2.7.5. Потенциальное поле

Векторное поле называется потенциальным в областиV,если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля:

. (2.35)

Функция называется скалярным потенциалом векторного поля. Если, то из равенства (2.34) следует:

. (2.36)

Иногда потенциалом векторного поля называют такую функцию, что. Поверхности уровня потенциаланазывают эквипотенциальными.

2.7.6. Дивергенция

Дивергенцией векторного поля

, (2.37)

называется скалярная функция

. (2.38)

Дивергенция означает «расходимость». Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Векторное поле называется соленоидальным в области,если в этой области.

Так как характеризует плотность источников поля, то в той области, где полесоленоидально, нет источников этого поля.

Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться или заканчиваться внутри области соленоидальности; они либо начинаются и заканчиваются на границе области, либо являются замкнутыми кривыми.

2.7.7. Ротор

Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор-функция

. (2.39)

В частности, для плоского поля

. (2.40)

Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси с постоянной угловой скоростью. Векторное поле скоростейточек этого тела можно представить в виде

. (2.41)

Найдем ротор поля скоростей :

. (2.42)

Таким образом, является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения,а его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.

Рассмотрим поле .Потенциалом этого поля является функция

. (2.43)

Рис. 2.14.

Вычислим ротор поля . Вообще ротор любого потенциального поля равен нулю, поэтому говорят, что потенциальное поле является безвихревым.

Если векторное поле можно представить как ротор некоторого векторного поля, т.е., то вектор-функцияназывается векторным потенциалом поля.

2.7.8. Примеры решения задач

Задача 1.Найти и нарисовать линии уровня скалярного поля.Вычислить и изобразить на чертеже градиент этой функции в точках (1; 1) и (1;-1).

Решение.Линии уровня функциизадаются уравнением,где- произвольная постоянная. Графически это уравнение представляется семейством гиперболыи двух прямых

; .

В точке (1; 1) функция быстрее всего возрастает в направлении от начала координат по биссектрисе I квадранта, и скорость ее возрастания в этом направлении равна

.

В точке (1;1) функция быстрее всего возрастает в направлении от начала координат по биссектрисе IV квадранта и скорость ее возрастания в этом направлении также равна.

Задача 2. Найти производную функции

в данной точке в направлении радиуса-вектораэтой точки. В каком случае эта производная будет равна величине градиента?

Решение.

;

;

;

Пусть , тогда

;

т.е. производная в направлении радиус-вектора для функции

совпадает с величиной градиента этой функции при условии .

Задача 3.Найти векторные линии векторного поля

, где.

Решение.

.

Уравнение векторных линий находим, пользуясь (1.29)

или

и.

Откуда

Эти уравнения определяют два семейства гиперболических цилиндров с образующими параллельными, соответствующим осям и,а при условии- две пары плоскостей.

Любая векторная линия поля является линией пересечения двух поверхностей из полученных двух семейств при некоторых фиксированных значенияхи. Например, прилиния пересечения плоскостейипредставляет собой прямую, проходящую через начало координат. Ее уравнение имеет вид:.В точках этой прямой вектор поля

Задача 4. Найти дивергенцию векторного поля, где -постоянный вектор.

Решение..

Задача 5. Найти дивергенцию сферического векторного поля.

Определить вид функции , для которой полеявляется соленоидальным.

Решение.

;

Из условия соленоидальности следует, что

, т.е.

интегрируя, а затем потенцируя, получаем

- это кулоновское поле.

Задача 6.Дано векторное полеНайтив точке.

Решение.Согласно определению ротора, имеем

Во всех точках заданного поля, т.е. поле является безвихревым или потенциальным.

Задача 7.Найти ротор сферического векторного поля

Решение.Запишем данное поле в координатах, тогда

Итак, ротор любого сферического векторного поля равен нулю, т.е. сферическое векторное поле является безвихревым.