ТОЭ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
.pdfТ11. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СРАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1.Общие определения
Параметры электрических цепей в той или иной мере всегда распределены вдоль длины отдельных участков. В большинстве практических случаев распределением параметров вдоль длины пренебрегают и представляют электрическую цепь эквивалентной схемой с сосредоточенными схемными элементами R, L и C.
Однако существует большой класс электрических цепей, для которых пренебрежение распределением параметров вдоль длины приводит к существенным погрешностям при их расчёте и становится неприемлемым.
Из курса физики известно, что электромагнитное поле распространяется вдоль электрической цепи не мгновенно, а с конечной скоростью υ,
проходя всю длину цепи l за время
Δt
l υ
. Если за время ∆t режимные па-
раметры в цепи (u, i) изменяются незначительно и этим изменением можно пренебречь, то для такой цепи пренебрегают распределением параметров вдоль длины и замещают ее схемой с сосредоточенными элементами. Если за время ∆t режимные параметры в цепи (u, i) изменяются на заметную величину, которую необходимо учитывать в расчете, то такие цепи считаются с распределенными параметрами и расчет их проводится уже с учетам распределения параметров вдоль их длины.
Пример 1. Воздушная линия электропередачи длиной l = 50 км рабо-
тает на частоте ƒ = 50 Гц, скорость волны υ = 300000 км/с, T |
1 |
, |
|
|
||||||||||
f |
f |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 6000км, t |
l |
2 10 |
4 |
с, |
t |
360 |
t 3,6 |
|
. Таким образом, |
фазовый |
||||
|
|
|||||||||||||
|
|
T |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сдвиг для волн напряжения и тока вначале и в конце линии составляет всего 3,6о, чем можно пренебречь и считать такую линию как цепь сосредоточенными параметрами.
Пример 2. Линия электропередачи длиной l = 500 км: ƒ = 50 Гц, ско-
рость волны υ = 300000 км/с,
t |
l |
2 10 |
3 |
|
|||
υ |
|
||
|
|
|
с,
t
360 |
t |
|
T |
||
|
36 |
|
|
.
Фазовый сдвиг для волн напряжения и тока в начале и конце линии составляет 36о, расчет режима в такой линии без учета распределения параметров по длине привел бы к существенным ошибкам, поэтому такую линию следует считать как цепь с распределенными параметрами.
Пример 3. Соединительный кабель от комнатной антенны до входного гнезда телевизора имеет длину l = 2 м, телевизионный канал работает на
181
частоте ƒ =
t |
l |
10 |
|
|
|
||||
|
|
|
150 МГц,
10 |
9 |
с, |
|
|
|||
|
|
|
υ = 200000
t |
360 |
t |
|
T |
|||
|
|
км/с,
540 |
|
|
T |
1 |
|
f |
||
|
||
. |
|
6,67 10 |
9 |
|
с,
f
1,3 м,
Вывод: соединительный кабель следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами.
При синусоидальном режиме цепи критерием необходимости учета распределения параметров по длине может служить соотношение между длиной линии l и длиной волны . Если l << ,то цепь рассматривается
как c сосредоточенными параметрами (в примере 1 |
l |
|
50 |
0,0083 ), ес- |
|||
|
6000 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
ли l и |
|
соизмеримы, то цепь рассматривается как с распределенными па- |
|||||
|
раметрами (в примере 2
l
|
500 |
|
6000 |
||
|
0,083
, в примере 3
l
|
2 |
|
1,3 |
||
|
1,6
).
К цепи с распределенными параметрами относятся все лини связи, линии электропередачи длиной l > 100 км.
Одни и те же электрические цепи в зависимости от формы воздействующего напряжения в одних случаях принимаются с распределенными параметрами, а в других с сосредоточенными параметрами. Например, обмотки силовых трансформаторов при расчете установившихся режимов в них на частоте ƒ = 50 Гц считаются цепями с сосредоточенными параметрами, но при расчете переходных процессов, возникающих в результате коммутации или атмосферных разрядов те же обмотки считаются цепями с распределенными параметрами.
