Основной текст

казатель адиабаты.

У

1. Первое начало термодинамики.

Т

Теплоемкости газов

Н

Термодинамика есть раздел физики, изучающий состояние

Б

и поведение вещества на основе законов термодинамики (ТД).

В данной работе будем использовать первое начало ТД.

Первое начало

термодинамика есть закон

сохранения

й

энергии для термодинамических систем. В дальнейшем в ка-

честве термодинамической

системы

будем рассматривать

только идеальный газ, находящ йся в сосуде.

р

Идеальный газ – это газ, удовлетворяющий следующим ус-

ловиям:

то

1) размеры молекулы газа п енебрежимо малы по сравне-

т

нию с размером сосуда, в к

м они находятся;

и

2) взаимодействие м лекул между собой и со стенками со-

суда происход т по законам упругого удара;

з

3) молекулы не в а модействуют между собой на расстоянии;

о

4) между столкновен ями молекулы движутся по инерции.

Сост яние идеального газа описывается уравнением Кла-

п

пейрона–Менделеева:

е

PV

m

RT .

(1)

Р

μ

Таким образом, состояние идеального газа описывается

термодинамическими параметрами: Р – давление газа, V –

его объем, m – масса газа, μ – молярная масса, T – абсолют-

ная температура

по шкале

Кельвина (T = t

°С + 273),

над внешними телами, т.е.

У

δQ dU δA.

(2)

Т

Для идеального газа внутренняя энергия складывается

только из кинетической энергии поступательного и враща-

Н

тельного хаотического (теплового) движения молекул газа. В

модели идеального газа не учитывают потенциальную энер-

гию взаимодействия молекул.

Б

dU означает, что внут-

ренняя энергия газа есть полный д фференциал, т.е. функция

й

состояния системы. Это означает, что после совершения си-

стемой кругового процесса и возв ащения ее в исходное со-

Символ

стояние, полное изменение внут енней энергии равно нулю.

р

Величины δQ и δA не являются полными дифференциалами

и это означает, что количес

теплоты и работа есть функции

процесса, т.е.

во

от вида процесса, который совершается

сят

над системой. Вел ч на δQ характеризует микроскопический

способ изменения внутренней энергии, а δA – макроскопиче-

ский

и

с б и менения внутренней энергии.

зав

Раб та газа при изменении его объема на dV задается соот-

о

сп

δA PdV ,

(3)

ношением

где Р – давление газа.

Р

Теплоемкость тела С численно равна количеству тепло-

чтобы

ты, которое надо сообщить телу или отнять от него,

C

dQ

.

(4)

dT

Единица измерения [C] = Дж/К.

У

Удельная теплоемкость с численно равна количеству

теплоты, которое надо сообщить 1 кг вещества, чтобы нагреть

его на 1 К, т.е.

Н

c

δQ

.

(5)

mdT

Т

Здесь m – масса вещества. Размерность [c] = Дж/кг К.

й

Молярная теплоемкость Сμ численно равна количеству

теплоты, которое нужно сообщить 1 молю Бвещества для изме-

нения температуры на 1 К, т.е.

и

р

о

δQ .

(6)

C

μ

dT

Здесь –

м лей

вещества,

размерность [Cμ] =

число

= Дж/моль К. Удельная еплоемкость связана с молярной со-

з

т

отношением

о

Сμ .

п

с

(7)

лярные

μ

Р

Т лоемкость газа зависит от вида процесса. Найдем мо-

теплоемкости при постоянном объеме СV и при посто-

z) задают положение атома в пространстве.

Молекулы двухатомного газа, например кислорода О2, можно

У

рассматривать как гантель с одной жесткой связью (рис. 1, а).

Тогда

число степеней

свободы двухатомного газа равно

Т

i = 3+ 3 – 1 = 5, где «–1» – условие жесткой связи. Для трехатом-

ного газа число степеней свободы принимают равным i = 3 +

Н

+ 3 + 3 – 1 – 1– 1 = 6. Это соотношение поясняет рис. 1, б.

3

-1

-1

Б

3

3

3

-1

й

-1

3

a

и

b

а

р

б

Рис. 1. К характеристике ч сла степеней свободы

о

Как известно, средняя кинетическая энергия теплового по-

т

ступательного движения м лекулы одноатомного газа с чис-

и

2

лом степеней свободы i = 3 равна

з

3

kT ,

п

E

где Т – абс лютная температура;

k = 1,38о10–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Р

По закону о равномерном распределении энергии по сте-

2

п ням свободы на одну степень свободы молекулы газа в со-

естоянии равновесия при температуре Т приходится в среднем

U

i

kT N

i

RT.

У

A

2

2

Т

Здесь учтено k NA R –

универсальная газовая постоян-

ная R = 8,31 Дж / моль К.

Н

Внутренняя энергия ν

m

молей идеального газа равна

μ

й

U

m

i

RT .

Б

(8)

ки

μ 2

р

Первое начало термодинам

для V = const (δA = 0):

о

δQ = dU.

т

Тогда молярная

еплоемкость при постоянном объеме в си-

лу (6), (8) равна

о

иδQ

dU

i

п

CV

R,

(9)

з

dT

V

dT

2

откуда олучаем

Р

е

dU

C

m

dT .

(10)

V

μ

равна

У

CP

δQ

(6)

dU

РdV

=

.

(11)

dT P

dT

dT

Н

Последнее слагаемое в выражении (11) легко определяется

из уравнения состояния идеального газа для = 1 мольТ:

РdV = RdT.

й

Окончательно с учетом последнего выраженияБ

и уравне-

и

ния (9) получаем формулу Майера:

CP

CV R.

(12)

о

Так как

C

i

тP

R,

р

V

и

2

з

C

i 2

R.

(13)

2

п

2. Политропный процесс

е

Состояниеотермодинамической системы (например, со-

суда с газом) характеризуется набором термодинамических

Р

Изопроцесс – это процесс, при котором остается постоян-

ным один из параметров.

Политропным называется процесс, протекающий при по-

стоянной теплоемкости тела С = const.

У

Политропный процесс включает в себя как частные случаи

другие

процессы: изотермический (Т =

const), изобарный

Т

(Р = const), изохорный (V = const), адиабатный (без теплооб-

мена δQ = const).

Н

Получим уравнение политропы идеального газа в перемен-

ных Р, V (на плоскости переменных давление, объем). Исходя

из первого начала термодинамики имеем:

Б

δQ dU VδA .

выражений

Для

одного моля, исходя

из

(3), (4),

(10)

dUμ CV dT , δAμ

РdV , δQ CdT ,

р

о

(14)

CdT CV dT РdV

или C CV dT РdV .

т

и

т беих частей уравнения состоя-

Возьмем дифференциал

ния идеального газа (1), записанного для одного моля газа

РV RT:

з

о

VdР РdV RdT ,

п

откуда

е

dT

VdР РdV

.

(15)

Р

R

Подставляем (15) в (14):

С СV

VdР РdV

РdV

R

Так как из выражения (12) R CР CV , то

У

C CV VdP C CP PdV 0.

Разделяя переменные (делим выражение на РV), получаемТ:

Б

dP

dV

dP

C CН

С С

C C

0

или

P dV

0.

V

P

й

P

V

P

C CV V

После интегрирования получ м:

р

C

CPи

lnP

lnV

lnconst

C C

т

V

или

оC CP

з

lnconst

о

lnP lnV C CV

и

C CP

п

ln PV C CV

lnconst

е

C CP

Р

PV

C CV

const .

(16)

Введем показатель политропы n: