3.2 Преобразования Лоренца

Эйнштейн показал, что все кажущиеся противоречия между механикой и электродинамикой систем можно устранить, если построить теорию на основе двух постулатов:

1. Все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

2. Скорость света (в пустоте) одинакова с точки зрения всех наблюдателей независимо от движения источника света относительно наблюдателя.

Основанная на этих постулатах теория, применяемая ко всем системам, движущимся без ускорения, была названа специальной теорией относительности.

Из этих двух постулатов Эйнштейна можно вывести уравнения, которые связывают значения пространственных координат и времени в двух системах, движущихся равномерно друг относительно друга. Эти уравнения сходны с уравнениями преобразования Галилея, но приводят к существенно иным результатам, когда скорость относительного движения становится сравнимой со скоростью света.

Указанные преобразования впервые были получены Лоренцом и поэтому называются преобразованиями Лоренца. Если относительное движение двух систем отсчета происходит в направлении их осей (как на рис.3.1), то значения пространственных координат и времени в обеих системах связаны соотношениями

(3.7)

где использовано общепринятое обозначение .

Для того, чтобы можно было использовать эти уравнения, наблюдатели в системе идолжны иметь одинаковые инструменты для измерения времени и линейных размеров пространства. Наблюдатели должны запустить часы одновременно в тот момент, когда начала обеих систем отсчета совпадают.

Соотношения (3.7) означают, что когда наблюдатель в системе , измеряя координаты и время какого-либо события, приписывает им значенияи, наблюдатель в системе, проведя точно те же измерения, получает в своей системе отсчета результатыи. Отметим, что пространственные координаты в направлениях поперек относительно движения обеих систем отсчета остаются одними и теми же в обеих системах.

Когда относительная скорость мала по сравнению с, так что, множительпрактически равен единице, а членстановится пренебрежимо малым. Иначе говоря, при<<преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Рассмотрим два наиболее важных следствия теории относительности – сокращение длины и замедление течения времени.

Пусть стержень длинной , расположенный вдоль осисистемы отсчетатак, что один его конец «упирается в началоэтой системы (рис.3.7).

Чему равна длина этого стержня по измерениям наблюдателя в системе ? Наблюдатель в системепроизводит это измерение, определяя время, за которое начало его системыпроходит вдоль стержня. Этот интервал времени отсчитывается им от момента, когда начала обеих системисовпадают.

Рис. 3.7. Схема лоренцова сокращения длины

В этот момент и. Когда начало координат, двигаясь со скоростью, достигает конца стержня, часы в системепоказывают, а в системевремя соответственно. Наблюдательвидит, что началопрошло путьсо скоростью, так что

. (3.8)

Интервал времени, измеренный наблюдателем ,

(3.9)

поскольку и. Подставив сюда вместоего величину, получим

, (3.10)

умножая это выражение слева и справа на и замечая, чторавно- длине с точки зрения наблюдателя, находим

. (3.11)

Таким образом, наблюдатель, движущийся относительно стержня, увидит его более коротким (так называемое Лоренцово сокращение длины) по сравнению с тем, что видит наблюдатель покоящийся относительно стержня. Аналогично, наблюдатель в системе видит сокращение такого же стержня, неподвижного в системе.

Движущийся и неподвижный наблюдатели получат не только разные значения длин, измеряемых ими тел, но и не смогут прийти к согласию относительно скорости хода часов в обеих системах отсчета.

Изготовим «эталонные часы». Для этого на расстоянии от начала отсчета вдоль осирасположим зеркало, как показано на рис.3.8,а.

В начале системы отсчета поместим источник и приемник света. В качестве стандартной единицы времени примем промежуток времени, необходимый свету для распространения от источника к зеркалу и возвращения к приемнику света. Наблюдатель в системе , включив лампу в момент, обнаружит, что свет вернется в начало системы отсчета в момент

. (3.12)

Рис.3.8.Схема замедления течения времени

Точно такие же часы установим в системе отсчета так, чтобы наблюдатель ввидел, как они «идут». Системадвижется относительно системывдоль осисо скоростью. Зеркало установлено по осис той целью, чтобы избежать лоренцова сокращения длины. В момент, когда началаиобеих систем совпадают (), срабатывает лампа-вспышка в часах системы. Поскольку системадвижется относительно системы, наблюдатель вотмечает, что свет от вспышки должен пройти извпо пути, который длиннее пути проходимого в системе. Когда этот свет достигает зеркала, проходит время, равное половине стандартного интервала для часов, т.е.(3.8,б). Этот стандартный интервал завершается, когда свет вновь достигнет точки, пройдя путь(рис.3.8,в), за это время началосместилось на расстояниеот.

Чтобы сопоставить интервалы времени и, используем теорему Пифагора для треугольника(рис.3.8,б) или для треугольника(рис.3.8,в), мы получим

, (3.13)

или, подставляя значение из (3.12),

, (3.14)

откуда найдем

. (3.15)

Отсюда

, (3.16)

или окончательно,

. (3.17)

Стандартный интервал времени , отсчитанный по часам в системе, оказывается с точки зрения наблюдателя в системепродолжительнее интервала, отсчитанного по его собственным часам, поскольку он видит, что свет от вспышки в системепроходит больший путь, чем свет в его собственной системе. С точки зрения наблюдателя, часы в системеидутмедленнее, чем в его собственной. Разумеется, ситуация вновь совершенно симметрична относительно обоих наблюдателей. Наблюдатель в системе, следя за часами в системе, заключает, что они тоже идут медленнее его часов. Отсюда можно прийти к выводу, чтодля любого наблюдателя движущиеся относительно него часы идут медленнее таких же часов, но покоящихся в его системе отсчета.