Если параметры цепи распределены равномерно по ее длине, то цепь называется, однородной, если неравномерно – то неоднородной. В курсе ТОЭ рассматриваются только однородные цепи.
2. Дифференциальные уравнения лини с распределенными параметрами
Рассмотрим двухпроводную однородную линию, физические параметры которой равномерно распределены по ее длине:
R0 – активное сопротивление пары проводов на единицу длины
[Ом/м], определяется по известной формуле
R |
l |
|
s |
||
|
1 |
|
l |
|
|
s |
||
|
, зависит от мате-
риала провода (γ ) и от ее температуры |
R R |
(1 t) |
; |
0 |
|
L0 – индуктивность пары проводов на единицу длины линии [Гн/м],
определяется как отношение потокосцепления к току ( L0 i0 ), является
182
отображением магнитного поля линии в ее схеме замещения, зависит от магнитных характеристик среды (μ) и геометрических размеров линии;
G0 – активная проводимость между проводами на единицу длины ли-
нии [См/м], является следствием несовершенства изоляции между проводами, зависит от электрических параметров среды (γ) и геометрических размеров линии;
C |
0 |
|
– емкость между проводами на единицу длины линии [Ф/м], опре-
деляется как отношение заряда к напряжению (
C |
|
|
q |
0 |
0 |
||
|
|
U |
|
|
|
|
), является отобра-
жением электрического поля линии в ее схеме замещения, зависит от электрических характеристик среды ( ) и геометрических размеров линии.
Удельные параметры линии
R |
, L |
, G |
, C |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
зависят от физических па-
раметров самих проводов и окружающей их среды, поэтому они получили название физических или первичных.
Разделим всю линию на элементарные участки длиной dх и рассмотрим один из таких участков, находящийся на расстоянии х от начала линии. Схема замещения участка будет иметь вид рис. 154. Здесь u и i – напряжение и ток в начале рассматриваемого участка. В конце участка
напряжение и ток получают приращения:
u |
u |
dx |
|
x |
|||
|
|
и
i
ix
dx
.
i R0dx
G0dx u C0dx
L0dx |
|
i+ ( i / x |
|||||
|
|
|
di |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G0dx |
|
|
C0dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)dx
u+ ( u / x)dx
x |
dx |
|
dx |
|
|
|
|
Рис. 154
Функции напряжения и тока (u, i) зависят от двух параметров t и x, они изменяются в пространстве и во времени, поэтому дифференциальные уравнения для схемы замещения следует составлять в частных производных.
Уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура:
u R0 dx i L0 dx ti u ux dx 0 .
183
После упрощения получим:
|
u |
R i L |
i |
. |
|
|
|
||||
|
x |
0 |
0 |
t |
|
|
|
|
|
По закону Ома и 1-му закону Кирхгофа:
(1)
di (u |
u |
dx)G |
dx C |
|
dx |
|
(u |
u |
dx) uG |
dx C |
|
dx |
u |
. |
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||||||
|
x |
0 |
|
|
t |
|
x |
0 |
|
|
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В приведенном выражении пренебрегаем слагаемыми второго поряд-
ка малости, содержащими |
d |
2 |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По 1-му закону Кирхгофа для узла: |
|
|
|
|
||||||||
i i |
i |
dx |
di i |
i |
dx uG dx C |
|
dx |
u |
|
|||
|
|
0 |
|
. |
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После упрощения получим:
|
i |
|
x |
||
|
G |
u C |
0 |
0 |
|
ut
.
(2)
Уравнения (1) и (2) являются основными дифференциальными уравнениями двухпроводной линии с распределенными параметрами, которые используются для расчета как переходного, так и установившегося режима линии.
