Булева функция

Булевой функцией от n аргументов называется функция f из n-ой степени множества { 0, 1 } в множество { 0, 1 }.

Иначе говоря, булева функция – это функция, и аргументы и значение которой принадлежит множеству { 0, 1 }. Множество { 0, 1 } мы будем в дальнейшем обозначать через B.

Булеву функцию от n аргументов можно рассматривать как n-местную алгебраическую операцию на множестве B. При этом алгебра <B;>, где  – множество всевозможных булевых функций, называется алгеброй логики.

Конечность области определения функции имеет важное преимущество – такие функции можно задавать перечислением значений при различных значениях аргументов. Для того, чтобы задать значение функции от n переменных, надо определить значения для каждого из 2ⁿ наборов. Эти значения записывают в таблицу в порядке соответствующих двоичных чисел. В результате получается таблица следующего вида:

x1	x2	...	xn-1	xn	f
0	0	...	0	0	f(0,0,...,0,0)
0	0	...	0	1	f(0,0,...,0,1)
0	0	...	1	0	f(0,0,...,1,0)
0	0	...	1	1	f(0,0,...,1,1)
...	...	...	...	...	...
1	1	...	0	0	f(1,1,...,0,0)
1	1	...	0	1	f(1,1,...,0,1)
1	1	...	1	0	f(1,1,...,1,0)
1	1	...	1	1	f(1,1,...,1,1)

Раз у нас есть стандартный порядок записывания наборов, то для того, чтобы задать функцию, нам достаточно выписать значения f(0,0,...,0,0), f(0,0,...,0,1), f(0,0,...,1,0), f(0,0,...,1,1),..., f(1,1,...,0,0), f(1,1,...,0,1), f(1,1,...,1,0), f(1,1,...,1,1). Этот набор называют вектором значений функции.

Таким образом, различных функций n переменных столько, сколько различных двоичных наборов длины 2^n*. А их 2 в степени 2ⁿ.

Множество B содержит два элемента – их можно рассматривать как булевы функции от нуля (пустого множества) переменных – константу 0 и константу 1.

Функций от одной переменной четыре: это константа 0, константа 1, тождественная функция, т.е. функция, значение которой совпадает с аргументом и так называемая функция ``отрицание''. Отрицание будем обозначать символом ¬ как унарную операцию. Приведём таблицы этих четырёх функций:

x	0	x	¬ x	1
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Как видим, функции от некоторого числа переменных можно рассматривать как функции от большего числа переменных. При этом значения функции не меняется при изменении этих ``добавочных'' переменных. Такие переменные называются фиктивными, в отличие от остальных – существенных.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Любая функция f может быть представлена в следующей форме: ^*

f(x1,...,xm) =  x1s1 & ... & xmsm & f(s1,...,sm) =  *

=  x1s1 & ... & xmsm

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Любая функция f может быть представлена в следующей форме:^*

f(x1,...,x_m) =  x1^¬s₁ Ъ ... Ъ x_m^¬s_m

Таким образом, любая булева функция может быть представлена суперпозицией конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Разложение по всем переменным в дизъюнкцию называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой функции, а в конъюнкцию – совершенной конъюнктивной нормальной формой.^*

Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная формы дают способ представления булевой функции через суперпозицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания если у нас есть таблица значений функции.

Чтобы получить совершенную дизъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 1 и записать для каждого из них конъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять с отрицанием, если 1 – без отрицания. Из получившихся конъюнкций надо построить дизъюнкцию.

Чтобы получить совершенную конъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 0 и записать для каждого из них дизъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять без отрицания, если 1 – с отрицанием. Из получившихся дизъюнкций надо построить конъюнкцию.