Изменится ли что-нибудь, если использовать часы другого типа, скажем обычные механические? Все останется по–прежнему. Предположим, что это не так, и часы, двигаясь относительно нашей системы отсчета, не отстают. Тогда можно было бы синхронизировать эти часы с «нашими эталонными часами», а затем взять эти часы с собой на все инерциальные системы отсчета с тем, чтобы синхронизировать там все часы по «эталонным часам». Используя эту систему часов, синхронизированных друг с другом, можно было бы однозначно определить последовательность во времени событий с точки зрения любой из систем отсчета. Однако, как мы уже знаем, конечная скорость света препятствует установлению абсолютной последовательности событий во времени в движущихся системах. Следовательно, подобные «идеальные» часы создать невозможно.

Лоренцово сокращение длины и замедление течения времени находятся в определенной связи друг с другом. Правильное представление этой взаимосвязи облегчает понимание обоих эффектов. Для иллюстрации рассмотрим движение короткоживущих элементарных частиц – пионов (-мезонов). В покое пионы имеют среднее время жизни до распада на другие элементарные частицы. Пионы во множестве образуются при взаимодействиях протонов высоких энергий с веществом, поэтому их легко изучать.

Если пионы движутся со скоростью скорости света, то среднее расстояние, которое они пролетают до распада, как будто бы должно быть равным

. (3.18)

На циклотроне Колумбийского университета был получен пучок пионов со скоростью 0, 75 скорости света и оказалось, что пионы пролетают до распада в среднем не , а. Это различие можно истолковать, принимая во внимание замедление течения времени. Поскольку пионы движутся в лабораторной системе отсчета (соответствующей системе), то наблюдатель в лаборатории видит, что в системе отсчета, движущейся вместе с пионами (в системе), часы идут медленнее. Распад пионов есть своего рода часы, и, таким образом, наблюдатель в лаборатории определяет, что среднее время жизни пионов должно быть больше, чем. В самом деле,

. (3.19)

Поэтому среднее расстояние, пролетаемое пионами в лаборатории до распада, равно

, (3.20)

что находится в согласии с измеренным значением .

Рассмотрим теперь ту же ситуацию «с точки зрения пионов». По «пионным» часам они в среднем живут и до своего распада пролетают в среднемв соответствие с измеряемой по линейке в «пионной» системе отсчета. Однако пионы «видят», что лаборатория Колумбийского университета проносится мимо них со скоростьюскорости света. В соответствие с этим лаборатория испытывает сокращение размеров, и расстояние 8,8в лаборатории пионам «кажется» равным только.

Этот пример свидетельствует о том, что замедление течения времени и сокращение длины суть «две стороны медали» одного и того же основного релятивистского эффекта.

Одним из результатов теории относительности, вызвавшим чрезвычайно многочисленные дискуссии, является так называемый «парадокс близнецов». Состоит он в следующем. Допустим на Земле живут два близнеца Александр и Владимир. Владимир отправляется в космическое путешествие на расстояние 10 световых лет, а Александр остается на Земле. Если космический корабль летит со скоростью 0,99 скорости света относительно Земли, то по часам Александра это путешествие займет

. (3.21)

Поскольку на возвращение затрачивается такое же время, когда Владимир прибудет на Землю, Александр постареет на 20 лет.

Владимиру, однако, представлялось, что Земля и звезда – цель его полета – двигались со скоростью 0,99 скорости света относительно его корабля, так что расстояние от Земли до звезды сократилось до

. (3.22)

По часам Владимира путешествие туда и обратно заняло 2,8 года, и он возвращается на Землю, постарев всего лишь на 2,8 года. При встрече Владимир обнаружил, что его брат стал на 17,2 года старше его! Но мы знаем, что любое движение относительно. Следовательно, если все путешествия фиксировать в системе отсчета космонавта Владимира, то с его точки зрения такое путешествие совершили Земля и находящейся на ней Александр. По этой причине часы Александра должны были идти медленнее часов Владимира, так что когда Александр (вместе с Землей) вернется из своего «путешествия» и встретится с братом, то Владимир должен обнаружить, что его брат-близнец моложе его. Таким образом, мы пришли к парадоксу. Этот парадокс основывается на кажущейся симметрии братьев-наблюдателей. Кажется, безразлично, кто из братьев отправится в космическое путешествие, а кто останется дома. Но в данном случае это не безразлично, поскольку домосед все время находится в инерциальной системе отсчета, тогда как путешественник подвергался ускорениям. Путешественник ускорялся, набирая скорость до 0,99 скорости света. Следовательно, положение вовсе не симметрично. Правильный расчет, который требует использования специальной теории относительности, приводит к заключению, что космонавт в полете будет стареть не так быстро, как оставшийся дома брат.

«Парадокс близнецов» - это реальный эффект. Но следует отметить, что путешественник ничего не выигрывает от своего «долголетия», поскольку все биологические процессы в его организме тоже идут с меньшей скоростью (по сравнению с их скоростью на Земле), и в результате все жизненные отправления, умственная и физическая его деятельность тоже будут происходить в замедленном действии.