2.9. Оператор Гамильтона

2.9.1. Определение оператора Гамильтона

Символ называется оператором частной производной по. Под произведением этого оператора на функциюбудем понимать частную производную, то есть. Аналогично,и-операторы частных производных поуи по.

Введем векторный оператор «набла» или оператор Гамильтона:

. (2.71)

Спомощью этого символического (операторного) «вектора» удобно записывать и выполнять операции векторного анализа.

В результате умножения вектора на скалярную функциюполучается:

. (2.72)

Скалярное произведение вектора на вектор-функциюдает:

. (2.73)

Векторное произведение вектора на вектор-функцию дает:

. (2.74)

2.9.2.Правила вычислений с оператором

1. Если оператор действует на линейную комбинацию, где- скалярные или векторные функции,-числа, то

. (2.75)

2. Если оператор действует на произведение нескольких функций,,(скалярных или векторных), то результат этого действия аналогичен результату дифференцирования произведения в том смысле, что операторпоследовательно применяют к каждому сомножителю (отметим его знаком), а другие сомножители при этом считают фиксированными. Итак,

. (2.76)

При этом следует иметь в виду, что слагаемые в правой части равенства (2.43) предварительно преобразуют по правилам векторной алгебры так, чтобы за оператором стоял тот множитель, который отмечен знаком. После вычислений знаки опускают.

Пользуясь этим правилом, докажем, что

. (2.77)

Учитывая, что , по формуле (2.76) имеем

. (2.78)

Чтобы в первом из двух смешанных произведений (2.78) оператор действовал на вектор,воспользуемся свойством смешанного произведения:

. (2.79)

Переставляя сомножители ив скалярном произведении и учитывая, что, получаем

. (2.80)

Во втором слагаемом (2.78) поменяем местами сомножители в векторном произведении:

. (2.81)

После этого находим

. (2.82)

Складывая полученные результаты, получаем формулу (2.77).

Формулу для производной по направлению с помощью оператора можно записать в виде

. (2.83)

Сдругой стороны,можно вычислить, «умножая» скалярное произведение векторовина скаляр:

. (2.84)

Символ будем называть оператором производной по направлению. В частном случае, когда векторсонаправлен с одной из координатных осей, например с,имеем, то есть оператор производной по направлению координатной оси - это оператор соответствующей частной производной.

Используя оператор производной по направлению, запишем с помощью оператора Гамильтона производную векторного поля по направлению:

. (2.85)

Формула (2.85) эквивалентна совокупности трех формул (2.84) для координат вектора .

2.9.3. Примеры решения задач

Задача 1.Пустьи- скалярные поля. Доказать справедливость формулы.

Решение.

Задача2.- скалярное поля,-векторное поле. Доказать справедливость формулы

.

Решение.

.

Задача 3. Доказать справедливость формулы

,

где -скалярное поле,- векторное поле.

Решение.

.

Замечание. Прежде, чем рассматривать следующий пример, напомним понятие двойного векторного произведения.

Выражение называется двойным векторным произведением векторов,и.

Если считать, что векторы инеколлинеарны, то векторортогонален ненулевому вектору, а последний ортогонален плоскости векторови.

Поэтому вектор компланарен плоскости векторовии может быть представлен в виде их линейной комбинации.

Доказано, что ,.В результате

. (2.86)

Задача 4.Доказать справедливость формулы

, (2.87)

где и- векторные поля.

Решение.

.

Воспользуемся формулой для вычисления двойного векторного произведения с учетом того правила, что оператор действует в произведении только на тот сомножитель, который стоит непосредственно после него.

.

Рассмотрим применение этой формулы на конкретном примере.

Пусть

.

Вычислим сначала непосредственно, т.е. найдем сначала вектор равный, а затем найдем ротор этого вектора

Рассмотрим теперь, как применять формулу

.

Предварительно рассмотрим, как вычислить .

.

Это скалярное произведение двух векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат

.

Получили дифференциальный оператор, который будет действовать на последующий множитель - вектор .

.

Теперь вычислим

.

Сравнивая результаты, видим, что они совпали.