Термех__109_теор механика_Тарг

Ог

шарнирами.

Д

а и о: • а = 60°,

р =

150°,

у = 90°,

ф =

30°,

6 =

30°, AD =

DB,

h =

0,4 м, k =

1,2

м,

k

=

1,4 м,

Ш| = 2

с - 1 ,

8| =

7 с - 2

(направления

о)1

и ei — против хода

часовой

стрелки).

О п р е д е л и т ь :

ов,

vE ,

ь>2,

ав ,

£з-

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с задан-

ными

углами

(рис.

КЗб;

на этом рисунке

изображаем

все

векторы

скоростей).

2.

Определяем

vB• Точка В принадлежит стержню АВ.

Чтобы

най-

ти

i>в,

надо знать скорость какой-нибудь

другой точки

этого

стержня

и направление vB•

По

данным задачи, учитывая направление шь

можем

определить

численно

vA

=

toi/i = 0,8 м/с;

vA ± OiA .

( 1 )

Направление vB найдем, учтя, что точка В принадлежит одно-

временно ползуну,

движущемуся

вдоль направляющих

поступательно.

скоростей

двух точек тела

(стержня АВ) на прямую, соединяющую

эти точки

(прямая АВ).

Сначала по этой теореме устанавливаем,

Oflcos30° = ^ cos 60° и vB = 0,46 м/с .

( 2 )

Вектор ЪА направлен вдоль АО\,

а

аА — перпендикулярно

АО\\

изображаем эти векторы на чертеже

(см. рис. КЗв). Так как точка В

одновременно принадлежит ползуну,

то

вектор ав параллелен

направ-

направлен в ту же сторону, что и

vB.

Для определения ав

воспользуемся равенством

й в =

а\ +

ЕГА +

^ВА-\-сГВА.

(8)

Изображаем на

чертеже

векторы

а"вл (вдоль ВА

от В

к Л)

и а'вл

(в любую сторону перпендикулярно ВА)\

численно

сГВА =

СОЗ/З-

Найдя

соз с помощью построенного МЦС

С3

стержня

3, получим

<•>3 =

ИЛ

V А

„

=

0,66 с - '

и

а"ВА =

0,61 м/с 2 .

(9)

- J7 - J - = ,

„п

СзA

h cos 30

Таким образом, у величин, входящих

в

равенство

(8),

неизвестны

только

числовые значения

ав

и

а'вл", их

можно

найти,

спроектировав

обе части равенства

(8)

на

какие-нибудь две оси.

Чтобы определить ав,

спроектируем

обе

части

равенства

(8)

на

направление

ВА

(ось

х),

перпендикулярное

неизвестному

вектору

а\А. Тогда получим

а в cos 30° =

a j cos 60° — <й cos 30° + tfBA.

(10)

Подставив в равенство

(10)

числовые значения всех величин из

(7)

и (9),

найдем, что

ав

=

0,72

м/с2 .

(И)

Так как получилось ав>0,

то, следовательно, вектор ав

направлен

как показано на рис. КЗв.

6. Определяем Е3. Чтобы найти ез, сначала определим аВА.

Для

этого

обе

части

равенства

(8)

спроектируем

на

направление,

перпендикулярное АВ

(ось у).

Тогда

получим

— ав sin 30° =

а\

sin 60° + cfA sin 30° + alA .

(12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин -из

(11) и (7), найдем, что аВА

=

—3,58 м/с2. Знак

указывает, что

направ-

ление <1дл противоположно показанному на рис. КЗв.

Теперь из равенства

аВА

=

е3/3 получим

ез =

\ова\

. . .

с

_2

— ; — =

2,56

2 .

h

О т в е т :

vB

=

0,46

м/с;

vE

= 0,46

м/с;

ш2 = 0,67

с - 1 ;

ав

—

= 0,72 м/с2;

е3 =

2,56 с~2.

Примечание.

Если

точка

В,

ускорение

которой

определяется,

движется не

прямолинейно

(например, как

на

рис. КЗ.О — К3.4,

где

В движется

по окружности

радиуса

02В),

то

направление

ав

заранее

неизвестно.

