1.Дать определение производной функции. Сформулировать и доказать основное свойство производной функции.

1.Производная функция в данной точке наз. Предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. (Lim(дел.x->0)дельта y/дельта x) =Lim(дел.x->0)f(x0+дельтаx)-f(x0)/дельта x. 2.Основное свойство производной функции:функция имеющая производную в точке является непрерывной в этой точке. Обратное утверждение неверно.

2. Раскрыть геометрический смысл производной функции. Записать и разъяснить уравнения касательной и нормали к кривой.

1. Геометрический смысл производной функции-На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая. Расстояние (дельта)x=x—x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную . Тангенс угла L наклона этой касательной — и есть производная в точке x0. Если функция f:U(x0)->R имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией. 2. Уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой x0 . уравнение касательной y=f(x0)+f'(x0)*(x-x0) Уравнение нормали: y=y0-(1/f'(x0))*(x-x0)

3. Сформулировать правила дифференцирования и записать соответствующие формулы. Дайте определение сложной функции. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции и запишите соответствующую формулу

1.Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является Сложная функция от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). 2. формула и правило дифференцирования сложной функции. Дифф.ф-ии нескольких перем.назыв.главная часть приращ.ф-ии пропорц.приращ.независимых переменных dz=дz/дx *dx+дz/дx *dy

4. Дать определение функции, заданной параметрическими уравнениями. Сформулировать теорему о дифференцировании функции, заданной параметрически, и доказать ее.

1. Функция y=y(x)заданная параметрически - Зависимость величины y от величины x , заданная через зависимость каждой из них от параметра t в виде x=ф(t),y=q(t) 2.Сформулируйте теорему о дифференцировании функции, заданной параметрическими уравнениями: x=x(t); y=y(t) где t -переменная 2.1.Найдем производную у'(основ.-х), считая, что функции имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=ф(х). По правилу дифференцирования обратной функции: t'(основ.x)=1/x'(основ.t) 2.2.Функцию у=f(х), определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=ф(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'(основ.-х)=y'(t)*t'(x). С учетом равенства получаем: y'(z)=y'(t)*1/x'(t)

5. Дать определение неявной функции. Сформулировать правило дифференцирования неявной функции.

1. неявная функция-если каждой паре (x;y) знач.2-ух независимых переменных из области W ставится определ.знач. z, то говорят,что z есть ф-ия 2-ух переменных (x;y) 2. правило дифференцирования неявной функции: Для нахождения производной считаем, что в уравнении y зависит от x ,иначе F(x,y(x))=0. Другими словами дифференцируем уравнение F(x,y(x))=0,считая y сложной функцией, зависящей от x 6. Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл.

2.свойства дифференциала. 1) Дифференциал постоянной равен нулю: dc = 0, с = const. 2) Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых: d(u+v)=du + dv. Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны d(u+c) = du (c= const). 3) Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv + vdu. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала d(cu) = cdu (с = const). 7. Сформулировать свойства дифференциала и записать соответствующие формулы.

1. dc=0; c=const;

2. Диф. алгебраической суммы дифференцируемых ф-ций равен алгебраической сумме дифференциалов этих ф-ций. u=u(x); V=V(x); W=W(x); d(u+v-w) = du+dv-dw.

3. Если две дифференцируемые ф-ции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны между собой. d(u+c) = du+dc=du.

4. Постоянный многочлен выносится за знак дифференциала. D(Cv)=CdV.

5. D(uv) = vdu+udv.

D( ) = .

8. Записать формулы, используемые в приближенных вычислениях с помощью дифференциала и. объяснить их. Привести примеры.

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х

Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)'•∆х,

т. е.

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М•(∆х)², где М — наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х]. 9. Сформулировать и доказать теоремы Ролля, Лагранжа и Коши и их следствия

Теорема Ролля

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

10. Дать понятие о неопределенностях при вычислении пределов и назвать их виды. Сформулировать правило Лопиталя и рассказать об особенностях его применения.

