2.8. Интегральные характеристики векторных полей

2.8.1. Поток векторного поля

Рассмотрим векторное поле, определенное в пространственной области, и некоторую кусочно-гладкую ориентированную поверхность. Пусть- поле единичных нормалей на выбранной стороне поверхности. По определению

(2.45)

называется потоком векторного поля через поверхностьв сторону, определяемую вектором(говорят также: «поток через выбранную сторону поверхности»).

Если взять другую сторону поверхности (изменить ориентацию), то вектор изменит направление на противоположное, поэтому скалярное произведение,а значит и поток (поверхностный- интеграл (2.45)) изменит знак.

Если - скорость движущейся жидкости, топредставляет собой количество (объем) жидкости,протекающей через поверхность в заданную сторону в единицу времени. Эта величина называется в физике (гидродинамике) потоком жидкости через поверхность. Поэтому и в случае произвольного векторного поляинтеграл (2.45) называется потоком векторного поля через поверхность.

Рассмотрим электрическое поле точечного заряда, помещенного в точку. Найдём поток векторного полячерез внешнюю сторону сферырадиусас центром в точке. Пусть(- точка на сфере); тогда

,,,

. (2.46)

Поэтому

, (2.47)

где -диэлектрическая проницаемость среды,.

Если в системе координат ,а, то выражение (2.45) для потока векторного поляможно записать в виде

(2.48)

Каждое слагаемое в (2.48) зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т.е. поток , очевидно, не зависит от выбора системы координат.

2.8.2. Формула Остроградского – Гаусса в векторной форме.

Пусть в области определено векторное поле;-замкнутая поверхность, ограничивающая область ;-единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф в точке. Если функциии их частные производныенепрерывны в простой замкнутой области,ограниченной кусочно-гладкой поверхностью,тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса:

. (2.49)

Подынтегральная функция в тройном интеграле есть ,а поверхностный интеграл представляет собой поток векторного полячерез поверхность, Поэтому формулу (2.49) можно записать в векторной форме:

. (2.50)

Т.е. поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу по области, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции

векторного поля . Чтобы поток был отличен от нуля, внутри областидолжны быть источники (или стоки) поля. Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что тогда ибудет отлична от нуля. Таким образом,характеризует источники поля. Само векторное поле как бы расходится от источников. Отсюда и происходит название «расходимость» или «дивергенция».

2.8.3. Соленоидальные поля и их свойства

Векторное поле , удовлетворяющее в областиусловию, называется соленоидальным в этой области.

Пусть область является объемно односвязной. Это означает, что если кусочно-гладкая замкнутая поверхностьлежит в области ,то и область, ограниченная поверхностью, целиком принадлежит области.Примерами объемно односвязных областей являются шар, параллелепипед, эллипсоид. Отметим, что тор не является поверхностно односвязной областью. Область, заключенная между двумя сферами, не является объемно односвязной (но является поверхностно односвязной).

Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что соленоидальное поле в объемно односвязной области обладает следующим свойством: поток соленоидального поля через любую замкнутую поверхность, расположенную в этой области, 106овен нулю. Иногда это свойство принимают за определение соленоидального поля.

Отметим, что если область не является односвязанной, то поток соленоидального (в этой области) поля через замкнутую поверхность, расположенную в области, может быть отличен от нуля. Так, электрическое поле точечного заряда, помещенного в точку, является соленоидальным в шаре с выброшенным центром (при). Шар с выброшенным центром не является объемно односвязанной областью и поток полячерез сферу с центром в точкеотличен от нуля.

Слово «соленоидальное» означает «трубчатое». Для 106олееноидального поля имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки, который состоит в следующем.

Пусть - соленоидальное поле. Рассмотрим отрезок «векторной трубки», т.е. область, ограниченную двумя сечениями,и боковой поверхностью, состоящей из векторных линий (рис.2.15).

Рис. 2.15.

Применим к такой области формулу Остроградского – Гаусса (2.50). Так как в соленоидальном поле , то поток векторного полячерез поверхность области равен нулю, то, где- единичный вектор внешней нормали. На боковой поверхностиимеем, поэтому. Следовательно

. (2.51)

Изменим на сечениях инаправление нормалина противоположное. Тогда получим

, (2.52)

откуда следует

, (2.53)

где оба потока вычисляются в направлении векторных линий.

Таким образом, в соленоидальном (трубчатом) векторном поле поток через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение. Это и есть закон сохранения интенсивности векторной трубки.