2.7.2. Векторное поле

Говорят, что в области Vзадано векторное поле, если каждой точке поставлен в соответствие некоторый вектор.

Геометрической характеристикой поля служат векторные линии, в каждой точкекоторых векторнаправлен по касательной к линии.

Пусть векторная линия, проходящая через точку, описывается уравнением, где- параметр. Условие коллинеарности вектора поляи касательного векторав произвольной точке этой линии имеет вид

, (2.26)

где - некоторое число. Условие (2.26) можно также записать в виде равенства нулю следующего векторного произведения:

. (2.27)

Каждое из приведенных уравнений является дифференциальным уравнением векторных линий в векторной форме и определяет множество векторных линий.

Конкретная векторная линия, проходящая через заданную точку, определяется дополнительным условием

, (2.28)

где - радиус-вектор точки.

Физические векторные поля не зависят от выбора системы координат: в каждой точкевекторполностью определяется своим модулеми направлением. Если в пространстве введена прямоугольная система координат, то векторное полеописывается вектор-функцией трех переменных или тремя скалярными функциями - ее координатами:

.

В прямоугольных координатах , поэтому векторное уравнение (2.27) для векторных линий эквивалентно системе дифференциальных уравнений

. (2.29)

Условие (1.3) эквивалентно условиям:

, (2.30)

где -координаты точки.

2.7.3.Производная по направлению

Скалярное и векторное поля иназываются дифференцируемымираз, если функциидифференцируемыраз.

В дальнейшем, не оговаривая это особо, будем считать, что рассматриваемые поля дифференцируемы нужное нам число раз.

Пусть - скалярное поле, заданное в области, а- единичный фиксируемый вектор;- фиксированная точка, -любая точка изV,отличная от,и такая, что векторколлинеарен вектору.

Число называется производной скалярного поляпо направлениюи обозначается.

Знак « + » в знаменателе последней дроби берем в том случае, если векторы исонаправлены и «-» в противном случае.

Производная по направлению является скоростью изменения функциипо направлениюв точке. Еслив прямоугольной системе координат, то

. (2.31)

Точно так же определяется производная векторного поля в направлении вектора.

Вектор называется производной векторного поля(вектор-фунции) в точкепо направлениюи обозначается как.

Если в прямоугольной системе координат

, то(2.32)

2.7.4. Градиент скалярного поля.

Как следует из (1.6), есть скалярное произведение вектораи некоторого вектораи поэтому, где- угол между векторамиив точке.

Т.к. , то. Очевидно, чтопринимает наибольшее значение, еслиили то же самое, если, т.е. в том случае, если направление векторасовпадает с направлением вектора.

Вектор , определяющий направление наибольшего роста поля, называется градиентом скалярного поля и обозначается.

Тогда формула (2.31) может быть записана следующим образом

(2.33)

или

, (2.34)

здесь -угол между вектороми векторомв точке. Здесь- это скорость роста функциив направлении.

Таким образом, вектор не зависит от выбора системы координат, а его модуль и направление в каждой точке определяются самой функцией.