3.Решение уравнений линии с распределенными параметрами
вустановившемся синусоидальном режиме
Пусть напряжение и ток в линии с распределенными параметрами изменяются по синусоидальному закону:
u(t) Um sin( t u) U Ue j u ,
|
|
i(t) Im sin( t i) I |
Ie |
j i |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заменим |
в |
дифференциальных уравнениях линии синусоидальные |
||||||||||||||
функции u(t) |
и |
i(t) и их производные |
u |
и |
i |
соответствующими ком- |
||||||||||
t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
плексными изображениями u(t) U , |
i(t) I , |
u |
j |
U |
, |
i j I : |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184
|
dU |
|
dx |
||
|
||
|
d I |
|
dx |
||
|
В уравнениях (1) и
R |
I j L |
I (R |
j L |
)I Z |
0 |
I |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
G U j C U (G |
j C |
)U Y |
0 |
U |
|
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
(2) приняты обозначения: |
Z |
0 |
R |
j L |
|||||
|
0 |
0 |
(1)
(2)
ком-
плексное сопротивление линии на единицу длины [Ом/м], |
Y |
G |
j C |
0 |
0 |
0 |
|
комплексная проводимость линии на единицу длины [См /м]. Дифференцируем уравнение (2) по переменной х и делаем в него под-
становку из (1):
|
|
|
d |
2 |
U |
|
|
|
|
|
d I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
Z |
|
|
( Y |
|
U ) Z |
|
Y |
|
U |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dx |
2 |
|
0 |
|
dx |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
Y |
|
U 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решаем дифференциальное уравнение 2-го порядка (3) классическим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
методом. Характеристическое уравнение и его корни: |
k |
2 |
Z |
|
Y |
|
0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
|
|
Z |
0 |
Y |
0 |
|
|
|
|
, |
k |
2 |
|
+ |
|
Z |
0 |
Y |
0 |
|
+ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
откуда 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение для искомой функции в общем виде:
где
Z |
0 |
Y |
0 |
|
|
|
|
|
U |
(R |
|
0 |
|
( x) A e x |
||
|
1 |
|
j L )(G |
j C |
|
0 |
0 |
0 |
A e |
x |
|
|
2 |
|
) |
,
j
безразмерная ком-
плексная величина, названная коэффициентом (постоянной) распростране-
ния, |
A |
, A |
комплексные постоянные интегрирования, которые опреде- |
1 |
2 |
ляются через граничные условия, т. е. через значения искомых функций U(x), I(x) в заданной точке линии, например в ее начале (х = 0) или в ее конце (x = l).
Из уравнения (1) находим:
|
I (x) |
1 |
|
d I |
|
1 |
( A e- x A |
e x ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z 0 dx |
|
|
Z 0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Z 0 |
|
( A e- x |
A |
|
e x ) |
1 |
( A e- x A |
|
e |
x ) |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
Z c |
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
Z 0 |
Y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
185
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Z |
0 |
|
R |
j L |
|
|
|
|
j c |
|
|
|
|
|
|
|||
где |
Z |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
Z |
C |
e |
– волновое или характери- |
||||||||
Z |
|
Y |
|
Y |
|
G |
|
j C |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
стическое сопротивление линии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Таким образом, решения для искомых функций U(x) и I(x) имеют вид: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U ( x) A e- x |
A e x |
, |
|
(4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( x) |
1 |
|
( A e- x A |
|
e x ) |
. |
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волновое сопротивление
Z C
и постоянная распространения
полу-
чили название вторичных параметров линии. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Выразим постоянные |
интегрирования |
|
A1 |
и |
A2 |
|||||||||
условия начала линии. При |
|
х = 0 |
U (x) U |
1 |
, |
I ( x) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
значения в уравнения (4) и (5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U |
1 |
A A |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
1 |
( A |
A |
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Z C |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через граничные
I |
, подставим эти |
1 |
Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоян-
ные интегрирования:
A1
1 |
(U |
|
|
2 |
1 |
|
I |
1 |
Z |
C |
) |
|
|
|
,
A |
2 |
|
|
|
1 |
(U |
|
|
2 |
1 |
|
I |
1 |
Z |
C |
|
|
)
.
