1.Частные производные, дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.

Пусть функция -- дифференц.,и–ее частные производные (функции от х и у). Производная от частных производных функции(если они существуют)—вторые производные функции . Таким образом:;;--смешанная производная.

Пусть в некоторой окрестности существует частная производная:для функции. И пусть произв.инепрерывны в точке. Тогда они равны.

Пусть функция —дифференц. и—ее дифференциал, функция 4-ех переменных. Зафиксир.иирассмотрим дифференциал от дифференциала. Дифференциал от первого дифференциала от функции(если он существует) назыв. вторым дифференциалом:. Аналогично:–-ый дифференциал функции.

Пусть функция раз дифференц. в некоторой окрестности в точке. Тогда она представляется в этой окрестности в виде:--формула Тейлора, где .

+–приближенное вычисление.

3. Дифференциал функции нескольких переменных.

Пусть функция дифференц. в точке . Линейная, относительно, функция назыв. дифференциалом.

Для функции :

4Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.

Пусть функция дифференц. в точке , а функциив точке. Причем. Тогда сложная функциядифференц. в точке. И ее производная:.

Пусть функция дифференц. в любой точке (u,v) и функции дифференц. в любой точке. Тогда сложная функция--также дифференц., причем ее частная производная :

Дифференцирование неявных функций нескольких переменных.

Пусть функция задана неявно в виде. Т.е.для,--дифференц. Возьмем производную от обеих частей:;

Пусть функция задана неявно в видеВозьмем производную от обеих частей этого равенства:;;

Возьмем производную от обеих частей этого равенства по y:

5 Производная по направлению, градиент(grad)

Функция определена в некот. окрестности точки ,--вектор единичной длины сонаправл. с. Производная по направлению с:.

Пусть --направл. косинусы вектора. Тогда:

—формула производной по направлению.

Градиентом для функции в точкебудем называть вектор, координаты которого:. =>

. Наименьшее значение производной при , тогдапротивопол. направлению. Наибольшее значение производной получается при, т.е. направлениесовпадает с направлением.задает направление наиб. возраст. Функции, а модуль градиента—скорость наиб. возрастания функции.

Касательная плоскость.

Пусть дифференц. в точке. Тогда плоскость--касательная плоскость к поверхности в точке

Если поверхность задана неявно в виде токасательная плоскость к данной поверхности в точке записывается в виде:

Нормаль к поверхности.

Нормаль к поверхности в точке:.

Если поверхность задана неявно в виде тонормаль записывается в виде:

6. Экстремум функции нескольких переменных (необходимое условие).

Пусть функция определена в некоторой окрестностив точке. Точка--локальный максимум (локальный минимум), если выполняется:

Необходимое условие экстремума: пусть точка является локальным экстремумом для функции. Тогда частные производные в этой точке равны 0 или не существуют. Точки, в которых частная производная функции равна 0 или на существует, называютсякритическими точками. Любая точка локального экстремума является критической, а наоборот не верно.

Экстремум функции нескольких переменных (достаточное условие).

Пусть функция определена в некоторой окрестностив точке. Точка--локальный максимум (локальный минимум), если выполняется:

Достаточное условие экстремума: пусть функция дважды дифференцирована в окрестности в своей критической точке(частные производные первого порядка =0 в этой точке). Пусть. Рассмотрим определитель:тогда:

1. если , то точкаявляется точкойлокального минимума;

2. если , то--локальный максимум;

3. если —локального экстремума в нет.