ТОЭ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
.pdfЭто означает, что в цепи с резистором R протекает только процесс преобразования электрической энергии в другие виды (активный процесс). По этой причине сопротивление резистора R на переменном токе называется активным.
Графические диаграммы функций времени u(t), i(t), p(t) представлены на рис. 44, а векторная диаграмма напряжения и тока на рис. 43, б.
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u( t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ir( t) 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
0.01 |
0.015 |
0.02 |
0.025 |
0.03 |
0.035 |
0.04 |
pr ( t) |
5 10 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
100
t
Рис. 44
б) Цепь с идеальной катушкой L |
|
|
|
+1 |
|
i |
L |
|
|
U |
|
u |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
+j |
|
а |
|
б |
|
Рис. 45 |
|
Пусть к цепи с идеальной катушкой L (рис. 45, а) приложено переменное напряжение: u(t) Um sin t U Ue j0
61
Ток и напряжение на зажимах катушки связаны между собой физиче-
ским законом электромагнитной индукции
u e L |
di |
|
dt |
||
|
, откуда следует:
i(t)
где
|
1 |
u dt |
U m |
sin t dt |
Um |
|
) I Ie |
|
L |
L |
L |
( cos t) Im sin( t 90 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
L X L |
индуктивное реактивное сопротивление катушки, |
Уравнения закона Ома для амплитудных и действующих
j90 |
|
|
, |
||
|
значений
функций: Im |
Um |
, I |
|
U |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X L |
|
X L |
|
|
|
|
|
||
Угол сдвига фаз |
|
u |
|
i |
0 ( 90 ) 90 |
, т.е. в цепи с катушкой |
||||
|
|
|
|
|
L ток отстает от напряжения (напряжение опережает ток) на угол |
90 . |
Комплексное сопротивление катушки является чисто мнимым и по-
ложительным: L |
|
U |
|
Ue j 0 |
|
X Le j90 0 jX L . |
|
|
|||||||||
I |
Ie |
j90 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Мгновенная мощность цепи изменяется по синусоидальному закону с |
|||||||||||||||||
частотой 2 : |
|
|
|
p(t) U |
|
sin t I |
|
sin( t 90 |
) t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
Um Im |
|
|
|
|
Um Im |
|
|
|
|
Um Im |
sin 2 t |
|||||
2 |
|
cos90 |
|
|
2 |
cos(2 t 90 ) |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что в цепи с катушкой L происходит только периодический процесс обмена энергией между магнитным полем катушки
(Wm |
Li2 |
) |
и источником (реактивный процесс). По этой причине сопро- |
|
2 |
||||
|
|
|
тивление катушки переменному току XL = L называется реактивным. Графические диаграммы функций времени u(t), i(t), p(t) представлены
на рис. 46, а векторная диаграмма напряжения и тока на рис. 45, б.
62
100
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u( t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
il( t) 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
0.01 |
0.015 |
0.02 |
0.025 |
0.03 |
0.035 |
0.04 |
pl ( t) 2 |
5 10 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
100
t
Рис. 46
в). Цепь с идеальным конденсатором С.
|
|
+1 |
i |
C |
U |
|
|
|
u |
|
|
|
I |
|
|
+j |
|
а |
|
б |
|
Рис. 47 |
|
Пусть к цепи с идеальным конденсатором С (рис. 47а) приложено переменное напряжение
u(t) Um sin t U Ue |
j0 |
|
Ток и напряжение на зажимах конденсатора связаны между собой физическим законом сохранения заряда:
|
dq |
|
du |
|
d (sin t) |
|
Um |
o |
|
j90o |
||
i(t) |
|
C |
|
UmC |
|
|
|
|
cos t Im sin( t 90 |
) I I e |
, |
|
dt |
dt |
dt |
1 |
C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 1 X C емкостное реактивное сопротивление [Ом].
C
63
Уравнения закона Ома
функций: |
Im |
Um |
, I |
U |
||
X |
|
X |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
C |
|
C |
||
|
|
|
|
|
Угол сдвига фаз |
|
u |
|
для
|
i |
|
амплитудных и действующих значений
0 90 |
90 |
, т. е. в цепи с конденса- |
|
|
тором С ток опережает напряжение (напряжение отстает от тока) на угол
90°.
