(n 1) ! |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e0,1 |
1 01, |
|
(01,) 2 |
|
(01,) |
3 |
. . . |
|
(01,) n |
|
. . . . |
Определим, сколько |
|||||
2! |
|
3! |
|
|
n! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
надо слагаемых для достижения требуемой точности. Так как
0,1 |
[0,0,5], |
|
|
|
|
|
|
то |
0 |
|
x |
0,5 . |
|
Тогда |
e x |
e0,5 |
2 ; |
|||||||||||||||||||||
R n |
|
x n 1 |
|
|
e x |
|
|
|
2x n 1 |
. |
При |
x=0,1 |
имеем |
неравенство: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(n |
1) ! |
|
|
|
|
|
(n |
1) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
(01,) n |
1 |
|
|
0,001. Полагая n=2, получим |
2 0,001 |
0,0003 |
0,001 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
(n |
1) ! |
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
достаточно |
|
|
|
взять |
|
|
три |
слагаемых: |
|||||||||||||||||||||
e0,1 |
1 |
|
0,1 |
(0,1) |
2 |
|
|
|
1,105 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить ln2 с точностью до 10 5 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Применим разложение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ln |
1 |
|
x |
2 |
x |
|
x3 |
|
|
|
|
x5 |
x7 |
... . |
Этот |
|
ряд сходится |
при |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
x |
3 |
5 |
|
|
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
(–1,1). Если |
|
1 |
|
x |
|
2 , то x=1/3. Возьмем n-ю частичную сумму |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln 2 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
... |
1 |
|
|
1 |
|
. Погрешность этого |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
33 |
5 |
33 |
|
2n |
1 |
32n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенства выражается остатком ряда
Rn |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
... |
. Для его оценки все |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2n 3 32n 3 |
|
2n 5 |
|
32n 5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
множители в знаменателях, стоящие перед степенью 3, заменим на 2n+3. Получим
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
... |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(2n 3)32n 3 |
32 |
|
|
|
34 |
|
(2n 3)32n 3 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
Решая неравенство |
|
|
1 |
|
10 |
5 , нахо- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4(2n |
3)32n 1 |
4(2n |
3)32n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
дим, что n=4: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0,000001 |
10 5 . Итак, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 11 39 |
|
|
|
866052 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln 2 |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
3 |
|
33 |
|
5 |
|
35 |
|
|
|
7 |
|
37 |
|
9 |
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0,666667 |
0,024691 |
|
0,001646 |
|
0,000131 |
0,000011 |
0,69315 . |
|
|
2. Приближенное вычисление определенных интегралов
Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, то соответствующий определенный интеграл можно вычислить с заданной точностью.
|
Пример 4. Вычислить интеграл |
1/4 sin x |
|
dx |
с точностью до |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,00001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. |
Разделив почленно ряд для sin x на x, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
x 3 |
|
|
|
x 5 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin x |
|
|
3! |
|
|
|
|
5! |
1 |
|
x 2 |
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
x |
6 |
|
|
... . Этот ряд сходит- |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
5! |
|
7! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ся при |
x |
R. Интегрируем его почленно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1/ 4 sin x |
dx |
1/ 4 |
|
1 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
x 6 |
|
... |
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
3! |
|
|
5! |
|
|
|
|
7! |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3! |
5 |
5! |
|
7 |
7! |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
... |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
3! |
|
43 |
|
5 |
5! |
45 |
|
|
7 |
|
7! |
|
47 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,25000 |
|
|
0,00087 |
|
|
|
|
0,0000016 .... |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|