Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КР№3 НАША ПО МАТЕМАТИКЕ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет

Кафедра высшей математики № 1

МАТЕМАТИКА

Контрольная работа № 3 для студентов инженерно-технических специальностей заочной формы обучения.

Методические указания и индивидуальные задания

Учебное электронное издание

М и н с к Б Н Т У

2 0 1 1

УДК 512.64 (075.8) ББК 22.1я7 М 93

С о с т а в и т е л и :

А.Н. Андриянчик, В.А. Казакевич, Н.А. Микулик, Л.А. Раевская, В.И. Юринок, Т.С. Яцкевич

Р е ц е н з е н т ы :

А.Н. Исаченко, М.Н. Покатилова

Настоящие методические указания и контрольные задания предназначены для студентов-заочников второго курса инженернотехнических специальностей БНТУ.

Издание содержит программу по высшей математике, перечень рекомендуемой литературы, основные понятия по теории курса высшей математики, типовые примеры и контрольные задания.

Студент должен изучить теоретический материал по учебнику, разобрать приведенные образцы решения типовых примеров и задач, а затем выполнить контрольные задания, соответствующие номеру его варианта. Номер варианта определяется двумя последними цифрами шифра зачетной книжки, если это число не больше 30. Если номер шифра больше 30, следует от него отнять число, кратное 30. В каждом из семи заданий нужно выполнить номер, соответствующий номеру варианта.

Например, если шифр содержит две последние цифры 62,

номерами этого варианта будут 1.2; 2.2; 3.2; 4.2; 5.2; 6.2; 7.2.

Белорусский национальный технический университет пр.Независимости, 65, г. Минск, Беларусь тел. (017) 292-77-52 факс (017) 292-91-37

Регистрационный № БНТУ/ФИТР48-4.2011

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРОГРАММА.................................................................................	4
1. РЯДЫ...............................................................................................	5
1.1. Числовые ряды. Основные определения.
Признаки сравнения ................................................................	5
1.2. Достаточные признаки сходимости рядов
с положительными членами ...................................................	8
1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
сходимость. Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница.................................................................	10
1.4. Функциональные ряды. Область сходимости
функционального ряда. Степенные ряды ............................	12
1.5. Разложение функции в ряд Тейлора ....................................	16
1.6. Применение степенных рядов
в приближенных вычислениях .............................................	18
1.7. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке длиной 2 ...........	22
1.8. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке длиной 2l ..........	27
2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕНЫХ ..............................	28
2.1. Определенный интеграл по фигуре.
Основные понятия и свойства ..............................................	28
2.2. Вычисление двойных и тройных интегралов
в декартовых координатах....................................................	30
2.3. Замена переменных в кратном интеграле............................	36
2.4. Криволинейные интегралы I и II рода .................................	42
2.5. Поверхностные интегралы I и II рода..................................	43
2.6. Вычисление криволинейных интегралов I и II рода...........	45
2.7. Вычисление поверхностных интегралов I и II рода.
Связь между ними .................................................................	47
2.8. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса ..............	49
3. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ .................	53
3.1. Оригинал и его изображения ................................................	53
3.2. Основные теоремы операционного исчисления .................	55
3.3. Отыскание оригинала по изображению...............................	56
3.4. Решение дифференциальных уравнений
и систем дифференциальных уравнений
операционным методом........................................................	59
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 ...................................................	61
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА .........................................	72

ПРОГРАММА

Ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.

Применение рядов к приближенным вычислениям.

Ряды Фурье по тригонометрическим системам. Разложение функций в ряды Фурье. Условия поточечной сходимости и сходимости в среднем. Применение рядов Фурье.

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Определенный интеграл по фигуре, его механический смысл. Свойства интегралов по фигуре.

Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием. Замена переменных в кратных интегралах.

Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов I и II рода, их приложения. Формулы Грина, Стокса, Остроградско- го-Гаусса.

Элементы операционного исчисления

Преобразование Лапласа. Теорема существования и единственности. Класс оригиналов и класс изображений.

Основные теоремы операционного исчисления. Определение оригинала по изображению с помощью таблиц

и второй теоремы разложения.

Решение линейных дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

1.РЯДЫ

1.1.Числовые ряды. Основные определения.

Признаки сравнения

Выражение

u1 u2 ... un ...	un ,	(1.1)
	n 1

где ( un ) – последовательность чисел, называется числовым ря-

дом, числа		u1 , u2 ,..., un , –	членами ряда,			un –	общим членом
ряда.
Суммы
S1	u1,	S2 u1 u2 , ... ,	Sn	u1	u2 ...	un ,	...	(1.2)
называются частичными суммами ряда (1.1).
Если существует конечный предел
		lim S n		S ,
		n
то ряд (1.1) называется сходящимся, а число S – его суммой. Если
же lim S n	не существует или lim S n =				, то ряд называется расхо-
n			n

дящимся.