Комплексное сопротивление конденсатора является чисто мнимым и
отрицательным:
Z |
|
|
U |
|
C |
I |
|||
|
|
|||
|
|
|
Ue j 0 Ie j90
X |
|
e |
|
|
j90 |
|
C |
|
0
jX |
C |
|
.
Мгновенная мощность цепи изменяется по синусоидальному закону с частотой 2 :
|
|
p(t) U |
|
|
sin t I |
|
sin( t 90 |
|
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
Um Im |
|
) |
Um Im |
|
|
|
) |
|
Um Im |
sin 2 t |
|||
2 |
cos( 90 |
|
2 |
cos(2 t 90 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что в цепи с конденсатором С происходит только периодический процесс обмена энергией между электрическим полем конден-
|
|
|
Cu |
2 |
|
|
|
|
сатора |
(W |
|
) |
и источником (реактивный процесс). |
||||
|
||||||||
Э |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
сопротивление конденсатора переменному току |
X C |
1 |
||||||
C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
тивным.
По этой причине
называется реак-
100
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u( t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ic( t) 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
0.01 |
0.015 |
0.02 |
0.025 |
0.03 |
0.035 |
0.04 |
pc ( t) 2 |
5 10 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
100
t
Рис. 48
Графические диаграммы функций времени u(t), i(t), p(t) представлены на рис. 48, а векторная диаграмма напряжения и тока – на рис. 47, б.
64
7. Электрическая цепь с последовательным соединением |
|||
|
элементов R, L и C |
|
|
i |
R |
L |
C |
|
uR |
uL |
uC |
e |
u |
|
|
|
|
Рис. 49 |
|
Пусть в заданной схеме с последовательным соединением элементов |
|||
R, L и C (рис. 49) протекает переменный ток |
|
i(t) I |
m |
sin t I |
|
|
Ie |
j0 |
|
.
По 2-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получим уравнение в дифференциальной форме:
u u |
|
u |
|
u |
iR L |
di |
|
1 |
|
idt |
. |
R |
L |
|
|
||||||||
|
|
C |
|
dt |
|
C |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То же уравнение в комплексной форме получит вид:
|
U U |
R |
U |
L |
U |
C |
IR I jX |
L |
I ( jX |
C |
) I (R jX |
L |
jX |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
Z R j(X |
|
X |
|
) R jX |
Ze |
j |
комплексное |
|||||||||||||
L |
C |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
X X L XC |
X |
|
) |
|
реактивное |
|
(эквивалентное) |
|
|
||||||||||||
Z |
R |
2 |
( X |
|
|
2 |
|
модуль комплексного или полное |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
C |
|
|
|
C |
) I Z, |
|
сопротивление, сопротивление,
сопротивление,
arctg |
X |
L |
X |
C |
|
аргумент |
комплексного |
сопротивления или |
угол |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сдвига |
фаз |
|
между |
напряжением |
и током |
на входе схемы. |
При |
|||||||||||||||
( X |
L |
X |
C |
) 0 |
фазный угол φ > 0, при этом цепь в целом носит активно- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
индуктивный характер, а при |
|
( X L XC ) 0 и φ < 0 – цепь в целом носит |
||||||||||||||||||||
активно-емкостный характер. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Уравнение закона Ома для последовательной схемы будет иметь вид: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
U |
|
U |
|
|
|
|
в комплексной форме, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
R j( X |
L |
X |
C |
) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I |
U |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
в обычной форме для модулей. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
R2 ( X L XC )2 |
|
|
Векторная диаграмма тока и напряжений при φ > 0 показана на рис. 50.
65
|
|
|
+1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UC |
|
I |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
UL |
|
|
|
UR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+j |
|
|
|
|
|
–j |
|
|
|
|
|||
|
UL |
|
|
|
|
UC |
Рис. 50
В рассматриваемой цепи на переменном токе будут происходить одновременно два физических процесса: преобразование энергии в другие виды в резисторе R (активный процесс) и взаимный обмен энергией между магнитным полем катушки, электрическим полем конденсатора и источником энергии (реактивный процесс).
