Контрольные задания для самостоятельного решения

Задание 3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом (x, y  0).

Варианты:

1.Z = x - 2y  min 2. Z = -x + y  min

3x + y  8 3x - 2y  7

4x + 5y  29 x + 2y  13

x + 4y  10 x - 2y  1

3. Z = 2x + y  max 4. Z = x - y  max

-x + 2y  3 -2x + 3y  5

-x + y  1 x + 2y  8

3x - 2y  3 3x - y  10

5. Z = 2x + y  max 6. Z = x + y  max

x - y  0 x - y  0

3x - 2y  3 -x + 2y  4

5x - 4y  1 -3x + 4y  2

7. Z = 5x + 2y  max 8. Z = 2x + 4y  max

3x + y  9 3x + y  8

2x + y  7 -x + 3y  4

5x + 2y  17 x + 2y  11

9. Z = 2x + y  max 10. Z = x - y  min

-x + 5y  4 x + 3y  7

x - y  4 2x - y  7

x + y  2 5x + y  7

IV. Двойственность в линейном программировании. Двойственный симплекс-метод

Рассмотрим задачу линейного программирования в общей форме:

Z = c₁ x₁ + c₂ x₂ + . . .+ c_n x_n  max (1)

при ограничениях :

y₁0 a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + . . .+ a_1n x_n  b₁

y₂0 a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + . . .+ a_2n x_n  b₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

y_k0 a_k1 x₁ + a_k2 x₂ + . . .+ a_kn x_n  b_k

y_k+1 a_{k+1 1} x₁ + a_{k+1 2} x₂ + . . .+ a_{k+1 n} x_n = b_k+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y_m a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + . . .+ a_mn x_n = b_m ,

x_j  0 , j = 1, . . . , l; l  n (3)

Каждому i-му ограничению из (2) соответствует переменная y_i так назы­ваемой двойственной задачи к задаче (1) – (3) (показана слева от соответст­вующего ограничения).

Двойственная задача имеет вид:

W = b₁ y₁ + b₂ y₂ + . . .+ b_m x_m  min (4)

при ограничениях :

x₁  0 a₁₁ y₁ + a₂₁ y₂ + . . .+ a_m1 y_m  c₁

x₂  0 a₁₂ y₁ + a₂₂ y₂ + . . .+ a_m2 y_m  c₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

x_l  0 a_1l y₁ + a_2l y₂ + . . .+ a_ml y_m  c_l

x_l+1 a_{1 l+1} y₁ + a_{2 l+1} y₂ + . . .+ a _{m l+1} y_m = c_l+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_n a_1n y₁ + a_2n y₂ + . . .+ a_mn y_m = c_n ,

y_i  0 , i = 1, . . . , k ; k  n (6)

Задачи (1) – (3) и (4) – (6) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой.

Сравнивая две задачи, видим, что двойственная задача по отношению к исходной (прямой) содержит те же самые коэффициенты a_ij, b_i, c_j и состав­ляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция (1) исходной задачи задается на максимум, а целевая функция (4) двойственной задачи – на минимум.

2. Матрица А^Т , составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (5) двойственной задачи получается из матрицы А прямой задачи транспонированием (т.е. заменой строк столбцами):

а₁₁ а₁₂ . . . а_1n a₁₁ a₂₁ . . . a_m1

A = а₂₁ а₂₂ . . . а_2n A^T = a₁₂ a₂₂ . . . a_m2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а_m1 а_m2 . . . а_mn a_1n a_2n . . . a_mn

3. Число переменных в двойственной задаче (4)–(6) равно числу ограниче­ний в системе (2) прямой задачи, а число ограничений в системе (5) двойствен­ной задачи равно числу переменных в прямой задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (4) двойственной задачи являются свободные члены в системе (2) прямой задачи и наоборот.

5. Если переменная x_j  0, то j-ое ограничение в системе (5) двойственной задачи является неравенством “  ”. Если же переменная x_j может иметь любой знак, то j-ое ограничение в системе (5) представляет собой уравнение.

Каждая из задач двойственной пары (1) – (3) и (4) – (6) фактически яв­ляется самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо одна от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач, тем самым находится решение и другой задачи. Существующие зависимости между решениями прямой и двойственной задач характеризуются сформулированными ниже теоремами двойственности.

Теорема 1. (Основная теорема двойственности). Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план причем значения целевых функций задач при их оптимальных планах сов­падают, т.е. Z_max = W_min.

Если же целевая функция одной из задач не ограничена (для исходной (1) – (3) – сверху, для двойственной (4) – (6) – снизу), то другая задача вообще не имеет допустимых решений.

Теорема 2. (Вторая теорема двойственности). Для того, чтобы два до­пустимых решения ипары двойствен­ных задач были их оптимальными решениями, необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системам уравнений:

(7)

Замечание. Соотношения (7) верны только для ограничений в виде неравенств и для неотрицательных переменных.

Двойственный симплекс-метод, как и симплекс-метод, используется при нахождении решения задачи линейного программирования, записанной в кано­нической форме. Вместе с тем двойственный симплекс-метод можно применять при решении задачи ЛП, свободные члены системы ограничений которой могут быть любыми числами (при решении задачи симплексным методом эти числа предполагались неотрицательными).

Опишем алгоритм двойственного симплекс-метода. Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме.

(8)

(9)

(10)

Пусть матрица ограничений А содержит единичную подматрицу порядка m и первые m переменных являются базисными. Среди чиселесть отрицательные. Векторесть решение системы (9). Однако, это решение не является планом задачи (8) – (10), поскольку среди его компонент есть отрицательные числе (т.е. не выполняются ограничения (10)). Исключим базисные переменные из целевой функцииz:

.

