27. Магнитное поле Тороида и длинного соленоида

Применим теорему о циркуляции вектора магнитной индукции. Для вычисления Тороида и длинного соленоида.

Тороид – каркас с формой бублика с навитым на него витками проводника по которому течет ток I.

Соленоид – цилиндрическая катушка из большого числа намотанного в плотную проводника с током I.

Тороид: За контур L возьмем окружность радиуса r так, что контур внутри тороида.

Тороид можно рассмотреть как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса и нанизанных на общую o -R круговую ось радиуса R.

По теореме циркуляции имеем μ_0k

т.к. контур L проходит внутри тороида, то он охватывает ток равный 2πRnI, где n – число витков на единицу длины – плотность витков. Из симметрии вектор В в каждой точке направлен по касательной к L, тогда B2πr. Окончательно имеем: В2πr=μ₀2πRnI => B=μ₀ nI. Если внутри тороида среда с магнитной проницаемостью μ, тогда В_тор=μ₀μnI

Соленоид: есть тороид бесконечно большого радиуса, т.е R→∞ N

B_сол=μ₀μnI – магнитное поле соленоида

n=, гдеN – число витков; l – длина соленоида

29. Эффект Холла. Мгд генератор (магнитогидродинамический)

Эффект Холла(1880г) есть возникновение поперечной разности потенциалов в металле или полупроводнике по которым проходит электрический ток и при помещении их в магнитное поле перпендикулярное к направлению тока. Эффект Холла объясняется действием силы Лоренца на носителе тока в проводнике или полупроводнике и позволяет судить о знаке заряда – носителе тока.

На верхнем срезе проводника появляются отрицательные заряды, на нижнем положительные. Если носители тока – положительные заряды, то срезы проводника зарядятся обратным образом. Найдем при этом разность потенциалов ∆φ. Т.к. В⃗ перпендикулярен υ⃗ и В перп. I,

то сила Лоренца F_л=qυB. С другой стороны заряды скопившиеся на верхнем и нижнем слое проводника создадут электрическое поле с напряжением Е и сила со стороны этого поля F_э=qE. Стационарное распределение F_л=F_э => qυB=qE => υB=E.

С другой стороны скорость υ: j=qn₀υ => υ=j/qn₀ E=∆φ/d, тогда

jB/qn₀=∆φ/d, тогда ∆φ=jBd/qn₀, где 1/qn₀ – постоянная Холла = R => ∆φ=RjBd

Изменяя разность потенциалов ∆φ можно определить постоянную Холла R и таким образом определить знак зарядов. В металлах носителем тока являются свободные электроны, но есть исключение: в цинке и кадмии носители заряда(тока) имеют положительный заряд(q>0).

Действие МГД - генератора основано так же на использовании силы Лоренца.

28. Сила Лоренца

Сила Ампера действует на проводник с током, но токи направленное упорядоченное движение зарядов. Тогда сила Ампера должна действовать и на отдельные движущиеся заряды. Найдем исходя из силы Ампера выражение для силы действующей на заряд q движущейся со скоростью со стороны магнитного поля с индукцией- сила Лоренца.

Рассмотрим проводник длиной dl и площадью поперечного сечения S в магнитном поле с индукцией . Пусть ток в проводнике –I. Заряд q со скоростью υ, а n₀ – концентрация зарядов. На проводник с током действует сила А. dF⃗=I[dl⃗;B⃗] Покажем теперь, что элемент тока … Idl⃗ по своим свойствам эквивалентен выражениям: qdnυ⃗ Idl⃗=qdnυ⃗ где q – заряд; dn – число зарядов; υ – скорость их движения. Действительно сила постоянного тока I=jS, где S – площадь поперечного сечения; j – плотность тока. Умножим на dl⃗, тогда

Idl⃗=jSdl⃗=j⃗Sdl => Idl⃗=j⃗dV, а j⃗=qn₀υ⃗dV, где n₀dV=dn – число зарядов, тогда Idl⃗=qdnυ⃗ подставим это выражение в формулу для силы Ампера, тогда получим dF⃗=qdn[υ⃗;B⃗] – сила действующая на рассмотриваемый проводник в котором число зарядов dn, тогда сила действующая на один заряд. F⃗_л=,

F_л=q[υ⃗;B⃗] – сила Лоренца, знак q учитывается.

F⃗_л Направление силы Лоренца определяется согласно правилу векторного произведения:

сила F_л перпендикулярна площади, в которой лежит υ и В. Направление определяется правилом правого винта. Если вращать рукоятку правого винта от первого вектора υ ко второму вектору В на кратчайший угол α, то поступательное движение винта укажет направление силы Лоренца при положительном заряде F_л=qυBsinα=qυBsin(υ⃗,^B⃗) Выражение для силы Лоренца зависит от выбора системы отсчета: если заряд движется со скоростью в электрическом поле с индукцией, то на заряд будет действовать силаF⃗=qE⃗+q[υ⃗,B⃗].

Т.к. сила Лоренца F_л перпендикулярна к скорости заряда, то она не меняет модуль |υ| и потому сила Лоренца работы не совершает и кинетическую энергию заряда не меняет. Действие силы Лоренца лежит в основе работы ускорителей элементарных частиц. Покажем теперь, что магнетизм есть чисто релятивистский эффект, т.е. для этого покажем, что →0 при→0;F_э=qE. Для этого рассмотрим два точечных заряда q₁ и q₂ движущихся параллельно друг к другу с одинаковой скоростью в вакууме.

F_э=ε=μ=1

Сила Лоренца действующая на заряд q₁ в магнитном поле, создаваемом зарядом q₂ равна F⃗_л=q₁[υ⃗,B⃗₂]. Магнитное поле, создаваемое совокупность зарядов dn будет очевидно равно: dB=. Т.к. по закону Савара- Лапласа:dB⃗=, тогда магнитное поле создаваемое одним зарядом:B⃗₂==подставим теперь В⃗₂ в F⃗_л, тогда F_л=, тогда

=μ₀ε₀υ²=, где с==3*10⁸м/с – электродинамическая постоянная => →0, когда→0

Вывод: магнетизм есть чисто релятивистский эффект. В системе Гаусса F⃗=qE⃗+q[,B⃗]