Если в ряде отбросить первые k членов, то получится ряд

rk=	un uk 1 uk 2 ... ,
n k	1

называемый k-м остатком ряда (1.1).

Необходимый признак сходимости. Если ряд (1.1) сходит-

ся, то

		lim un 0 .	(1.3)
		n
Следствие. Если lim un			0 , то ряд (1.1) расходится.
		n
Ряд	1	называется	гармоническим рядом. Для него

	n 1 n
	n 1 n
lim un	0 , но ряд расходится.
n

Признаки сравнения. Рассмотрим числовые ряды с неотрицательными членами

	un ;	(1.4)
n	1
	vn .	(1.5)
n	1

Теорема 1. Признак сравнения. Если, начиная с некоторого

номера, выполняются неравенства 0 un vn , то из сходимости

ряда (1.5) следует сходимость ряда (1.4), а из расходимости ряда (1.4) следует расходимость ряда (1.5).

Теорема 2. Предельный	признак	сравнения.	Если
un 0, vn 0 для всех n	n0 и существует конечный		предел

	lim		un				l	0 , то ряды (1.4) и (1.5) сходятся или расходятся од-
	lim		vn				l	0 , то ряды (1.4) и (1.5) сходятся или расходятся од-
	n		vn
	n
новременно.
				Замечание. При использовании признаков сравнения часто
применяется ряд																				1		, сходящийся при p > 1 и расходящийся
применяется ряд																n	1			n p		, сходящийся при p > 1 и расходящийся
																n	1			n p
при p						1 и ряд											aq n-1 , сходящийся при												q		1 и расходящийся
при p						1 и ряд											aq n-1 , сходящийся при												q		1 и расходящийся
														n	1
					1 .
при				q	1 .
				Примеры. Исследовать на сходимость ряды и в случае схо-
димости найти сумму ряда.
		1.						1					.

						n	1	3 n		1
				Решение. Данный ряд – геометрическая прогрессия со зна-
																											1	1			n

менателем								q				1			. Следовательно,											S n		3				, S lim S n			3	,
												1																3							3
										3																		1						2
										3																	1	1					n	2

																												3
																												3
ряд сходится.
		2.								1							.

						n 1		4n(n							1)
				Решение. Так														как					дробь			1			представима в					виде

																									4n(n		1)
																									4n(n		1)
		1						1		1							1				, то частичная сумма ряда имеет вид:

	4n(n				1)			4			n					n	1
				S n				1							1				. ..			1					1

							4 2 8 3																4n(n 1) 4n(n 1)
							4 2 8 3																4n(n 1) 4n(n 1)
					1		1			1							1		1			. ..		1			1	1			1

					4					2							2		3					n		1	n			n		n 1
					4					2							2		3					n		1	n			n		n 1
					1		1			1					.
							1								.
					4				n 1
																								6

Следовательно, lim S n	1	lim 1	1	1	, ряд сходится и

n	4 n		n 1	4

его сумма равна 1/4.

3. 2 + 5 + 8 + 11 + ....

Решение. Данный ряд – сумма членов арифметической прогрессии с разностью d = 3, поэтому

S n	2a1	d(n 1)	n		4 3(n 1)	n	(1 3n)n	,
		2		2			2

lim Sn		(1 3n)n		, ряд расходится.

		2
n

Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда. В случае выполнения установить, сходится ли ряд с помощью признака сравнения.

4. 2	3	4	... .

	2	3
	2	3
Решение.		lim un		lim	n	1	1 0 , т.е.
Решение.		lim un		lim		n	1 0 , т.е.
		n		n		n

знак не выполняется, ряд расходится.

5.	1	1		...			1		... .

	ln 2		ln 3			ln(n 1)

Решение. lim un					lim		1			0 , т.е.

								ln(n	1)
			n		n

необходимый при-

знак выполняется. Исследуем сходимость данного ряда с помощью признака сравнения (теорема 1). Рассмотрим расходящийся

ряд

Так как

(ln n n) ,

то исходный

n 1

ln(n

ряд расходится.

n 1

(2n 1)22n 1

Решение.

lim un

lim

0 . Рассмотрим сходя-

(2n

1)22n

щийся ряд

– сумму членов геометрической прогрессии

n 1

22 n

со

знаменателем

1 .

Так как

, то по

(2n 1)22n 1

22n 1

теореме 1 исходный ряд сходится.

n 1

n 4

Решение. lim un

lim

0 .

Рассмотрим

сходящийся

ряд

( p

3 1) и применим предельный признак сравнения

n 1 n3

(теорема 2): lim

lim

n 4

1 0 . Сле-

1 n

довательно, данный ряд сходится.

