Р е ш е н и е.

1. Изобразим конечно-элементную модель пластинки, все ее расчетные точки и нагрузку (рис. П1).

2. Подготовим исходные данные для расчета пластинки по программе CROSS (только для студентов очной формы обучения).

Длина пластинки	9,5 м
Ширина пластинки	9,5 м
Количество узлов вдоль пластинки	20
Количество узлов поперек пластинки	20
Модуль упругости материала пластинки	14 ГПа
Коэффициент Пуассона материала пластинки	0,25
Толщина пластинки	32 см
Коэффициент жесткости основания	10 МН/м

Нагрузка F, приложенная к ячейке, распределяется по четырем соседним узлам, примыкающим к этой ячейке в виде сил, равных F/4 = 550/4 = 137.5 кН.

Таблица П4.

Значения сил и их место приложения

Нагрузка, кН	Номер вертикали	Номер горизонтали	Нагрузка, кН	Номер вертикали	Номер горизонтали
137,5	1	1	137,5	10	10
137,5	2	1	137,5	11	10
137,5	1	2	137,5	10	11
137,5	2	2	137,5	11	11
137,5	10	1	137,5	1	19
137,5	11	1	137,5	2	19
137,5	10	2	137,5	1	20
137,5	11	2	137,5	2	20

В результате расчета пластинки на упругом основании по программе CROSS получены карты изолиний для прогибов пластинки, изгибающих и крутящих моментов в ее сечениях (рис. П2).

На основе анализа карт изолиний установлено:

– точки пластинки, расположенные в ее левой части, перемещаются вниз, а расположенные в правой части – вверх; максимальный прогиб достигает 15 мм;

– наибольшие изгибающие моменты M_x, M_y и скручивающие моменты M_xy появляются на верхнем и нижнем углах левой части пластинки и достигают 40 кНм;

а

б

б

в

г

г

Рис. П2. Карты изолиний изгибающих моментов M_x – а, крутящих моментов

M_xy – б, изгибающих моментов M_y – в, прогибов W – г.

3. По результатам расчета пластинки, полученной программой CROSS (табл. П3), построим ее упругую ось, эпюры изгибающих моментов M_x, M_y и скручивающих моментов M_xy в сечении I – I (рис. П3).

Учитывая принцип независимости действия сил, и пользуясь данными таблицы П3, вычислим прогибы и моменты в расчетных точках сечения I – I, вызванные силами F = 550 кН.

; ;

;

где - данные из таблицы П3.

В точке (x = 0,25 м, y = 4,75 м)

; ;

; .

В точке (x = 1,75 м, y = 4,75 м)

; ;

; .

В точке (x = 3,25 м, y = 4,75 м)

; ;

; .

В точке (x = 4,75 м, y = 4,75 м)

; ;

; .

В точке (x = 6,25 м, y = 4,75 м)

; ;

; .

В точке (x = 7,75 м, y = 4,75 м)

; ;

; .

В точке (x = 9,25 м, y = 4,75 м)

; ;

; .

По эпюрам (рис. П3) видно, что в сечении I-I наибольший прогиб W появляется в средней части пластинки и достигает 2,09 мм. Вблизи левого и правого краев наблюдается прогиб пластинки вверх, что указывает на возможный отрыв пластинки от основания. Большие изгибающие моменты M_x и M_y появляются в средней части пластинки, которые вызывают растяжение ее нижних слоев. Наибольшие крутящие моменты наблюдаются вблизи левого и правого краев пластинки, а в ее средней части он равен нулю.

4. К пластинке приложены четыре силы F = 550 кН в расчетных точках

1 – x_F = 0,25 м, y_F = 0,25 м; 2 – x_F = 4,75 м, y_F = 0,25 м;

5 – x_F = 4,25 м, y_F = 4,25 м; 7 – x_F = 0,25 м, y_F = 9,25 м;

Вычислим изгибающие и крутящие моменты в этих точках от совместного действия всех четырех сил. Для этого используем результаты расчета пластинки по программе CROSS, приведенные в таблице П3.

В точке 1 M_x = (9,17 - 4,04 + 0,66 - 0.17)550/1000 = 3,09 кНм/м;

M_y = (9,17 - 3,78 + 0,66 - 0,07)550/1000 = 3,29 кНм/м;

M_xy =(70,58 - 4,89 + 1,01 - 0,16)550/1000 = 36,60 кНм/м.