8. Электрическая цепь с параллельным соединением элементов R, L и С
|
i |
iR |
iL |
iC |
e |
u |
R |
L |
C |
Рис. 51
Пусть на входе схемы рис. 51 действует переменное напряжение:
u(t) U |
|
sin t U Ue |
j0 |
m |
|
||
|
|
|
По 1-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получаем уравнение в дифференциальной форме:
i iR iL iC |
U |
|
1 |
idt C |
du |
|
|
|
|
. |
|||
R |
L |
dt |
То же уравнение в комплексной форме получит вид:
I I R I L I C |
U |
|
|
U |
|
|
|
U |
|
|
U |
(G jBL jBC ) |
U |
|
Y |
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
jXC |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
R |
|
jX L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где
G
Y
1 R
G j(BL
активная
B |
) G jB Ye |
j |
|
|||
|
|
|
||||
C |
|
|
|
|
|
|
проводимость, |
B |
|
1 |
|||
|
|
|||||
L |
|
|
X |
|
||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
комплексная проводимость,
реактивная индуктивная про-
водимость,
B |
|
1 |
|
|
|
||
C |
|
X |
|
|
|
C |
|
|
|
|
реактивная емкостная проводимость,
B B |
B |
L |
C |
реактивная (эквивалентная) проводимость,
Y |
G |
2 |
(B |
B ) |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
L |
C |
|
модуль
комплексной проводимости или полная проводимость,
arctg |
B |
B |
L |
C |
|
|
G |
|
|
|
аргумент комплексной проводимости или угол сдвига фаз между напряже-
нием и током на входе схемы. При |
(B B ) 0 |
и φ > 0 – цепь в целом но- |
||
L |
C |
|||
сит активно-индуктивный характер, а при |
(B B ) 0 |
и φ < 0 – цепь в це- |
||
L |
C |
лом носит активно-емкостный характер.
Уравнение закона Ома для параллельной схемы будет иметь вид:
I U Y U G j(B |
B |
) |
в комплексной форме; |
||||||
|
|
|
|
L |
|
|
C |
|
|
I U Y U |
G |
2 |
(B B ) |
2 |
в обычной форме для модулей. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
C |
|
|
Векторная диаграмма токов и напряжения при φ > 0 показана на рис. 52.
+1
U IC
IR I IL
+j |
IC |
–j |
|
IL |
Рис. 52
На переменном токе в рассматриваемой цепи будут происходить одновременно два физических процесса: преобразование электрической энергии в другие виды (активный процесс) и взаимный обмен энергией между магнитным полем катушки, электрическим полем конденсатора и источником энергии (реактивный процесс).
67
9. Активные и реактивные составляющие токов и напряжений
При расчете электрических цепей переменного тока реальные элементы цепи (приемники, источники) заменяются эквивалентными схемами замещения, состоящими из комбинации идеальных схемных элементов R, L и С.
Пусть некоторый приемник энергии носит в целом активноиндуктивный характер (например, электродвигатель). Такой приемник может быть представлен двумя простейшими схемами замещения, состоящими из 2-х схемных элементов R и L: а) последовательной (рис. 53, а) и б) параллельной (рис. 53, б):
I |
R |
XL |
I |
|
|
Ua |
Up |
Ia |
Ip |
|
|
|
||
U |
|
U |
G |
BL |
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 53 |
|
|
Обе схемы будут эквивалентны друг другу при условии равенства па-
раметров режима на входе: |
U U |
|
Для последовательной схемы
U |
|
, |
I I |
|
|
|
(рис. 53, а)
I .
