Термех__109_теор механика_Тарг

Рис. Д5.7

Рис. Д5.7а

Рис. Д5.8

Рис. Д5.8а

Рис. Д5.9

Рис. Д5.9а

АВ в точке С, начинает двигаться по желобу

(под действием

внутрен-

них сил)

по закону s = CD =

F(t).

(s — в метрах,

t — в секундах), М = kt, где

k

= 6 Н-м/с.

О п р е -

д е л и т ь :

о) =

f(t) — закон

изменения угловой

скорости платформы.

кинетического момента системы относительно оси г:

АКг

= 2 т г ( Й ;

( 1 )

dt

/2 + С,

(3)

K , = Ki" + K ? ,

(4)

Так как платформа вращается вокруг оси г,

то

К"" = /г<о.

Значение

/г

найдем

по

теореме

Гюйгенса:

/2 = / С г . + т , - ( О С ) 2 =

= Icz'+mil 2

(Icz— момент

инерции

относительно оси г',

параллельной

оси г и проходящей через центр С платформы).

Но, как

известно,

Icz'=

т,[(2/)2 +

/2]/12 =

5т,/ 2 /12 .

Тогда

/ 2 =

5m,/2 /12 +

m , / 2 =

17m,/2 /12.

Следовательно,

Kz° = (17mi/2/12)co .

(5)

Для

определения

обратимся к

рис.

Д5, б

и

рассмотрим

движение

груза D как

сложное,

считая

его движение

по

платформе

движением. Тогда

абсолютная скорость

груза

v = уотн + улер. Так как

груз D

движется

по

закону s = CD =

0,4t2, то

иот„ =

s =

0,81; изоб-

ражаем

вектор v0TH на

рис. Д5, б с учетом знака

s

(при

s < 0

направле-

изображаем

вектор vnc?(vne? ±

OD)\

численно f „ер =

ш-OD.

Тогда,

по

теореме

Вариньона,

/С? =

mz{m2v)

= тг(т2иоп)

+ тг (т2 о„еР ) =

— m2v01„- ОС + m2v„e?-OD

=

=

— т2 -0,8// +

m2<o{OD)2.

(6)

Но на рис. Д5, б видно, что OD2 =

C-\-s2 =

/2 +

0,1бг4. Подставляя

эту величину

в равенство (6), а затем

значения

К?

и К"" из

(6) и

(5)

в равенство

(4), получим с учетом данных

задачи

Кг = - jj - m,/ 2 0) + т2ш(12 +

0,16/") -

т2(0,8/)/

=

= ( 8 , 1 7 + 1 , 6 / > - 4 / .

(7)

Тогда уравнение (3),

где

k =

6, примет

вид

(8,17+ 1 , 6 / > - 4 / =

— З/2 +

С, .

(8)

Постоянную

интегрирования

определяем

по

начальным условиям: при

/ = 0,

ш = too. Получим

Ci =

8,17соо =

16,34. При

этом

значении

Ci

из уравнения (8) находим искомую

зависимость

и

от

t. О т в е т :

<о= (16,34 +

4/ — З/2 )/(8,17 +

1,6/4),

где t — в

секундах, <о — в

с - 1 .

Задача

Д6

Механическая система состоит из грузов /

и

2,

ступенчатого

шкива

3

с

радиусами

ступеней

R3

=

0,3

м, г 3 =

0,1

м

и

радиусом

инерции

относительно

оси

вращения

рз =

0,2

м,

блока

4 радиуса

Т а б л и ц а

Д 6

Номер

( П | , кг

т 3 , кг

m-t,

тъ.

с, Н/м М, Н • N

F=f(s), Н

Найти

усло-

К Г

кг

кг

вия

0

0

6

4

0

5

200

1 , 2

80(4 - f

5s)

( 0 3

1

8

0

0

4

6

320

0,8

50(8 + 3 s )

f

i

2

0

4

6

0

5

240

1,4

60(6 +

5s)

v2

3

0

6

0

5

4

300

1,8

80(5 +

6s)

0 ) 4

4

5

0

4

0

6

240

1,2

40(9 +

4s)

5

0

5

0

6

4

200

1,6

50(7 +

8s)

f C 5

6

8

0

5

0

6

280

0,8

40(8 +

9s)

0 ) 3

7

0

4

0

6

5

300

1,5

60(8 +

5s)

V2

8

4

0

0

5

6

320

1,4

50(9 +

2s)

0)4

9

0

5

6

0

4

280

1,6

80(6 +

7s)

Vcb

Рис. Д 6 . 0

Рис. Д6.1

Рис. Д 6 . 2

Рис. Д 6 . 3

Рис. Д6.4

Рис. Д6.5

= 0,2 м и катка

(или подвижного блока) 5 (рис. Дб.О —

Д6.9, табл. Д6); тело

5 считать сплошным однородным цилиндром,

гом

нитями,

перекинутыми через

блоки и намотанными на шкив 3

(или

на шкив

и каток); участки

нитей параллельны соответствующим

Под действием силы F = f(s),

зависящей от

перемещения

s точки

ее приложения, система приходит

в движение

из состояния

покоя;

когда перемещение s станет равным si = 0,2 м. Искомая

величина

указана

в столбце

«Найти»

таблицы, где обозначено: vi, а2, исъ — ско-

рости грузов 1,2

и центра масс

тела 5 соответственно, соз и w4 —

угловые скорости тел 3 и 4.

Все

катки, включая и

катки,

обмотанные

нитями (как,

например,

каток 5

на рис. 2), катятся

по плоскостям без

скольжения.

