40. Формула Грина

С помощью формулы Грина устанавливают связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и КРИ по границе Lэтой области

Пусть D плоской области ограничена линией L в замкнутой области D, заданы непрерыв фун X(xy) Y(xy) которые имеют непрерыв частные производные.

Пусть граница М состоит из L1 и L2 заданы уравнением наL задан направление движения чтобы этом движ области D … с левой стороны при обходе L против часовой стрелки. Вычислим 2-ой интеграл

Вычислим КРИ по кривой L

Сравним правые части ур (1) и (2)

Аналогично доказ что справедливо след равенство

Сложим (3) и (4)

(5)- формула Грина

44 Ориентированная поверхность. Задачи приводящие к пи-2

Проведем в точку Р поверхностиQ нормаль, фиксир одну из возможных направл этих нормалей. Единичная величина направ по нормалям в установленом на ней направлении обзначается через n(P). Если это возможно сделать то поверхность Q вместе с направ нормалями устанавливает направление ее точки наз ориентир поверх

Задача о вычислении потока жидкости через поверхность. Дана пространственная область, заполненная жидкостью, движущейся со скоростью . Требуется вычислить количество жидкости, протекающей в единицу времени через данную поверхностьРазобьем поверхность наэлементарных частей, площади которых равны, а диаметры. Выберем в каждой некоторую точкуи будем считать, что скорость для всех точек элементарной части одинакова и равна.Количество жидкости, протекающей черезза единицу времени, равно произведению, где– проекция скоростина ось, определяемую единичным вектором нормалик поверхности к точке. Тогда количество жидкости можно найти по формуле, где– углы, образованные нормальюс координатными осями. В результате количество жидкости, протекающей через всю поверхность за единицу времени, приближенно выражается формулой. Проекции элементарной поверхностина координатные плоскостивыражаются следующим образом,,.  Тогда количество жидкости выражается следующим образом. Будем увеличивать число разбиений так, чтобы наибольший из диаметров областейстремился к нулю. Количество жидкости, проходящей через поверхность в единицу времени можно найти по формуле.

45 вычисление поверхностного интеграла второго рода Пусть поверхность определена уравнением, заданным в области– проекции поверхностина плоскость. Тогда поверхностный интеграл второго рода по переменнымиможно свести к двойному интегралу.. Знак зависит от выбора стороны поверхности. Аналогично получаем:,. В общем случае получаемМожно показать связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

46 Векторное поле. Поток вектора через поверхность

Изучение поля скоростей текущей жидкости приводит к понятию потока поля. Рассмотрим простейший случай, когда скорости всех частиц стационарно текущей жидкости одинаковы.

 

Возьмём в этом потоке плоскую площадку .

Объём жидкости, которая протекает в единицу времени сквозь, будет равен объёму цилиндра с основаниеми образующей:, где- единичный вектор нормали к площадке, т. е.. Здесь. Полученный объём

Сделаем обобщение этого элементарного понятия на случай произвольного векторного поля и произвольной поверхности .

Рассмотрим некоторую поверхность в векторном поле. На данной поверхности выделим некоторую достаточно малую область(Рис.9). В этой области возьмём точку,. К поверхностипостроим касательную плоскость, касающуюся поверхности в точке.

На касательной плоскости определим плоскую площадку, равновеликую. Площадкупримем за основание цилиндра, образующие которого равны по длине и параллельны вектору поляв точке.

 Как уже отмечено выше, объём полученного цилиндра даёт элементарный поток через область поверхности 

 

				Определение. Потоком векторного полячерез поверхностьв направлении единичной нормалиназывается предел суммы элементарных потоков через частичные области, когда число частичных областей неограниченно растёт, а длина наибольшей из хорд, стягивающей, неограниченно убывает

 

Рис. 10. Разбиение области на частичные области

 (41)

Этот предел поверхностной интегральной суммы не зависит ни от способа дробления области на частичные области, ни от выбора точекна каждой из них, и равен поверхностному интегралу. Получаем основную формулу потока полячерез поверхностьв направлении единичной нормали

 . (42)