Рис. К4.0

Рис. К4.1

Рис. К.4.2

ние точки М в момент времени ti = 1 с

и угол между

радиусами

СМ и СА в этот момент.

Рассмотрим два примера решения этой задачи.

Пример К4а. Пластина OEAB\D (ОЕ =

OD, рис. К4а)

вращается

радиуса R движется точка В по закону s = АВ =

f2(t) (положительное

направление

отсчета

s — от А

к

В).

Д а н о :

/?=0,5

м, ф=/2 —0,5/

3 , s=n/?cos(n//3) (ф — в

радианах,

s — в метрах,

t — в секундах).

О п р е д е л и т ь :

иабс и аабс

в момент

времени /| =

2

с.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее

движение по дуге окружности

относительным, а вращение пластины —

переносным движением. Тогда абсолют-

ная скорость иабс и абсолютное уско-

рение аабс точки найдутся по формулам:

Уабс — &отн ""Ь ^пер »

аабс =

аотн~|~апер~Ь Якор »

(1)

где, в свою

очередь,

Аотн =

Оотн

Оотн,

^Г1Ср~Ь С^пср •

Определим

все, входящие

в равенства

(1)

величины.

1. О т н о с и т е л ь н о е

д в и ж е н и е .

Это движение

происходит

по закону

s

=

AB

= nR COS(JI//3) .

( 2 )

Сначала установим, где будет находиться точка

В на дуге

окружности

в момент времени t\. Полагая

в уравнении (2)

t\

=

2 с, получим

S, -

nR

СОБ(Я 2 / 3 ) =

—

0 , 5 Я £ .

Тогда

Z.ACB

К

— 0,5я .

Знак минус

свидетельствует о том,

что точка

В

в момент ti =

2 с

положении

(точка

Вi).

Теперь находим числовые значения

Уотн» Оотн» &0Тц"

Vor« =

s

я 2R

g—sin(я^/3) ,

=

Уот„

ЯЗТ?

o"OI„ = —

=

иоти

q

cos (л//3),

—p— .

У

Рота

где pa™ — радиус кривизны

относительной траектории,

равный

радиусу

окружности R.

Для момента

t\

= 2

с, учитывая,

что

=

0,5 м,

получим

Уст» =

^ - s i n ( 2 n / 3 )

=

=

- 1 , 4 2 м/с ,

<4„ =

— - с о з ( 2 я / 3 ) =

~

= 0,86

м/с 2 , о"01Н =

=

4,06 м/с2 .

(3)

Знаки показывают, что вектор атОТн направлен в сторону положи-

тельного отсчета расстояния s, а вектор

v„T„ — в

противоположную

сторону; вектор tf„„ направлен к центру

С окружности. Изображаем

все эти векторы на рис. К4а.

2.

П е р е н о с н о е

д в и ж е н и е .

Это

движение

(вращение)

происходит

по закону ф =

t2— 0,5t3. Найдем сначала

угловую

скорость

со и угловое ускорение

е переносного вращения:

ш =

ф =

2t—

l,5t2,

г =

<о =

2 — 3/

и

при

ti =

2 с

ш =

- 2

с - 1 ,

в = -

4 с " 2 .

(4)

Знаки

указывают,

что

в момент

ti =

2 с

направления

со и в проти-

воположны направлению положительного отсчета угла ф; отметим

это

на

рис. К4а.

Для определения упер и апер находим сначала расстояние hi =

ОВ\

точки

В1 от оси

вращения О. Из

рисунка видно,

что

к\ =

Шл[2

=

=

1,41 м. Тогда

в

момент

времени

11 =

2

с,

учитывая

равенства

(4),

получим

Упер

= M-ftl = 2,82

м/с ,

Опер =

|е| • fti =

5,64

м/с 2 ,

а"„ер =

w2/t, = 5,64

м/с2 .