Подставим полученные значения постоянных интегрирования в решения для искомых функций (4) и (5):
U ( x) |
1 |
(U |
|
|
I |
|
Z |
|
)e x |
|
1 |
(U |
|
I |
|
Z |
|
|
)e x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
C |
|
|
1 |
1 |
C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
e |
x |
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
) U ch x I |
|
Z |
|
sh x |
, |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
C |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I ( x) |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
I 1 Z C )e |
- x |
|
1 |
|
|
|
1 I |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
U |
1 |
|
|
|
|
|
( |
U |
1 Z C )e |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
U |
|
|
|
|
e |
x |
|
e |
x |
|
|
|
|
|
e |
x |
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
I |
ch x |
1 |
sh x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Полученные уравнения используются при расчетах цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.
Если принять х = l ,то получим значения параметров режима в конце линии:
186
|
|
|
|
U ch I |
|
|
|
sh |
|
U |
2 |
1 |
Z |
C |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ch |
U |
|
sh |
||
|
I |
|
|
1 |
|||||
|
2 |
1 |
Z C |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Выразим постоянные интегрирования через граничные условия конца линии. Для этой цели в полученных ранее решениях (4) и (5) заменим переменные х на l – y из условия x = l y, где l – длина всей линии, а y – расстояние от конца линии до рассматриваемой точки:
Здесь
U
A3
( y) A e |
|
( y) |
A |
e ( y) A e |
|
|
e y A |
e e y |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
A e e y |
A e e y |
A e y A e y |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
, |
|||
|
|
I ( y) |
1 |
( A e ( y ) |
A |
|
e ( y ) ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( A e e y A e e y ) |
1 |
( A e y A e y ) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
Z |
|
|
|
3 |
4 |
|||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A e |
l |
, |
A |
A |
e |
l |
|
есть некоторые новые постоянные |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
интегрирования.
При y = 0 |
U ( y) U |
|
ные уравнения, получим:
2
,
I ( y) I 2
подставим эти значения в найден-
U |
2 |
A |
3 |
A |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
1 |
|
( A |
|
A |
) |
|
2 |
|
|
3 |
||||||
|
|
Z C |
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования:
A3
1 |
(U |
|
|
2 |
2 |
|
I |
2 |
Z |
C |
) |
|
|
|
,
A4 12 (U 2 I 2 Z c )
Подставляем значения постоянных в решение для искомых функций:
U ( y) |
1 |
(U |
|
|
I |
|
Z |
|
|
|
)e y |
|
1 |
|
(U |
|
|
I |
|
Z |
|
)e y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
C |
|
2 |
2 |
C |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
U |
|
|
e y e y |
|
|
I 2 Z C |
|
|
e y e y |
|
U |
2 ch y I 2 Z C sh y , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I ( y) |
1 |
|
|
1 |
(U |
|
|
|
I |
|
|
|
Z |
|
)e |
y |
|
1 |
(U |
|
I |
|
Z |
|
|
|
)e |
y |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
C |
|
|
|
|
2 |
2 |
C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I 2 |
|
e y e y |
|
|
|
U |
2 |
|
|
|
|
e y e y |
|
|
I |
2ch y |
|
U |
2 |
sh y . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z C |
|
|
187
Полученные уравнения используются при расчете цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.
Если принять y = l, то получим значение параметров режима в начале линии:
|
U |
1 |
U |
2ch l I 2 Z C sh l |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
I 2ch l |
U |
2 |
sh l |
||||||
I 1 |
|
|
||||||||
Z C |
||||||||||
|
|
|
|
|
4. Волновые процессы в линии с распределенными параметрами
Ранее были получены решения для напряжения и тока в установившемся режиме:
|
|
U (x) A e- x A |
|
e x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
I (x) |
|
1 |
( A e- x A e x ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z c |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что постоянные интегрирования и коэффициент |
||||||||||||||||||||||||||||
странения являются комплексными числами ( |
A |
a e |
j |
, |
|
A |
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) преобразуем уравнение для U(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
U ( x) a e |
j |
( j ) x |
a |
|
e |
j |
2 e |
( j ) x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 e |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a e |
x |
e |
j( x |
) |
a |
|
|
e |
x |
e |
|
j( x |
2 |
) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распро-
a |
|
e |
j |
2 |
, |
2 |
|
Перейдем от комплексного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к ее функции времени:
u(x,t) |
2a e x sin( t x ) |
2a |
e x sin( t x |
2 |
) |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
U1m (x) sin( t x 1) U2m (x) sin( t x 2 ) un (x,t) uo (x,t) .
