Булева алгебра
Булевой алгеброй
называется
непустое множество А с
двумя бинарными
операциями 
(аналог конъюнкции), 
(аналог дизъюнкции), унарной
операцией 
(аналог отрицания)
и двумя выделенными элементами: 0 (или
Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех
a, b и c из множества A верны следующие
аксиомы:
x ∧ y = y ∧ x
x y = y x
x y = y x
x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z
x (y z) = (x y) z
x (y z) = (x y) z
x (y ∧ z) = (x y) ∧ (x z)
x ∧ (y z) = (x ∧ y) (x ∧ z)
¬¬x = x
¬(x ∧ y) = ¬x ¬y
¬(x y) = ¬x ∧ ¬y
x ∧ x = x
x ∧ ¬x = 0
x ∧ 0 = 0
x ∧ 1 = x
x x = x
x ¬x = 1
x 0 = x
x 1 = 1
x y = (x ∧ ¬y) (¬x ∧ y)
x y = ¬x y
x y = (x ∧ y) (¬x ∧ ¬y)
В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен. Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.
Булева функция
Булевой функцией от n аргументов называется функция f из n-ой степени множества { 0, 1 } в множество { 0, 1 }.
Булева константа — это индивидная константа с областью значений {0;1}. Таким образом, существуют две булевы константы: 0 и 1. По определению принимается, что каждая булева константа есть также булева функция от 0 переменных (что вполне аналогично определению нульарной операции).
Булева функция задаётся конечным набором значений, что позволяет представить её в виде таблицы истинности, например:
|
x1 |
x2 |
… |
xn-1 |
xn |
f(x1,x2,…,xn) |
|
0 |
0 |
… |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
… |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
… |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
… |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
… |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
… |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
… |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
… |
1 |
1 |
0 |
Суперпозиция (сложная функция) — это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.
Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:
в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:
в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.
Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.