3.4. Масса и энергия

В случае, когда , уравнение (3.23) можно записать как

. (3.25)

Умножая обе части этого соотношения на и замечая, что

, (3.26)

находим

. (3.27)

Член есть классическое выражение для кинетической энергии. Членвыражает, очевидно, некое внутреннее свойство тела, поскольку он зависит только от массы покоя. Эта величина называется энергией покоя или собственной энергией тела. Сумма энергии покоя и энергии движения есть полная энергия тела

. (3.28)

Если не мало по сравнению со скоростью света, то в правой части (3.27) появляются дополнительные слагаемые, являющиеся дальнейшими членами разложения множителяпо степеням. Тем не менее, разность между полной и собственной энергиями по-прежнему равна кинетической энергии, и соотношение (3.28) по-прежнему верно.

Это и есть знаменитое соотношение Эйнштейна между массой и энергией

, (3.29)

где - полная (собственная+кинетическая) энергия тела.

Релятивистское возрастание массы существенно для электрона даже при сравнительно небольших его кинетических энергиях вследствие того, что собственная энергия электрона составляет всего лишь 0,511 МэВ. Поэтому уже при электрона порядка нескольких десятков кэВ следует использовать релятивистское уравнение движения. Протоны же имеют энергию покоя 938 МэВ, так что даже при энергии 10 МэВ они все еще «нерелятивистские», поскольку относительное приращение их массы при этом составляет лишь около 1%.

3.5 Общая теория относительности

До сих пор рассматривалось движение с постоянной скоростью. При рассмотрении ускоренного движения необходимо обратиться к общей теории относительности, которая имеет более широкий смысл, нежели релятивистское описание ускоренного движения; она является теорией гравитации.

В современном виде общая теория относительности может сделать всего лишь несколько предсказаний, причем к настоящему времени ни одно из них не имеет экспериментального подтверждения.

Первый постулат, рассмотренной нами ранее специальной теории относительности, гласит, что все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. В общей теории относительности высказывается гораздо более решительное утверждение:

Все физические законы можно сформулировать так, что они окажутся справедливыми для любого наблюдателя, сколь сложное движение он не совершает.

Если допустить, что наблюдатель совершает сложное ускоренное движение, то математическое выражение физических законов в его системе тоже усложнится.

Первый важный вопрос, с которым имеет дело общая теория относительности, касается эквивалентности гравитационного поля и ускоренного движения. Если в лаборатории, находящейся на Земле, выпустить из рук предмет, то он будет падать вниз под действием земного притяжения. А теперь вынесем лабораторию в космос, где нет гравитационного притяжения Земли. Поместим ее в ракете, двигающейся с ускорением , равным по величине ускорению силы тяжести на Земле. Если двигатель ракеты расположен под полом лаборатории, то пол будет ускоряться в направлении предмета, который мы выпускаем из рук. Если ограничиться наблюдением движения предмета относительно пола, то в обоих случаях ускоренное движение будет одним и тем же и наблюдатель никогда не сможет их различить.

Эйнштейн ввел это рассуждение в свою общую теорию относительности, постулировав принцип эквивалентности:

Не существует эксперимента, с помощью которого можно было бы отличить действие гравитационного поля от действия ускоренного движения по отношению к «неподвижным» звездам.

В эксперименте на Земле мы имеем дело с гравитационной массой, а в ракете с инертной массой. Если бы между этими массами имелось бы различие, то наблюдатель смог бы выяснить, находится ли он в поле силы тяжести Земли или же ускоряется в космическом пространстве. Другими словами, принцип эквивалентности требует, чтобы . Эксперименты доказали справедливость этого равенства с точностью до 10^-11.

Когда Эйнштейн разрабатывал общую теорию относительности, он предложил два способа ее экспериментальной проверки. Эти проверки связаны с аномалиями движения внутренних планет Солнечной системы, в особенности Меркурия, и с поведением электромагнитных волн, в частности световых лучей, вблизи таких массивных тел, как Солнце. Опишем эти два способа и их современные уточнения.

По астрономическим наблюдениям перигелий Меркурия смещается в пространстве (т.е. прецессирует) со скоростью, большей, чем та, которая предсказывается классической динамикой. После учета возмущений со стороны других планет остается «чистая» прецессия, скорость которой составляет за столетие. Если для вычисления эффектов, связанных с замедлением течения времени, использовать специальную теорию относительности, то рассчитанное значение скорости прецессии составит только половину наблюдаемого. Эйнштейн на основе общей теории относительности получил значение. Блестящее совпадение между вычисленным и наблюдаемым значениями явилось наиболее выдающимся успехом общей теории относительности.

Общая теория относительности предсказывает, что когда луч света проходит вблизи массивного тела, его путь должен слегка искривляться. Этот результат можно качественно понять, помня, что электромагнитное излучение, в том числе и свет, имеют энергию, и этой энергии соответствует масса. Следовательно, гравитационное поле может воздействовать на свет и искривлять его путь точно таким же образом, как массивное тело действует на пролетающую мимо него быструю частицу. Поскольку свет распространяется с огромной скоростью, это «притяжение», по существу, действует на него лишь в течение короткого времени, и в результате отклонение света от прямолинейного пути мало даже при прохождении возле такого массивного тела, как Солнце. Как показали астрономические измерения, отклонение света оказалось равным .

