2.8.7.Свойства потенциального поля

Как известно, векторное поле , удовлетворяющее в области условию, называется потенциальным в этой области ( -скалярный потенциал поля). Если полепотенциально в области ,то

, (2.60)

и выражение

, (2.61)

является полным дифференциалом функции и в области . Это означает, что выполнено условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве.

Таким образом, потенциальное в области поле обладает следующими свойствами.

1. Циркуляция потенциального поля вдоль любого замкнутого контураравна нулю:

. (2.62)

Иногда это свойство принимают за определение потенциального поля.

2. Для любых точек ииз областициркуляция потенциального полявдоль кривой не зависит от выбора кривой и равна разности значений потенциалав точкахи

. (2.63)

Применительно к силовому потенциальному полю это свойство означает, что работа такого поля вдоль кривой не зависит от выбора кривой, а зависит только от начальной и конечной точеки.

3. Потенциальное поле является безвихревым, т.е.

. (2.64)

Пусть теперь дано векторное поле ,удовлетворяющее в областиусловию.Следует ли отсюда, что поле- потенциально в области? Ответ на этот вопрос зависит от вида области. Еслиобласть является поверхностно односвязной, то из условияследует, что существует функциятакая, что

,. (2.65)

Следовательно,

, (2.66)

т.е. поле является потенциальным в области.

Таким образом, условие является необходимым и достаточным условием потенциальности поляв поверхностно односвязной области.

Потенциал потенциального поляв поверхностно односвязной области можно вычислить по формуле

. (2.67)

Если область не является поверхностно односвязной, то условиене достаточно для потенциальности поляв области .

2.8.8. Инвариантное определение ротора

Пусть в области определено векторное поле. Зафиксируем точкуи некоторую плоскость, проходящую через эту точку. Пусть-единичный вектор нормали к плоскости, -замкнутый контур, лежащий в плоскости и ограничивающий областьтакую, что- внутренняя точка области Ф. Запишем формулу (2.8) для векторного поляв области Ф. Применяя к правой части этой формулы теорему о среднем, получим

, (2.68)

откуда

, (2.69)

где -площадь области Ф,- некоторая точка области Ф.

Будем стягивать область Ф к точке так, чтобыоставалась внутренней точкой области Ф. Тогда, абудет стремиться к. В силу непрерывности, значениебудет стремиться к.

Таким образом, получаем

. (2.70)

В правую часть формулы входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура и площадь плоской области). Поэтому данная формула дает инвариантное определение проекции в точкена направление, определяемое заданным вектором.

Итак, проекция ротора векторного поля на произвольное направление, а значит и сам зависит только от векторного поляи не зависит от выбора системы координат.

Для определения вектора вышеуказанным способом достаточно рассмотреть в заданной точкепроекциина три произвольных, некомпланарных направления. Такими тремя проекциямиопределяется однозначно.