(5)

Изображаем на рис. К4а векторы у„ер

и а^ер с учетом

направлений

ю и е и вектор а£ер (направлен

к оси вращения).

3.

К о р и о л и с о в о

у с к о р е н и е .

Модуль

кориолисова

уско-

рения

определяем

по

формуле

акор =

2|уот„| • |со| • sin а,

где

а —

угол между вектором vor„ и осью вращения

(вектором

а).

В

нашем

случае этот угол равен 90°, так как ось

вращения перпендикулярна

плоскости

пластины,

в

которой

расположен вектор

уотн.

Численно

в момент времени t\ = 2

с, так

как

в этот момент

|уотн| =

1,42

м/с

и

|ш| =

2 с - 1 , получим

а К о р =

5 , 6 8 м / с 2 .

( 6 )

Направление

акс,р

найдем

по

правилу

Н. Е. Жуковского:

так

как

повернем его на 90° в направлении

щ, т. е.

по

ходу

часовой стрелки.

Изображаем аКоР на рис. К4а.

[Иначе

направление

акор

можно

найти, учтя,

что а к о р = 2(саХ Уо™)-]

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств

(1) векторов найдены и для определения уабс

и а„бС остается

только

сложить эти векторы. Произведем это сложение

аналитически.

В\ху

4.

О п р е д е л е н и е

уабс. Проведем

координатные

оси

(см.

рис.

К4а) и спроектируем

почленно

обе

части

равенства

Уабс = V Уотн +

t&p +

2|v„J • I fnepl • cos 45° = 3,95 м/с .

5. О п р е д е л е н и е

аа6с. По теореме о сложении

ускорений

Дабе =

Оотн

Оот Опер Опер Опор •

(7)

Уабс —

Уотн

Упер, Оабс =

@отн

Опер

Окор ,

( 1 )

где, в свою очередь,

a„ep =

aJeP +

a"ep •

Определим все входящие

в равенство (1) величины.

1.

О т н о с и т е л ь н о е

д в и ж е н и е .

Это

движение

прямоли-

нейное-и происходит по закону

s — АВ =

2 + 15/ — З/2 .

(2)

Поэтому

Уотн =

s =

15 — 6/,

аотн =

У э т н =

— 6 .

В момент времени t\

=

2 с имеем

Si = АВ\ =

20 см,

уотв =

3 см/с,

а,™ =

—6

см/с2 .

(3)

Знаки показывают, что вектор уотн направлен в сторону

положительного

отсчета

расстояния

s,

а

вектор

аотн — в

противоположную

сторону.

Изображаем эти векторы на рис. К4б.

2.

П е р е н о с н о е

д в и ж е н и е .

Это движение

(вращение) про-

исходит по закону ф =

0, И3 —2,2/.

Найдем угловую скорость to и угловое ускорение е переносного

вращения: чо = ф =

0,3/2 — 2,2; е =

<о = 0,6/ и при t\ = 2 с,

<о=

- 1

с"1

,

е =

1,2

с " 2 .

(4)

Знаки указывают,

что в

момент t\

= 2 с направление 8 совпадает

Из рисунка находим

расстояние h\

точки В\

от

оси

вращения z:

hi — >4Bisin30o =

10 см. Тогда в момент

/| =

2 с, учитывая

равенства

(4),

получим

Упер =

1 СО J - Л I

=

1 0

С М / С ,

aJep =

|е|-Й1 =

12

см/с2 ,

о£ер =

<о2Л, =

10

см/с2 .

(5)

Изобразим иа рис. К4б векторы у„ер

и ajeР

(с учетом знаков <о и е)

и а"ер; направлены векторы

упер и aLP

перпендикулярно

плоскости

ADE,

а вектор йеР — по линии ДС к оси

вращения.

3. К о р и о л и с о в о

у с к о р е н и е .

Так как угол между векто-

ром

уотн

и осью

вращения

(вектором

со)

равен

30°,

то

численно

в момент

времени

t\ =

2 с

акоР =

2-|у01Н|.|ш|- sin 30° = 3

см/с2 .

(6)