Если выпустить из рук какой-либо предмет, то он начинает падать вниз под действием поля тяготения, ускоряться и набирать кинетическую энергию. Аналогично, «падая» в гравитационном поле, будет набирать энергию и свет благодаря наличию у него массы, связанной с энергией излучения. Увеличение кинетической энергии падающей частицы обусловлено возрастанием ее скорости. Поскольку свет всегда распространяется со скоростью , увеличение его энергии связано с возрастанием частоты световой волны. Справедливо и обратное: если направление распространения света противоположно направлению вектора напряженности гравитационного поля (или его силовых линий), то свет будет терять энергию, а его частота будет понижаться. Видимый свет, испускаемый Солнцем, имеет пониженную частоту или, то же самое, увеличенную длину волны, смещенную к красному концу спектра. Величина этого смещения мала, однако сравнивая длины волн ряда линий в спектре излучения Солнца с длинами волн тех же линий, полученных в лаборатории на Земле, удалось с точностью 10% подтвердить предсказываемую теорией величину смещения.

Попробуем вывести выражение для относительного изменения частоты вследствие гравитационного красного смещения, используя как положения ньютоновской механики, так и эйнштейновское соотношение между массой и энергией. Поскольку энергия световой волны пропорциональна ее частоте, относительный сдвиг частоты равен относительному изменению энергии

. (3.30)

Но , а изменение энергии вследствие изменения положения в однородном гравитационном поле напряженностьюна величинуравно. Следовательно

, (3.31)

откуда

. (3.32)

Для лабораторной проверки этого соотношения электромагнитное излучение, испущенное атомными ядрами, регистрировалось после его «падения» в поле Земли на величину . Предсказываемое теорией смещение частоты равно

. (3.33)

Это невероятно малое изменение частоты удалось измерить с точностью 1% с помощью особого рода селектора частот ядерных излучений (основанного на эффекте Мёссбауэра).

Периодический характер колебаний в электромагнитных, в том числе световых, волнах позволяет рассматривать эти волны в качестве своего рода часов. Пусть имеются два наблюдателя, один из которых находится в сильном гравитационном поле вблизи Солнца, а другой - в слабом поле в космической лаборатории. Оба наблюдателя имеют в своем распоряжении одинаковые атомные источники света и эталонные часы. Каждый наблюдатель регистрирует число колебаний в своем источнике за определенный промежуток времени, используя свои эталонные часы. Когда они затем сравнивают свои результаты, выясняется, что наблюдатель в сильном гравитационном поле насчитал большее число колебаний (т.е. более высокую частоту света), чем наблюдатель в слабом поле. Наблюдатели приходят к заключению, что для того чтобы в сильном поле за заданный промежуток времени произошло большее число колебаний, часы в этом поле должны идти медленнее. Отметим, что в отличие от замедления течения времени в специальной теории относительности оба наблюдателя делают вывод, что часы отстают в сильном поле, так что теперь в полученных ими результатах нет никакой симметрии.

Поскольку эффекты силы тяжести и ускорения неотличимы друг от друга, мы вынуждены принять, что ускоренно движущиеся часы идут медленнее часов в инерциальной системе отсчета. Это касается и «биологических часов», т.е. жизненных периодических процессов, например, в организме космонавта.

Ранее мы говорили, что ускоренно движущийся электрический заряд испускает электромагнитное излучение. Не должно ли в таком случае движущееся массивное тело создавать гравитационные волны? Общая теория относительности отвечает на этот вопрос положительно. Однако количество излучаемой при этом энергии столь мало, что для регистрации гравитационного излучения даже от взрывающихся звезд требуется предельно чувствительная аппаратура.

Эйнштейн всю свою жизнь пытался обосновать идею о том, что всю физическую Вселенную можно описать на основе лишь геометрии. Это относится и к гравитации.

Рассмотрим двух «двумерных» физиков, т.е. существ, знающих, что такое длина и ширина, но не имеющих никакого представления о высоте. Они живут и работают в своем плоском мире. Но допустим, что их перенесли на поверхность Земли и расположили в разных точках на экваторе (рис. 3.10). Отсюда они начали путешествие на север по параллельным дорогам. Пройдя по этим дорогам путь , оба физика неожиданно обнаружили, что расстояниемежду ними стало меньше, чем в момент начала их путешествия.

Рис. 3.10. Схема движения «двумерных» физиков

Они приходят к заключению, что их притягивает некая «сила» и присваивают этой «силе» наименование гравитация.

Разумеется, здесь нет никакой «силы» - физиков ввело в заблуждение то обстоятельство, что их геометрия криволинейная, в то время как для описания своего положения они использовали евклидову геометрию на плоскости. То же самое происходит в нашем реальном мире. Если мы настаиваем на том, что Вселенная может быть описана геометрией Евклида, то возникает таинственная сила – гравитация, происхождение которой мы не можем объяснить. В общей же теории относительно все эффекты гравитации приписываются неевклидову характеру геометрии Вселенной. Наличие во Вселенной вещества искажает геометрию, и вещество заявляет о своем присутствии посредством «гравитационной силы».