1.7. Принцип неопределенности

Когда отдельные электроны падают поодиночке на двойную щель, каждый из них описывается как если бы «волна вероятности» одновременно проходила через обе щели. Интерференция на экране обеих частей каждой волны и определяет наблюдаемое распределение вспышек. Но электрон вместе с тем есть частица и поэтому неделим. Невозможно представить себе часть электрона и часть заряда электрона. Интуитивно мы понимаем, что электрон не может одновременно пройти через две щели. Нельзя ли поставить такой эксперимент, который позволил бы узнать, через какую щель прошел электрон?

Если за одной из щелей расположить очень тонкий детектор, сквозь который электроны могут проходить, давая об этом сигнал, то можно регистрировать и вспышку на экране и регистрировать щель, через которую прошел электрон. Оказывается, что картина регистрируемых вспышек в таком эксперименте совпадает со случаем одной щели. Таким образом, датчик полностью разрушает интерференцию от двух щелей.

Изменим эксперимент и уберем датчик с пути электрона. Установим позади одной из щели источник света. Регистрируя фотон, рассеявшийся на прошедшем через щель электроне, будем фиксировать место падения электрона на экран. И в этом случае результат остается прежним. Действительно, какой бы метод регистрации электрона, прошедшего через данную щель, ни использовали, интерференционный эффект всегда будет исчезать.

Таким образом, интуиция подводит нас. Привычка представлять себе электрон в виде классической частицы вступает в противоречие с природой. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг пришел к мыли, что в природе должен существовать общий принцип, ограничивающий возможности любых экспериментов. Этот принцип получил название принципа неопределенности.

О чем говорит принцип неопределенности? Под частицей понимают нечто локализованное в пространстве. Согласно классической теории, частица в каждый момент занимает вполне определенное положение и имеет точно определенную скорость движения. Попытаемся применить эти представления к элементарной частице, например, к электрону.

Рассмотрим задачу о том, как локализован электрон хотя бы в одном измерении. Для этого пропустим пучок электронов (если угодно, поодиночке) через узкую щель шириной (рис.1.17).

Таким путем мы локализуем электроны в направлении с точностью до величины. Начальный импульс электроновнаправлен вдоль оси.

Рис. 1.17. Распределение частоты попаданий электронов при прохождении через одну щель

При прохождении через щель электронные волны дифрагируют и падают на экран на расстоянии от щели, образуя на нем дифракционную картину. Эта картина в точности совпадает с дифракцией световых волн той же длины. Можно условно определить «ширину» дифракционной картины как расстояниемежду двумя первыми минимумами по обе стороны от центрального максимума. Таким образом, если электрон в результате дифракции приобретает поперечный импульс, величина которого заключена в интервале отдо, как показано на рис.1.17, то он попадет на экране в область размеромвозле центрального максимума.

Расстояние от центрального максимума до первого минимума в дифракционной картине от одной щели равно

, (1.17)

где - длина волны падающего излучения. Для электронов она связана с импульсом соотношением де Бройля

. (1.18)

Из подобия треугольников на рис.17 находим

или, (1.19)

где - импульс электрона вдоль осипосле дифракции. Поскольку даже наибольший угол дифракции мал,практически равнои поэтому можно без заметной ошибки заменитьна. Тогда, подставляя выражения дляив формулу (1.19) найдем

или, (1.20)

так что окончательно

. (1.21)

Иначе говоря, мы не знаем точно в какое место экрана попадет отдельный электрон; мы знаем лишь, что большинство электронов попадет в область размером вокруг центрального максимума. Поэтому величинуможно рассматривать как неопределенность, вносимую в значение импульса отдельного электрона дифракцией. Неопределенность же начального положения электронапросто равна ширине щели. Следовательно, соотношение (1.21) говорит, что произведение неопределенности координаты частицыв направлениии неопределенность импульса частицыв том же направлении равно постоянной Планка.

В действительности проведенный расчет был довольно грубым и поэтому можно лишь утверждать, что упомянутое произведение весьма приближенно равно этой постоянной

. (1.22)

Если мы захотим определить местонахождение электрона более точно, то это можно сделать, взяв более узкую щель. Но при уменьшении должно возраститак, чтобы их произведение осталось постоянным, как этого требует принцип неопределенности. Иначе говоря, более точно локализовав электрон, мы оплатим более точное знание его местонахождения уменьшением точности в определении его импульса. И наоборот, если мы определяем с высокой точностью импульс (скорость) электрона, то такое измерение лишает нас возможности точно узнать, где находится электрон после измерения.

Важно понимать, что принцип неопределенности относится к проблеме предсказания событий. Когда электрон проходит через щель, мы знаем лишь, что он попадет на экран в область размером около центрального максимума, а значит, неопределенность в его поперечном импульсе составит. После того как электрон попал на экран, мы знаем, где это произошло по вспышке света. Однако до того, как это имело место, мы можем задать только вероятность вспышки света в какой-либо точке экрана. Квантовая теория не может предсказать результат отдельного события, однако она дает с большой точностью средние значения для большого числа событий. В этом и состоит основной смысл принципа неопределенности.

Принцип неопределенности является одним из проявлений корпускулярно-волнового дуализма излучения и вещества. Волну нельзя локализовать в пространстве, и поэтому любое измерение положения объекта, обнаруживающего волновые свойства, принципиально сопряжено с неопределенностью. Принцип Гейзенберга дает количественное выражение этой неопределенности. Нильс Бор высказал утверждение, что если в каком-либо эксперименте мы можем наблюдать одну сторону физического явления, то мы одновременно лишены возможности наблюдать дополнительную к первой сторону явления. Это утверждение получило название принципа дополнительности Бора.