2.8.9. Примеры решения задач.

Задача 1.Вычислить поток векторного поля через боковую поверхностьконусав сторону внешней нормали.

Решение. Чтобы сделать возможным применение формулы Остроградского-Гаусса для вычисления искомого потока дополним заданную поверхность (боковую поверхность конуса) к замкнутой кусочно-гладкой поверхности(основание конуса, являющегося кругом. Применим теперь формулу Остроградского-Гаусса к области ,ограниченной замкнутой поверхностью Ф:

(*)

На круге имеем

,

поэтому .

Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: .Уравнение конической поверхности примет вид.Таким образом,

Из равенства (*) следует:

Задача 2.Вывести формулу Грина как частный случай формулы Стокса для поляпри.

Решение. Пусть полезадано в плоской областис границей, лежащей в плоскости.Единичный вектор нормали к области совпадает с вектором. Поэтому, применяя формулу Стокса к полюв области ,получим:

.

Эта формула является векторной формой формулы Грина. Вычислим ротор поля .

(производные по переменной от функцийравны 0).

Учитывая также запись циркуляции в прямоугольных координатах, получаем уже знакомый вид формулы Грина:

.

Отметим, что как и в трехмерном случае, условие (в данном случае) обеспечивает потенциальность полялишь в «односвязной» области.

Задача 3.Доказать, что циркуляция постоянного векторного полявдоль любого замкнутого кусочно-гладкого контура равна нулю.

Решение. Пусть -замкнутый кусочно-гладкий контур, Ф - кусочно-гладкая поверхность, натянутая на.Согласно формуле Стокса

,

т.к. ротор постоянного поля равен нулю. Следовательно, циркуляция постоянного векторного поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю: .

Задача 4.С помощью формулы Стокса найти циркуляцию векторного полявдоль замкнутого контура ,состоящего из отрезка винтовой линиии отрезка прямой, соединяющего точкии, причем обход контура совершается так, что по отрезку прямой движение происходит от точкиВк точкеА.

Решение.Находим

.

Пусть поверхность Ф, натянутая на контур,состоит из частиФ₁ цилиндрической поверхностии кругаФ₃:,.

На цилиндрической поверхности Фимеем,поэтому. На поверхностиФ₂имееми поэтому. Применяя к полюформулу Стокса, получим

.

Рис. 2.16.

Задача5.Доказать, что векторное полепотенциально и найти его потенциал,

Решение.Полеопределено во всем пространстве. Пространство является поверхностно односвязной областью, поэтому необходимое и достаточное условие потенциальности поляимеет вид. Находим

.

Следовательно, - потенциальное поле. Вычислим потенциал поля , взяв в качестве начальной точки начало координат.

.

Задача 6.Выяснить, является ли векторное поле потенциальным.

Решение. Находим

,

если .

Заметим, однако, что поле не определено на оси,поэтому условиевыполняется во всех точках пространства, кроме точек оси. Следовательно, в любой поверхностно односвязной области, не содержащей точек оси,полеявляется потенциальным. Например, оно потенциально в первом октантеи его потенциал равен(проверьте это).

Рассмотрим теперь область, содержащую точки оси ,например шар с центром в начале координат. Удалив из этого шара точки оси(т.е. диаметр, лежащий на оси), получим область, в которой полеопределено и. Однако эта область не является поверхностно односвязной, и поэтому из условиянельзя сделать вывод о потенциальности поля. Покажем, что полев областине является потенциальным.

Для этого рассмотрим лежащую в области окружностьи вычислим циркуляцию полявдоль окружности, пробегаемой в направлении возрастания параметра от 0 до. Имеем

.

Следовательно, поле не является потенциальным в области.