Предположим, что

Шаг 1. Составить исходную симплексную таблицу.

№ строки	Базис	x1	…	xm	xm+1	…	xk	…	xn	b
1 l m	x1 xl xm	1 0 0	… … …	0 0 1	a1m+1 alm+1 amm+1	… … …	ak a*lk amk	… … …	a1n aln amn	b1 bl bm
m+1	-z	0	…	0	dm+1	…	dk	…	dn	-do

Шаг 2. Выяснить, имеется ли хотя бы одно отрицательное число среди элементов столбца b. Если нет, то перейти к шагу 8. Иначе – к шагу 3.

Шаг 3. Если отрицательных чисел в столбце b несколько, то выбрать наименьшее. Пусть, для определенности, это число . Строка с номеромl – ведущая.

Шаг 4. Среди элементов ведущей строкиl находят отрицатель­ные. Если таковых нет, то исходная задача не имеет решения. В противном случае перейти к шагу 5.

Шаг 5. Вычислить . Столбец с номеромk – ведущий, - ведущий элемент.

Шаг 6. С помощью ведущего элемента провести одну итерацию метода Жордана-Гаусса.

Шаг 7. Построить новую симплексную таблицу и перейти к шагу 2.

Шаг 8. Задача линейного программирования (8) – (10) решена. По последней симплексной таблице выписать оптимальный план и минимальное значение целевой функции задачи (8) – (10).

Замечание. Если среди чисел есть отрицательные, то следует в системе ограничений (9) преобразовать свободные членыb_j в неотрица­тельные, умножив на (-1) строки, содержащие отрицательные свободные члены и решать задачу (8) – (10) методом искусствен­ного базиса.

Пример. Решить задачу линейного программирования:

Z = 6x₁ + 9x₂ + 3x₃  min

-x₁ + 2x₂ + x₃  2

3x₁ + x₂ – x₃  1 (11)

x_j  0, j = 1, 2, 3.

Решение. Составим для задачи (11) двойственную:

W = 2y₁ + y₂  max

-y₁ + 3y₂  6

2y₁ + y₂  9 (12)

y₁ - y₂  3

y₁ , y₂  0

Для решения задачи (11) двойственным симплекс-методом приведем ее к каноническому виду. Для этого умножим первое и второе ограничения на (-1) и добавим соответствен­но неотрицательные дополнительные переменные x₄  0 , x₅  0:

Z = 6x₁ + 9x₂ + 3x₃  min

x₁ - 2x₂ - x₃ + x₄ = -2

-3x₁ - x₂ + x₃ + x₅ = -1 (13)

x_j  0, j = 1, 2, ..., 5.

Базисными переменными здесь являются переменные х₄ и х₅ . Поскольку все коэффициенты с_j  0 , то критерий оптимальности для этого базисного ре­шения выполнен, однако само решение Х = (0, 0, 0, -2, -1) содержит отрица­тельные переменные, то есть не является допустимым. Естественно попытаться вывести отрицательные (не являющиеся допустимыми) переменные из базиса, сохранив при этом неотрицательность коэффициентов последней строки, так как в этом случае полученное допустимое решение будет являться и оптималь­ным. Такой подход является содержанием двойственного симплекс-метода. Проиллюстрируем его на примере решения задачи (13).

Составим исходную симплекс-таблицу.

Базис	х1 х2 х3 х4 х5	Значение (bi)
x4 x5	1 -2 -1* 1 0 -3 -1 1 0 1	-2 -1
- Z	6 9 3 0 0	0

Вычисляем Из базиса будем выводить пе­ременнуюx₄. Следовательно, первая строка таблицы является разрешающей. Среди элементов разрешающей строки находим отрицательные а₁₂ = -2; a₁₃ = -1.

Определяем Столбец, в кото­ром достигается этот минимум, соответствует переменнойх₃. Этот столбец является разрешающим и разрешающим элементом является элемент а₁₃ = -1. Это делается для того, чтобы элементы последней строки остались неотрицательными. Проводим одну итерацию метода Жордана-Гаусса относи­тельно этого элемента, т.е. из базиса исключаем переменную х₄ и включаем в базис переменную х₃. Новая симплекс-таблица имеет вид:

Базис	х1 х2 х3 х4 х5	Значение (bi)
х3 x5	-1 2 1 -1 0 -2 -3* 0 1 1	2 -3
- Z	9 3 0 3 0	-6

Элемент b₂ = -3 < 0. Следовательно, разрешающей является вторая строка таблицы. Как и ранее, находим

Следовательно второй столбец – разрешающий, переменную х₂ включаем в базис, переменную х₅ исключаем из базиса. Пересчитывая таблицу относи­тельно элемента а₂₂ = -3, получаем новую таблицу:

Базис	х1 х2 х3 х4 х5	Значение (bi)
х3 x2	-7/3 0 1 -1/3 2/3 2/3 1 0 -1/3 -1/3	0 1
- Z	7 0 0 4 1	-9

Среди элементов столбца “Значение” нет отрицательных чисел. В Z – строке также нет отрицательных чисел. Следовательно, найден оптимальный план: Х^* = (0; 1; 0), при этом Z^* = Z_min = 9. По последней симплекс-таблице находим решение двойственной задачи (9). Для этого выясняем, какие перемен­ные задачи (10) входили в исходный базис. В первоначальной таблице это – х₄, х₅. В последней симплекс-таблице находим элементы Z – строки, соответст­вующие этим базисным переменным (с₄ = 4, с₅ = 1) и прибавляем к ним соот­ветствующие коэффициенты исходной целевой функции (с₄ = с₅ = 0). В ре­зультате получаем Y^* = (4; 1), W^* = W_max = 9.