Д а н о :

mi = 8

кг,

т2 =

0, Шз = 4

кг, т 4 = 0, т$ =* 10

кг,

/?3

=

=

0,3 м, гз =

0,1 м, рз =

0,2 м, f = 0,1, с =

240 Н/м, М =

0,6 Н-м,

F

=

=

20(3 +

2s) Н, si =

0,2

м. О п р е д е л и т

ь: ы3 в тот момент

времени,

когда s =

s1.

Решение.

1. Рассмотрим

движение

неизменяемой

механической

системы, состоящей

из весомых тел 1, 3,

5

и невесомых тел 2,

4, соеди-

активные F, Fy„p, Pi, Р3 , Ръ, реакции

Ni, JV3, JV4, N6,

натяжение нити St,

силы трения FP, Fl? и момент М.

Для определения <о3 воспользуемся теоремой об изменении кине-

тической энергии:

Г - Г „ =

2Л1 .

(1)

системы:

Т=Т,+Т3

+ Т5.

(2)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело

5 —

поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной

оси, получим

Ti = -j^-mi »сН—

Тз =

=

.

(3)

Все входящие сюда скорости надо выразить

через искомую <о3.

Для этого предварительно заметим, что

vc i =

г/5 =

где Л — любая

точка обода радиуса гз шкива 3 и что

точка

Кi — мгновенный

центр

скоростей катка 1, радиус которого обозначим г\. Тогда

vcI = Vb — а>зГз; wi =

"С1

=

ИС1

=

<о3

Гз

.

(4)

,. „

г1

п

AiCi

v

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

Ici — 0,5т|Г|

; /3

= т3р3.

(5)

Подставив все величины (4) и (5) в равенства

(3), а затем, исполь-

зуя равенство (2),

получим окончательно

^ =

( ^ m i r f + - i - m 3 p i + - i - m 5 r l ) < o I .

(6)

3. Теперь найдем

сумму

работ

всех действующих

внешних

сил

при перемещении, которое будет иметь система, когда

центр

катка

/

пройдет

путь sj. Введя обозначения:

— перемещение

груза

5 (ss

=

= Si),

фз — угол

поворота шкива

3,

Хо и Xi — начальное и

конечное

удлинения пружины, получим

St

A(F)

= J 20(3 +

2s)ds = 20(35, +

s?);

о

A(px ) =

P l S l S i n 6 0 ° ;

A(M) =

—Л1фз;

Работы остальных сил равны нулю, так как точки Ki

и Кг, где при-

ложены

силы N1,

FIP

и § 2 — мгновенные центры

скоростей; точки,

где

приложены силы

Рз, Мз и Р4 — неподвижны;

а

реакция

N& перпенди-

кулярна перемещению

груза.

По условиям

задачи, Х0 =

0. Тогда

Л] =

sE,

где sE — перемещение

точки Е

(конца пружины). Величины sE

и фз надо выразить через задан-

ниями

здесь такая

же, как

и между соответствующими

скоростями.

Тогда

так как шз =

va/гз =

vCiЛз (равенство

vci

— vA

уже отмеча-

лось),

ТО И фз — Si/Лз.

Далее, из рис. Д6, б видно, что VD = vB =

(ОзЯз,

а так как точка Кг

тится» по

участку

нити КгЦ,

то vE =

0,5vD

= 0,5о>з/?з;

следовательно,

и

— s £

= 0,5фз/?з =

0,5siRi/r3. При найденных значениях фз и

для

суммы вычисленных работ получим

= 20(3si +

s?) -f-PiSi sin60° —fPsSi — M —

£ - - ^ - s ? .

(7)

Гз

8

гз

Подставляя выражения (6) и (7)

в уравнение

(1)

и учитывая,

что

Т0

= 0, придем к равенству

( - L m , r l +

+ - ^ - m s r i j <4 = 20(3s,

sin60°

-

-

f

P

*

.

(

8

)

Гз

8

Гз

Барабан радиуса R весом Р

имеет выточку

(как у катушки) радиу-

са

г =0,6/?

(рис. Д7.0 —Д7.9,

табл. Д7). К

концам

намотанных на

барабан нитей приложены постоянные силы

Fi и

направления

которых определяются

углом Р;

кроме

сил на

барабан

действует пара

с

моментом

М\ когда

в таблице М < 0 ,

направление момента противо-

тически направление движения

центра С другое, то в ответе получится

о с < 0 ,

но найденное значение

\ас\ будет верным. Силу трения, когда

неясно,

куда она направлена,

можно направлять в любую сторону

может быть больше предельной, т.е. что

\Ft?\^.fN,

откуда

}^s\F,p\/N.

Следовательно, fmi„ — \FT?]/N.

Очень существенно, что во все эти выра-

жения входят

модули сил

(мы не пишем

|W|, так как в данной задаче

Т а б л и ц а

Д7

Номер

А

р

условия

град

FT

F3

М

0

30

60

0

0.4Я

0

1

30

30

0,2Я

0

0

2

0

30

0

0,2Р

0,1

PR

3

30

—

0

0

0,4

PR

4

30

90

0 , 1 Р

0

- 0 , 2 PR

5

0

60

0,3Р

0,1Р

0

6

30

0

0

0 , З Р

0,2

PR

7

0

60

0,2Я

0

0,3 PR

8

30

90

0

0,2Р

— 0,4 PR

9

30

60

0,1 Р

0

— 0,3 PR