В точке 2 M_x = (-32,26 + 140,00 + 1,92 + 0,24)550/1000 = 60,44 кНм/м;

M_y = (-3,31 + 6,67 - 1,02 + 0,10)550/1000 = 1,34 кНм/м;

M_xy =(11,66 + 0,00 + 0,00 + 0,63)550/1000 = 6,76 кНм/м.

В точке 3 M_x = (-2,71 - 0,44 + 78,03 - 2.71)550/1000 = 39,70 кНм/м;

M_y = (-2,71 - 11,43 + 78,03 - 2.71)550/1000 = 33,65 кНм/м;

M_xy =(0,10 + 0,00 + 0,00 - 0,10)550/1000 = 0,00 кНм/м.

В точке 4 M_x = (-0,17 + 0,11 + 0,66 + 9,16)550/1000 = 5,37 кНм/м;

M_y = (-0,07 + 0,16 + 0,66 + 9,16)550/1000 = 5,45 кНм/м;

M_xy =(0,16 - 0,13 - 1,01 - 70,38)550/1000 = -39,25 кНм/м.

Выберем точку 2 и проведем исследование в ней напряженно-деформированного состояния. Определим давление местной нагрузки на поверхность пластинки, принимая площадку приложения нагрузки квадратной со стороной равной 0,25 м.

.

Определим поперечные силы от местной нагрузки F

.

Найдем момент инерции сечения шириной в один метр.

.

Вычислим максимальные нормальные напряжения от изгибающих моментов, которые появляются в точке 2 M_x = 60,44 кНм и

M_y = 1,34 кНм.

;

.

Вычислим касательные напряжения от крутящего момента в точке 2

M_xy = 6,67 кНм

.

Определим максимальное нормальное напряжение от местной нагрузки

p = 8,80 МПа _z = - p= - 8,80 МПа

Вычислим максимальное касательное напряжение, вызванное поперечными силами Q_zx и Q_zy

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений, вызванные внутренними силами в рассматриваемой расчетной точке 2

5. В окрестности выбранной точки 2 на верхней поверхности пластинки вырежем элементарный объем в форме кубика, покажем все напряжения, действующие на его площадках, и запишем тензор напряжений

На всех площадках элементарного объема действуют напряжения (рис.П7). Поэтому материал в окрестности исследуемой точки испытывает объемное напряженное состояние.

Вычислим инварианты тензора напряжений

Решим кубическое уравнение (7)

.

Сделаем подстановку и приведем уравнение к виду

.

Здесь новые коэффициенты равны

Определим параметр , знак которого должен совпадать со знаком q

Вычислим вспомогательный угол 

Корни промежуточного уравнения равны

Проверим решение промежуточного уравнения

Вычислим значения главных напряжений

Расставим индексы главных напряжений в соответствии с условием

.

Проверим полученные значения главных напряжений, вычислив по их значениям инварианты.

Определим положение главных площадок. Так как на верхней (нижней) площадке касательные напряжения отсутствуют, то эта площадка и нормальное напряжение , действующее на ней, являются главными. Следовательно,

Найдем положение главной площадки, на которой действует

. Для этого воспользуемся первым уравнением системы (5), разделив его на m₁,

и учтем, что n₁ = 0, получим

.

Отсюда имеем

.

Учитывая, что , найдем направляющие косинусы

Аналогично определим направляющие косинусы для площадки, где действует главное напряжение ₂ = 3,586 МПа.

l₂ = 0,994; m₂ =0,112; n₂ = 0.

Проверим ортогональность (взаимно перпендикулярность) главных площадок.

Очевидно, что ортогональность соблюдается. Покажем положение главных площадок в окрестности точки 2 (рис. 19).

6. Используя теория прочности Губера-Мизеса-Генки, определим допускаемую нагрузку F_adm, из условия наступления предельного состояния в окрестности расчетной точки 2.

где _dan – опасное напряжение, соответствующее предельному состоянию материала, полученное при испытании на осевое растяжение

_dan = _y = 20 МПа;

_i – интенсивность напряжения

Вычислим допускаемую нагрузку