Игры и головоломки с латинскими квадратами

Существует ряд игр, в которых используются латинские квадраты. Наиболее известна из них судоку. В ней требуется частичный квадрат дополнить до латинского квадрата 9-го порядка, обладающего дополнительным свойством: все девять его подквадратов содержат по одному разу все натуральные числа от 1 до 9.

Пользуются популярностью также задачи построения латинских квадратов и на их основе магических квадратов, обладающих дополнительными свойствами (например, диагональные квадраты).

Латинский прямоугольник

прямоугольная матрица размера каждая строка к-рой является перестановкой (без повторений) элементов множестваS, состоящего из га элементов, причем в столбцах каждый элемент встречается не более одного раза. При m = n Л. п. является латинским квадратом порядка п. Обычно S= {1, 2,. . ., п}, и о Л. п. говорят, что он построен на множестве S.

Л. п. существует при любых натуральных т, п,  Примером Л. п. может служить матрица, первая строка к-рой есть (1, 2, . . ., га), а все последующие получаются из предыдущей циклич. сдвигом на один шаг. Л. п. размера всегда может быть дополнен до латинского квадрата порядка птак, что первые m строк латинского квадрата будут совпадать со строками Л. п.

Для числа L (m, n) Л. п. размера верна следующая оценка снизу:

Л. п. наз. нормализованным, если его первая строка есть (1, 2,. . ., п). Число К( т, п).нормализованных Л. п. связано с L(m, п).соотношением:

Подсчет L(m, п).при m = 2,3 связан с классич. комбинаторными задачами:с задачей о числе беспорядков (см. Инверсия).и с задачей о супружеских парах. Так, числобеспорядков D_n=K(2, п), а число размещений U_n в задаче о супружеских парах есть число Л. п. размера первые две строки к-рых суть:

Для U_n верны формулы:

Число К(3, п).выражается через D_k и U_i:

где Верна также следующая асимптотика:

где -Эрмита многочлен. Известно также, что 

Задача о перечислении Л. п., имеющих более трех строк, не решена (1982). При так, чтополучена асимптотика:

На Л. п. распространяются нек-рые понятия и теоремы, связанные с латинскими квадратами. Так, два Л. п. размераназ. ортогональными, если все пары видаразличны. Множество Л. п., в к-ром любые два Л. п. ортогональны, имеет не болеет-1 Л. п.

Часто под Л. п. понимают следующее обобщение Л. п.: латинским прямоугольником размера построенным на множестве 5, состоящем из пэлементов, наз. матрица размерас элементами изS, встречающимися в каждой строке и каждом столбце не более одного раза. Л. п. размера построенный на псимволах, может быть расширен до латинского квадрата порядка птогда и только тогда, когда каждый символ встречается в Л. п. не менееr+s-п раз.

Решение

Добавить одну строку и получить латинский квадрат можно всегда точно одним способом, так как каждый столбец девятой строки дополняется элементами, не вошедшими в предыдущие строки. 

Пример:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	3	4	5	6	7	8	9	1
3	4	5	6	7	8	9	1	2
4	5	6	7	8	9	1	2	3
5	6	7	8	9	1	2	3	4
6	7	8	9	1	2	3	4	5
7	8	9	1	2	3	4	5	6
8	9	1	2	3	4	5	6	7

К данному латинскому прямоугольнику добавляем одну строку, чтобы образовать квадрат и заполним элементами, не вошедшими ранее.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	3	4	5	6	7	8	9	1
3	4	5	6	7	8	9	1	2
4	5	6	7	8	9	1	2	3
5	6	7	8	9	1	2	3	4
6	7	8	9	1	2	3	4	5
7	8	9	1	2	3	4	5	6
8	9	1	2	3	4	5	6	7
9	1	2	3	4	5	6	7	8