1.2.Достаточные признаки сходимости рядов

сположительными членами

Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

1. Признак Даламбера. Если для ряда

un (un 0, n 12,,3, ... )

(1.6)

n 1

существует	lim	un	1	l , то при l < 1 ряд (1.6) сходится, при l > 1
		un
	n

– расходится. При l = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряды с помощью признака Даламбера:

. . .

. . . ;

3 n

б)

1 2 1 2 3

. ..

.. . .

102

103

10n

Решение.

; un 1

. Так как

3 n

lim

un 1

lim

(n 1)3n

lim

n 1 1

1 , то ряд сходится.

n 1

б) un

; u n 1

(n 1) !

;

10 n

10 n 1

lim	un 1	lim	(n 1) !10 n		lim	n	1	. Так как l = , то данный
	un		n!10	n 1		10
n		n			n

ряд расходится.

2. Радикальный признак Коши. Если для знакоположитель-

ного ряда (1.6) существует предел lim n u	n	q , то при q < 1 ряд
n	n
n

сходится, при q > 1 – расходится. При q = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример 2. Исследовать сходимость рядов с помощью радикального признака Коши:

a)	1		2		2			3			3 ...								n			n	... ;
a)	5	9					13				3 ...							4n			1		... ;
	5	9					13											4n			1
б)	1	2		1			3			4			1				4		9		...		1			n	1	n2 . .. .
б)	2	2		22			2					23				3					...		2n			n		n2 . .. .
	2			22			2					23				3							2n			n
		Решение.

															n				n						n		1
а) Так как q							lim n								n							lim			n		1		1	, то ряд схо-

														4n		1								4n 1			4
							n							4n		1						n		4n 1			4
дится.
б) в этом случае

q	lim n				1		n			1		n2				lim				1		n	1		n		1	lim 1			1 n	e	1.
q	lim n					n										lim												lim 1					1.
	n			2		n			n							n			2			n					2 n				n	2
	n															n

Следовательно, ряд расходится.

3. Интегральный признак Коши. Пусть f(x) – непрерывная,

положительная и монотонно убывающая функция, определенная

при x 1. Тогда ряд

и несобственный интеграл

f (x ) dx

n 1

сходятся или расходятся одновременно, где f(n)

un .

Пример 3. Исследовать сходимость рядов с помощью инте-

грального признака Коши:

. . .

;

2 p

3 p

n p

б)

...

... .

2 ln 2 2

3 ln 2 3

4 ln 2 4

(n 1) ln 2 (n

Решение.

a) Исследуемый ряд –

. Здесь f (n)

. Если p

1, то

n 1

n p

lim

b dx

lim

x p

lim

p 1

x p

p 1

если

lim

b p

1 b

если

т.е. интеграл сходится при p > 1 и расходится при p < 1. Соответ-

ственно и ряд

сходится, если p > 1 и расходится, если

n 1 n p

p < 1. При p

1 имеем

lim

lim (ln b

ln 1)

т.е. интеграл расходится. Следовательно, расходится ряд

n 1

б) Исследуемый ряд –

. Здесь

n 1

1) ln 2 (n

f (n)

. Рассмотрим

(n 1) ln 2 (n

d (ln( x

1))

lim

1 (x

1) ln

ln( x 1)

lim

ln(b

ln 2

Следовательно, данный ряд сходится.

1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Ряд	un	(1.7)
	n 1

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Теорема 3. Достаточный признак сходимости ряда (1.7).

Если ряд	\| un \| ,	(1.8)
	n 1

составленный из модулей членов ряда (1.7), сходится, то ряд (1.7) также сходится.

Ряд (1.7) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (1.8).

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.08.20198.02 Mб74Краткий конспект по Промышленным зданием.doc
#
20.11.201866.05 Кб14Кризис. псих.doc
#
31.05.20152.44 Mб165Круглов В.А.весь.doc
#
26.03.201636.97 Mб593КРУПНОЭЛЕМЕНТНОЕ И МОНОЛИТНОЕ ДОМОСТРОЕНИЕ.docx
#
26.09.20192.43 Mб11КРЭА шпорки1-40.docx
#
31.05.20152.37 Mб8КР№3 НАША ПО МАТЕМАТИКЕ.pdf
#
22.11.20191.79 Mб2КС Word.doc
#
10.07.2019261.12 Кб19КТП 12 кл.2010.doc
#
18.11.2018156.16 Кб8КУЛЬТУРА БЕЛАРУСІ XIX - пачатку XX стст..doc
#
18.11.2018144.38 Кб6КУЛЬТУРА БЕЛАРУСІ XIX - пачатку XX стст..doc
#
23.11.20192.12 Mб15Культура Беларусі.rtf

КР№3 НАША ПО МАТЕМАТИКЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