справедливы соотношения:
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
X L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (R jX L ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I |
|
|
R jX L |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
j |
2 |
X L |
2 |
U |
|
Y , |
|||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X L |
|
|
R |
|
X L |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U I Z I (R jX |
L |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для параллельной схемы (рис. 53, б) справедливы соотношения:
|
|
|
|
|
|
|
I U Y U (G jB |
) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
BL |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
U (G jBL ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
2 |
j |
|
|
|
I |
Z . |
|||||||
|
G jBL |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
BL |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
G |
|
BL |
|
G |
|
BL |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
Сравнивая правые части уравнений для U и I, получим соотношения между параметрами эквивалентных схем:
G |
|
R |
|
R |
, |
B |
X |
|
X |
, R |
G |
|
G |
, |
X |
B |
|
B |
. |
R2 |
X 2 |
Z 2 |
R2 X 2 |
Z 2 |
G2 B2 |
Y 2 |
G2 B2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y 2 |
68
Из анализа полученных уравнений следует сделать вывод, что в об-
щем случае
R |
1 |
|
G |
||
|
и |
B |
|
|
1 |
|
X |
||
|
и соответственно
R |
1 |
|
G |
||
|
и |
X |
|
1 B
, как это
имеет место для цепей постоянного тока.
Математически любой вектор можно представить состоящим из суммы нескольких векторов или составляющих.
Последовательной схеме замещения соответствует представление вектора напряжения в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Uа, совпадающей с вектором тока I, и реактивной составляющей Uр, перпендикулярной к вектору тока (рис. 54, а):
+1 |
|
|
|
U |
|
Up |
X |
|
|
|
|
|
|
I |
Z |
|
|
|
|
|
|
Ua |
|
|
|
||
|
|
R |
|
|
|
|
|
+j |
|
|
j |
а – треугольник напряжений |
б – треугольник сопротивлений |
||
|
|
|
Рис. 54 |
Из геометрии рис. 54, а следуют соотношения:
U |
|
U cos IR |
, |
U |
|
U sin IX |
, |
U |
U |
2 |
U |
2 |
|
a |
p |
a |
p |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
IZ
.
Треугольник, составленный из векторов
U
,
Ua
,
Up
получил назва-
ние треугольника напряжений (рис. 54, а).
Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то получится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого являются полное сопротивление Z, активное сопротивление R и реактивное сопротивление X. Треугольник со сторонами Z, R, X называется треугольником сопротивлений (рис. 54, б). Из треугольника сопротивлений
следуют соотношения: R = Z cosφ, X = Z sinφ,
Z |
R |
2 |
X |
2 |
|
|
|
, arctg XR .
Параллельной схеме замещения соответствует представление вектора тока в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Iа, совпадающей с вектором напряжения U, и реактивной составляющей Iр, перпендикулярной к вектору U (рис. 55, а).
Из геометрии рисунка следуют соотношения:
Iа I cos U G , |
Iр I sin U B , |
I |
Iа |
2 Iр2 U Y . |
69
Треугольник, составленный из векторов I , треугольника токов (рис. 55, а).
Iа
, Iр получил название
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
Ip |
|
|
|
|
B |
|
Ia |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
G |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Y |
||
|
|
|
|
|
|
|||
+j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а – треугольник токов |
б – треугольник проводимостей |
|||||||
|
|
|
|
Рис. 55 |
|
|
Если стороны треугольника токов разделить на напряжение U, то получится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого являются проводимости: полная – Y, активная G, реактивная – B (рис. 55, б). Треугольник со сторонами Y, G, B называется треугольником проводимостей. Из треугольника проводимостей следуют соотношения:
G
Y
cos
,
B Y sin
,
Y |
G |
2 |
B |
2 |
|
|
|
,
arctg |
B |
|
G |
||
|
.
Разложение напряжений и токов на активные и реактивные составляющие является математическим приемом и применяется на практике для расчета сравнительно несложных цепей переменного тока.
10.Передача энергии от активного двухполюсника (источника)
кпассивному двухполюснику (приемнику)
Двухполюсником называется устройство или часть схемы (цепи) с двумя выводами (полюсами). Если внутри двухполюсника содержатся источники энергии, то он называется активным (A), в противном случае – пассивным (П).
Энергетические характеристики передачи энергии от активного двухполюсника (источника) к пассивному двухполюснику (приемнику) на переменном токе зависят от соотношения параметров приемника и источника между собой (рис. 56).
70