При исследовании ф-ций возникает необходимость найти предел отношения двух ф-ций f(x)/ⱷ(x), причем числитель и знаменатель этой дроби, при х—>a оба стремятся к нулю, или оба стремятся к бесконечности. Тогда мы говорим, что ф-ция имеет неопределенность [0/0], или [∞/∞].

Правило Лопиталя-Бернулли.

Предел отношения двух бесконечно малых, или бесконечно больших ф-ций, равен пределу отношения их производных, при x—>a, конечному, или бесконечному, если он существует.

Правило Лапиталя при опред. условии может применяться несколько раз. Это правило также применяется при раскрытии опред. вида [0*∞]. 11. Дайте определение свойства монотонности функции. Сформулируйте необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции на промежутке и докажите их.

1.) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке (a;b), возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке (a;b) не отрицательная, т.е. f'(x)>=0. Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b) и дифференцируема в промежутке (a;b), причём f'(x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке (a;b). 2.) Правило нахождения промежутков монотонности: Найти производную f'(x) Найти критические точки в которых f'(x)=0 или не существуют по первой производной. Нанести эти точки на числовую прямую Определить знак производной на каждом из промежутков Установить изменение знака производной, при переходе через критические точки Найти F(min) и F(max). 12. Дайте определение точки экстремума функции. Сформулируйте теорему Ферма, необходимые и достаточные условия экстремума и докажите их.

Экстремумы – точка x₀ из области определения ф-ции D(y), наз. точкой максимума (минимума), если имеет место неравенство: f(a)>f(x) (f(a)<f(x)), для любого x, из некоторой Е-окрестности точки а.

Теорема Ферма – если точка x=a явл. точкой экстремума ф-ции y=f(x) и производная, в этой точке сущ., то f’(a)=0.

Точки производной ф-ции. в которых =0, наз. стационарными.

Достаточное условие экстремума – если производная ф-ции, при переходе через точку x=a меняет знак, то а – точка экстремума ф-ции, а именно: если знак производной меняется с плюса на минус, то a – точка max.

Достаточный признак возрастания ф-ции – Если f’(x)=0 в каждой точке интервала I, то ф-ция возрастает на этом интервале.

Достаточный признак убывания ф-ции – Если f’(x)<0 в каждой точке интервала I, то ф-ция убывает на этом интервале.

13. Дайте определение промежутков монотонности функции. Изложите правило нахождения промежутков монотонности и точек зкстремума графика функции.

Если функция f(x), имеющая производную на отрезке (a;b), возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке (a;b) не отрицательная, т.е. f´ (x) ≥0. Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b) и дифференцируема в промежутке (a;b), причём f´ (x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке (a;b).

Правило нахождения промежутков монотонности:

• Найти производную f’(x)

• Найти критические точки в которых f’(x)=0 или не существуют по первой производной.

• Нанести эти точки на числовую прямую

• Определить знак производной на каждом из промежутков

• Установить изменение знака производной, при переходе через критические точки

• Найти F(min) и F(max).

• 14. Дайте определение направления выпуклости кривой .Сформулируйте достаточное условие направления выпуклости кривой.

Направления выпуклости кривой. Кривая наз. выпуклой (вогнутой) вверх (вниз) в точке х=а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под (над) своей касательной.

Достаточное условие выпуклости: Если в некотором промежутке вторая производная ф-ции положительная, то кривая выпукла (вогнута) вниз, т.е. вогнута, ну а если отриц., то прямая выпукла вверх. 15. Дайте. определение точки перегиба графика функции. Сформулируйте необходимые и достаточные условия существования точки перегиба графика функции.

15. Точка перегиба. Точкой перегиба граф. ф-ции наз. точка, в которой меняется направление выпуклости кривой.

Необходимое и достаточное условие сущ. точки перегиба: Если для ф-ции y=f(x) ее вторая производная в некоторой точке х=а обращается в 0 S”(x)=0, и при переходе через эту точку меняет знак, то точка с коэф. (a; f(a)) — явл. точкой перегиба граф. ф-ции.