Функция u(x,t) состоит из двух слагаемых, первое из которых представляет собой прямую или падающую волну uп(x,t), а второе обратную или отраженную волну uо(x,t). Проанализируем, как изменяется каждая из волн в пространстве и во времени.
Падающая волна напряжения равна:
un ( x, t) 2a1e x sin( t x 1 ) .
188
В произвольной точке линии |
x x |
|
/ |
по синусоидальному закону с постоянной
const напряжение изменяется амплитудой:
где
U m
u |
n |
( x , t) |
|
|
|
|
|
|
2a e |
- x |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2
a e |
x |
' |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
const |
|
|
|
, |
sin( t
x |
) U |
1 |
m |
|
x |
. |
1 |
|
sin( t
)
,
В произвольно выбранный момент времени |
t t |
|
const |
напряже- |
|
ние вдоль линии изменяется по синусоидальному закону, но с затуханием амплитуды с увеличением расстояния х:
|
|
|
u |
n |
( x, t ) |
2a e- x sin( t x ) U |
m |
( x) sin( x ) |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
где |
U |
|
( x) |
2a e |
- x |
, |
|
. |
|
|
|
|||
m |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
Коэффициент β |
показывает, как изменяется фаза падающей волны |
напряжения на единицу длины линии [рад/м] и называется коэффициентом фазы.
Длиной волны λ называется расстояние ∆х между двумя ближайшими точками линии, которые находятся в одинаковом фазовом состоянии, т.е. через интервал 2π:
β∆x = βλ = 2π, откуда следует
2
.
С течением времени синусоидальное распределение напряжения перемещается вдоль линии. Под скоростью распространения волны или фазовой скоростью понимают скорость перемещения вдоль линии определенного фазового состояния, для чего должно удовлетворяться условие:
|
|
|
|
|
|
|
|
t x |
1 |
const |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продифференцируем члены этого уравнения, в результате полу- |
||||||||||||||||||
чим: dt dx 0 |
, откуда следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
2 f |
|
f |
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
dt |
|
2 / |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Неравенство |
|
n > 0 означает, что падающая волна перемещается в |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
положительном в направлении, т. е. от начала линии к ее концу. |
|
|
||||||||||||||||
Амплитуда |
падающей |
волны |
зависит |
от координаты х: |
||||||||||||||
|
|
|
- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- x |
|
U m ( x) 2a1e |
, она убывает (затухает) по показательному закону |
e |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
в направление возрастания х, т.е. в направлении движения волны. Скорость затухания определяется коэффициентом α, который получил название коэффициента затухания волны [Неп/м].
Коэффициент |
j |
показывает в комплексе характер измене- |
|
ния волны при движении ее вдоль линии, поэтому получил название коэффициента распространения волны.
Характер распространения падающей волны напряжения un ( x, t ) показан на рис. 179.
189
u
un(t )
un(t + t)
v
x
Рис. 155
Отраженная волна напряжения равна:
u |
( x, t) |
o |
|
Фазовая скорость
|
2a |
|
e |
x |
sin( t |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
отраженной волны
x |
2 |
) |
, |
|
|
найдется из уравнения:
t x |
2 |
const. |
|
|
После дифференцирования получим:
dt dx 0
0
, откуда следует
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
0 |
dt |
|
n |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Отраженная волна распространяется с той же фазовой скоростью, что и падающая, но в обратном направлении (знак минус), т.е. от конца линии
к ее началу. Она имеет ту же длину волны 2 . Амплитуда отражен-
ной волны
U |
mo |
( x) |
|
|
2a |
|
e |
x |
2 |
|
||
|
|
|
, при α > 0 убывает (затухает) в направлении
уменьшения координаты х , т.е. в направлении движения волны. Характер распространения отраженной волны показан на рис. 156.
un(t + t) |
uo(t ) |
u |
|
||
|
|
|
v |
|
|
y
Рис. 156
190