1.6. Волновые функции

Как следует из вышесказанного, взаимодействие электронов и фотонов с веществом выражается только на языке вероятностей. Следовательно, нужно соответствующее математическое описание таких процессов. Для этой цели вводится волновая функция частицы или фотона, которая используется для вычисления вероятности того, что частицу или фотон можно обнаружить (по их взаимодействию с веществом) в данной точке. Говорят, что в точкеамплитуда вероятности частицы равна.

Каков смысл амплитуды вероятности и как ее использовать для вычисления вероятности нахождения частицы в какой-либо точке? При распространении электромагнитной волны происходят колебания напряженностей электрического и магнитного полей. В механической волне колеблются частицы вещества. Что же колеблется в квантовомеханической волне? Волновой функции нельзя дать классического (т.е. механического или электромагнитного) толкования, т.к. не существует того, что совершало бы колебания. Функцияне имеет прямого физического смысла – это лишь математическая функция, хотя во многом и сходная с амплитудой механических или электромагнитных волн.

В классической теории энергия совершающего колебания тела пропорциональна квадрату амплитуды. Энергия электромагнитной волны пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. В квантовой механике мы тоже имеем дело с интенсивностями, в частности, интенсивность квантовомеханической волны в какой либо точке есть вероятность найти частицу или фотон в этой точке. Вычисляя эту интенсивность (т.е. вероятность), нужно брать квадрат квантовомеханической волновой функции, амплитуда которой равна .

Рис.1.12. Пучок, проходящий через две щели

Рассмотрим пучок электронов, падающих на две щели рис.1.12.

В точке экрана волновая функция равна.

Для вычисления вероятности того, что электрон попадет на экран в области около точки(т.е. для вычисления интенсивности потока электронов в этом месте экрана) мы должны возвестив квадрат и умножить эту величину на ширину интервалаи соответствующий множитель пропорциональности

. (1.11)

Амплитуду вероятности нельзя непосредственно измерить; измерению поддается только пропорциональная интенсивность или плотность вероятности. Поэтому реальное физическое значение квантовомеханическая волновая функцияобретает только в виде.

В классической теории дифракционную картину от двух щелей можно описать как результат интерференции волн от отдельных щелей. Аналогично для волновых функций и, которые описывают электронные волны, исходящие от двух щелевых источников, вероятность найти электрон в точкеили интенсивностьпотока электронов в этой точке равна

, (1.12)

т.е. при вычислении интенсивности амплитуды исначала надо сложить, а затем сумму возвести в квадрат. Это чрезвычайно важный момент, так как волновая функция имеет знак, т.е. может быть как положительной, так и отрицательной. Например, еслииусловные единицы, то вероятность обнаружения электрона в точкеравна нулю:.

Однако если и, то интенсивность.

В квантовой механике на энергию свободной частицы, движущейся в пространстве, не накладывается никаких ограничений. Такая частица может иметь любую длину волны и любую кинетическую энергию в нерелятивистском случае (в случае классической механики) определяется выражением

. (1.13)

Отсюда видно, что зависимость между кинетической энергией и импульсом является квадратичной и на графике имеет вид параболы (рис.1.13), каждая точка которой характеризует разрешенную энергию для частицы и соответствующий этой энергии импульс.

В случае свободной частицы нет различий между классической и квантовой механикой – частица может иметь любую энергию. Однако если каким-либо образом ограничить движение частицы, то обе теории уже не будут приводить к одинаковым результатам. Рассмотрим частицу, которая может двигаться только вдоль прямой по оси междуи. С точки зрения классической физики частица движется между двумя непроницаемыми стенками, непрестанно совершая прямолинейное движение в направлениии. В этом случае не существует никаких ограничений на энергию, которую может иметь частица. Энергия и импульс частицы связаны соотношением (1.13), и разрешена любая их комбинация, удовлетворяющая этому соотношению.

Рис.1.13. Зависимость кинетической энергии свободной частицы от ее импульса

Рассмотрим движущуюся в аналогичных условиях квантовую частицу (например, электрон). Теперь необходимо принять во внимание волновые свойства частицы и, в частности, исследовать те условия, которые накладывает на волновую функцию наличие стенок. Волновая функция частицы должна обращаться в нуль прии, поскольку частица не имеет права покинуть эти границы. Еще говорят, что частица помещена в одномерный «ящик». Посколькудолжна быть равна нулю везде вне «ящика», то это распространяется и на его стенки. Другими словами в ящике должны помещаться стоячие волны де Бройля, т.е. на длинеукладывается целое число длин волн. Следовательно, длины волндолжны удовлетворять соотношению

(1.14)

Четыре первые из разрешенных волн показаны на рис.1.14.

Рис.1.14. Разрешенные волны квантовой частицы в «ящике»

Вероятность обнаружить частицу в какой либо точке внутри «ящика» пропорциональна . Эта величина дляпредставлена на рис.1.15.

Рис.1.15. Амплитуда вероятности и плотность вероятнстидля случая

Видны четыре области, где можно с большой вероятностью обнаружить частицу, а также области, где эта вероятность равна нулю, причем не только на стенках, но и внутри «ящика». Совершенно ясно, что этот результат противоречит классическим представлениям.

Можно вычислить энергии, соответствующие разрешенным длинам волн, используя соотношение де Бойля и выражение (1.14). Разрешенные импульсы равны

(1.15)

а соответствующие им энергии

,(1.16)

Получен очень важный результат: частица в «ящике» может обладать только определенными значениями энергии. В отличие от классического результата, в котором зависимость отвыражалась «сплошной» параболой, квантовый результат гласит, что на этой параболе частице «доступны» только отдельные точки (рис.1.16).

Рис.1.16.Зависимость кинетической энергии квантовой частицы ее импульса

Второй важный результат состоит в том, что частице запрещено иметь нулевую кинетическую энергию, т.е. частица внутри «ящика» не может находиться в покое. Покоящаяся в «ящике» частица имела бы равный нулю импульс и, следовательно, бесконечно большую волну де Бройля, которая не уместилась бы в «ящике» конечных размеров. Поэтому нет такой квантовой системы (за исключением абсолютно свободной частицы), которая имела бы нулевую кинетическую энергию. Даже при абсолютном нуле, когда согласно классической теории всякое движение должно прекратиться, квантовые системы все еще обладают кинетической энергией.

Частицу в «ящике» можно считать находящейся в потенциальной яме, внутренности которой соответствует конечная потенциальная энергия, а стенкам ящика и внешней области - бесконечно большая потенциальная энергия. Поэтому частица никогда не может покинуть «ящик», ибо для этого она должна иметь бесконечно большую энергию.

Реальные потенциальные ямы не имеют бесконечно высоких стенок, и частицы, приобретая достаточную энергию, могут покинуть их.

Для потенциальных ям разных типов получаются различные значения дозволенных энергий и расстояний между стенками. Если стенки ямы не являются непроницаемыми, то волновая функция не должна обращаться в нуль на стенках ямы, т.е. может происходить некоторая «утечка» волновой функции за пределы ямы. При этом в яме по-прежнему существуют стоячие волны и значения энергии по-прежнему дискретны.